Математика

Конспект

для абитуриентов

Киев - 1981 Оглавление

1. Логарифмы……………………….3

2. Степени…………………………...4

3. Квадратные уравнения…………..5

4. Модули………………………..….6

5. Тригонометрия…………………...7

6. Неравенства…………… ……….17

7. Планиметрия…………………….21

8. Стереометрия…………………....26

9. Графики………………………….30

10. Производная……………………..41

11. Интеграл………………………….46

12. Векторы и координаты……….....51

13. Разное…………………………….56

14. Теория вероятностей и

математической статистики…….62

Логарифмы

Определение: log _a N = k a^k = N ; N > 0 , a > 0 , a ≠ 1;

1. log _c (a∙b) = log _c a + log _c b ;

2. log _c = log _c a − log _c b ;

3. log _c aⁿ = n∙log _c a ;

4. 

5. − основное логарифмическое тождество

6. log _c a = ; − формула перехода

7. l og _b a∙log _a b = 1 ; log _b a = ;

9. log _a a = 1 ;

10. log _a 1 = 0 ;

11.

Логарифмы бывают трёх видов:

1) общего вида log _a b ;

2) десятичные логарифмы lg x = log ₁₀ x ;

3) натуральные логарифмы ln x = log _e x ,

Степени

1. a^m ∙ aⁿ = a^m+n;

2. = a^{m − n};

3. = a^m∙n;

4. = ;

5. a^–n = ;

6. a⁰ = 1 при a ≠ 0; (0⁰ – смысла не имеет)

7. = ;

8. aⁿ ∙ bⁿ = (a ∙ b)ⁿ;

9. = ;

10. = ;

11. = ;

12. = ;

Квадратные уравнения

1. a∙x² + b∙x + c = 0; b − нечетное;

D = b² − 4∙a∙c; x_1,2 = ;

2. a∙x² + b∙x + c = 0; b − чётное;

D = − a∙c; x_1,2 = ;

3. x² + p∙x + q = 0; p − чётное;

D = − q; x_1,2 = − ;

4. Теорема Виета для квадратного уравнения:

x² + p∙x + q = 0;

x₁ + x₂ = −p;

x₁ ∙ x₂ = q;

Модули

1. Определение модуля:

a при a ≥ 0;

│a│ =

–a при a < 0;

2. Если │A│ = 5, то A = 5 или A = −5;

3. Если │A│ = −2, то равенство не имеет смысла, т.е. A Ø;

4. Если │A│ = 0, то A = 0;

5. = ;

6. 

7. Если │A│ < 5, то −5 < A < 5;

8. Если │A│ > 7, то A > 7 или A < −7;

9. Если │A│ > −3, то −∞ < A < +∞;

10. Если │A│ < −2, то неравенство не имеет смысла, т.е. A Ø;

Тригонометрия

1. Единицы измерения углов:

градус − часть окружности;

минута − часть градуса;

секунда − часть минуты;

радиан − центральный угол, длина дуги которого равна его радиусу;

1 радиан = 57°17´44,806˝;

π радиан = 180°;

1° = 0,017 453 292 519 943 радиана;

π = 3,14 159 265 358 979 323 846 264…

2. Знаки по четвертям

sinα ; cosecα cosα ; secα tgα ; ctgα

+ + − + − +

− − − + + −

3. Периоды тригонометрических функций

sin(x + 2∙k∙π) = sin x; T = 2∙π;

cos(x + 2∙k∙π) = cos x; T = 2∙π;

tg(x + k∙π) = tg x; T = π;

ctg(x + k∙π) = ctg x; T = π;

4. Основные соотношения между функциями одного и того же аргумента

; ;

; ;

; ;

; ;

5. Изменение знака аргумента

(чётность и нечётность функций)

sin(−x) = −sin x; нечётная

cos(−x) = cos x; чётная

tg(−x) = −tg x; нечётная

ctg(−x) = −ctg x; нечётная

sec(−x) = sec x; чётная

cosec(−x) = −cosec x; нечётная

6. Формулы приведения

1) номер четверти;

2) знак функции в этой четверти;

3) “негритянское” правило:

π или 2∙π (горизонтальная ось−нет) − не менять на кофункцию;

или (вертикальная ось−да) − менять на кофункцию;

7. Обратные тригонометрические функции

y = arcsin x y = arccos x

−1 ≤ x ≤ 1 ≤ arcsin x ≤ 0 ≤ arcos x ≤ π

y = arctg x

y = arcctg x

−∞ < x < +∞ < arctg x < 0 < arcctg x < π

;

;

;

;

при −1 ≤ x ≤ 1;

при −1 ≤ x ≤ 1;

при −∞ < x < +∞;

при −∞ < x < +∞;

при ;

при ;

при ;

при ;

при −1 ≤ x ≤ 1;

при −∞ < x < +∞;

8. Таблица значений тригонометрических функций для некоторых

значений аргумента

α градусы	0°	15°	22°30´	30°	45°	60°	67°30´	75°	90°
α радианы	0
sinα	0								1
cosα	1								0
tgα	0				1				не сущ.
ctgα	не сущ.				1				0

9. Решение простейших тригонометрических уравнений

Общие формулы:

1)

k Z ;

2)

k Z ;

3)

k Z ;

4)

k Z ;

Частные случаи:

k Z ;

k Z ;

k Z ;

k Z ;

k Z ;

k Z ;

k Z ;

k Z ;

k Z ;

10. Формулы суммы и разности двух аргументов

11. Формулы двойного аргумента

12. Формулы тройного аргумента

13. Формулы половинного аргумента

14. Выражение через тангенс половинного аргумента

Если , то

15. Преобразование суммы в произведение

16. Преобразование произведения в сумму

формулы

понижения степени

17. Выражение произведения через сумму

1) если , то

2) если , то

18. Формулы тройного аргумента

19. Некоторые числовые значения

Вывод этих формул:

сокращаем далее на cos18° и т.д.

20. Вычисление прямых функций от обратных

обратные прямые	arcsin x	arccos x	arctg x	arcctg x
sin	x
cos		x
tg			x
ctg				x

21. Геометрическая интерпретация тригонометрических функций