9. Производная функции. Ее геометрический смысл.

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю (если этот предел существует).

Геометрический смысл производной – производная от данной функции f(x) при данном

значении x0 аргумента равна угловому коэффициенту касательной к графику этой

функции в соответствующей точке M0.

10. Свойства производной.

1. х’=1

2. c’=0 c=const

3. [c*f(x)]’=c*f’(x)

4. [U(x)+V(x)-W(x)]’=U’(x)+V’(x)-W’(x)

5. (UV)’=U’V+V’U

6. (U/V)’=(U’V-V’U)/V²

11. Дифференциал функции.

Дифференциалом функции называется линейная часть приращения функции относительно приращения аргумента.

dy=y’*∆x

12. Производная сложной функции.

y=f[u(x)]

Правило: производная от сложной функции равна производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

y’=f’(x)*u’(x)

13. Исследование функций на возрастание, убывание, наличие экстремума.

Если производная функция положительная (отрицательная) в некоторой точке, то функция возрастает (убывает) в этой точке.

Если f(x)>0, то f(x) возрастает в точке х₀

Если f(x)<0, то f(x) убывает в точке х₀

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Первое достаточное условие экстремума.

-если в точке х₀ функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то х₀ - точка максимума;

-если в точке х₀ функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то х₀ - точка минимума.

Второй признак экстремума функции.

Пусть ,

-если , то х₀- точка минимума;

-если , то х₀ - точка максимума.

Этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке х₀ .

Третье достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в окрестности точки х₀ и производные до n+1-ого порядка в самой точке х₀ .

Тогда,

-если n – четное, то х₀- точка перегиба;

-если n – нечетное, то х₀ - точка экстремума

14. Функция нескольких переменных. Частные производные.

Частная производная обобщает понятие производной на случай нескольких измерений. Частная производная функции нескольких переменных — это производная относительно одной переменной, все другие переменные при нахождении считаются константами.

Пусть в некоторой области имеем функцию ; возьмем точку в этой области. Если мы будем считать y и z за постоянные значения и , и будем менять x, то u будет функцией от одной переменной x (в окрестности ); можно поставить вопрос о вычислении ее производной в точке . Придадим этому значению приращение , тогда функция получит приращение , которое можно было бы назвать ее частным приращением (по x), поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По самому определению производной, она представляет собою предел . Эта производная называется частной производной функции по x в точке .