3. Основные свойства функций (четность, монотонность, ограниченность, периодичность).

Четность

Функция f называется четной, если для всех х из D(f) выполняется свойство f(-х) = f(х).

Если f(-х) = -f(х), то функция называется нечетной.

Если ни одно из указанных соотношений не выполняется, то функция называется функцией общего вида.

Монотонность (возрастание, убывание).

Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве Х, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее (меньшее) значение функции.

Ограниченность.

Функция f (х) называется ограниченной, если при всех х из ее области определения выполняется неравенство или неравенство ,

где — какие-либо постоянные числа.

В противном случае функция называется неограниченной.

Пример.

1. у = соs х , f[D(f)] = [-1,1] - функция ограничена.

2. у = tg х - функция неограниченна.

Периодичность.

Функция f (х) называется периодической с периодом Т (Т > 0), если для всех х выполняется равенство

f(x+T)=f(x).

4. Сложная функция.

Если задана функция от некоторой переменной u: у=f(u), а переменная u в свою очередь зависит от х: u=u(x), то величина у оказывается функцией от х: у=f[u(x)] и называется сложной функцией.

U – промежуточный аргумент.

Х – основной аргумент или (независимая переменная).

5. Предел функции в точке и в бесконечности.

1. число А называется пределом функции f(x) при х→(стремящ.)х₀ (в точке х₀), если по мере того как х приближается к х₀ , как справа, так и слева значение функции неограниченно приближается (стремит.) к А.

lim f(x)=A

^{x→ х}₀

2. число А называется пределом функции бесконечности, если при неограниченном увеличении абсолютного значения х значение функции неограниченно приближается (стремится) к А.

lim f(x)=A

^x→∞

6. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Связь между ними.

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Последовательность называется бесконечно малой, если

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Последовательность называется бесконечно большой, если

Связь бесконечно малой и бесконечно большой величины.

Величина, обратная бесконечно малой величине, есть величина бесконечно большая, и наоборот, величина, обратная бесконечно большой величине, есть величина бесконечно малая.

Символически можно записать:

и

7. Два замечательных предела.

Первый замечательный предел – это предел отношения.

Второй замечательный предел:

8. Непрерывность функции в точке и на отрезке.

1. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны

2. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.

3. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в любой точке отрезка. При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка.