Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Расчет линейн.электр.цепей пост.тока

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
25.05.2014
Размер:
412.09 Кб
Скачать

Рассчитываем токи:

I5 = U20RE125 = 0,044 А;

125

 

 

 

 

I30

=

U20 E7

= – 0,163 А.

 

 

 

R347

 

 

Ток I6 определяем по закону Кирхгофа:

 

 

+ J6

= 0,

I6 + I6

откуда

 

 

 

 

 

 

J6

= – 0,118 А.

I6 = I6

I6

= U20 = – 0,082 А;

 

 

R6

 

 

 

Рассчитываем напряжения U21, U23 и U30 (рис. 1.15). По второму закону Кирхгофа имеем

U21 I5 R12 = E12 ,

откуда

U21 = I5 R12 + E12 = 10,984 В.

Напряжения:

U23 = I30 R34 = – 4,446 В;

U30 = U20 U23 = – 4,536 В.

Рассчитываем токи I1; I2 ; I3 ; I4 ; I7 (схема рис. 1.11).

По второму закону Кирхгофа имеем

U21 + I1R1 = E1,

откуда

I1 = E1 U21 = 0,04 А.

R1

По закону Ома:

I2 = U21 = 0,084 А;

R2

I3 = U23 = – 0,103 А;

R3

I4 = − U23 = 0,059 А.

R4

По второму закону Кирхгофа имеем

I7 R7 U30 = −E7 ,

откуда

11

I7

=

U30 E7

= 0,063 А.

 

 

 

R7

Выполняем проверку правильности решения. Рассчитываем баланс мощностей. Мощность источников Рист определяется из выражения:

Pист = E5 I5 + E1I1 E7 I7 U20 J6 + U30 J7 =

=24 0,044 + 15 0,04 – 8(0,063) – (8,982) 0,2 + (– 4,536) 0,1=

=3,511 Вт.

Мощность, рассеиваемая в резисторах РR,

PR = I12 R1 + I22 R2 + I32 R3 + I42 R4 + I52 R5 + I62 R6 + I72 R7 =

= 0,042 100 + 0,0842 130 +(– 0,103)2 43 + 0,0592 75 + 0,0442 91 + + (– 0,082)2 110 + (– 0,063)2 200 = 3,511 Вт.

Получаем Рист = РR, задача решена верно.

1.3. Контрольные вопросы и задачи

1. Сформулировать первый и второй законы Кирхгофа.

2. Методом преобразования найти токи в резисторах (рис. 1.17). Параметры рези-

сторов: R1 = 45 Ом; R2 = 90 Ом;

R3 = 30 Ом. Источники: Е = 12 В; J = 0,2 А.

а)

R1

R3

б)

R2

 

 

 

E

 

J

 

 

R

R1

R3

 

 

 

 

2

 

 

Рис. 1.17

3. Рассчитать токи в резисторах (рис. 1.18). Параметры резисторов: R1 = 45 Ом;

R2 = 20 Ом;

R3 = 15 Ом. Источники: Е = 15 В; J = 0,5 А.

а)

R1

R3

б)

R2

 

E

2E

J

0,5J

 

R2

R

R

 

 

 

1

3

 

 

Рис. 1.18

 

12

2. Метод узловых напряжений

2.1. Общие сведения

Метод узловых напряжений основан на уравнениях первого закона Кирхгофа. В соответствии с методом определяются напряжения q 1 узла электрической

цепи относительно некоторого базисного узла. Эти напряжения называются узловыми. Положительные направления узловых напряжений всегда принимаются от узла к базисному узлу. Число уравнений относительно искомых узловых напряжений равно числу независимых узлов q 1.

Напряжение на любой ветви равно

m

Ig

Eg

 

Rg

 

 

k

разности узловых напряжений. Ток I g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

любой ветви определяется по второму

 

 

 

 

 

 

 

Uk 0

закону Кирхгофа для контура: ветвь– на-

 

 

Um0

 

 

 

 

пряжения узлов ветви относительно ба-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зисного (рис. 2.1). Так для фрагмента це-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пи со схемой рис. 2.1 уравнение второго

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

закона Кирхгофа имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ig R + Uk 0 Um0 = Eg ,

 

 

 

 

 

Рис. 2.1

 

 

 

откуда

Eg Uk 0

+ Um0

 

 

 

 

 

 

 

 

Ig =

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

Каноническая форма уравнений метода узловых напряжений для случая трех независимых узлов имеет вид:

G11 U10 G12 U20 G13 U30 = J11;

G21 U10 +G22 U20 G23 U30 = J22 ;

G31U10 G32 U20 +G33 U30 = J33 .

Здесь G11; G22 ; G33

собственные проводимости ветвей узлов 1, 2, 3, соответст-

венно; G12 = G21; G23 = G32 ;

G13 = G31– общие проводимости ветвей одновременно при-

E1

1

J g

 

 

R4

 

R1

2

E3

R3

3

 

 

 

 

надлежащих двум узлам. J11; J22 ; J33 узловые токи.

Способ определения этих величин поясняет фрагмент схемы цепи с тремя независимыми узлами (рис. 2.2).

Собственная проводимость ветвей узла 2:

R2 J2

0

Рис. 2.2

13

G =

1

+

1

+

1

+

1

R

R

R

R

22

 

 

 

 

1

 

2

 

3

 

4

определяется как суммы проводимостей ветвей, принадлежащих узлу 2. Общие проводимости:

G12 =G21= R11 ; G23 =G32 = R13 + R14 ; G13 =G31=0

определяются как суммы проводимостей ветвей, принадлежащих соответственно узлам 1–2, 2–3 и 1–3 одновременно.

Вклад в узловые токи дают ветвями, содержащие источники. Узловой ток равен алгебраической сумме токов эквивалентных генераторов тока. Для узла 2 (рис. 2.1) имеем

J22

=

E1

E3

+ J g J2 .

 

 

 

 

R1

R3

Источник, стрелка которого направлена к узлу, в уравнение входит со знаком плюс, из узла со знаком минус.

2.2. Решение типовых задач

Задача 2.1

Записать узловые уравнения для цепи со схемой рис. 2.3.

 

R21

 

R22

 

 

1

R1

2

E3

R3

3

 

 

 

 

J4

U10

 

U20

 

R6

 

 

 

 

R4

R5

 

U30

E6

 

 

 

 

0

Рис. 2.3

Решение

В схеме рис. 2.3 четыре узла ( q = 4 ). Число узловых уравнений n = q 1= 3 . Выбираем в качестве базисного узел 0. Уравнения имею вид:

G11 U10 G12 U20 G13 U30 = J11;

G21 U10 +G22 U20 G23 U30 = J22 ;

G31U10 G32 U20 +G33 U30 = J33 .

14

Собственные проводимости узлов 1, 2 и 3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G =

1

+

 

 

 

1

 

+

1

; G =

1

 

 

+

 

 

1

+

1

; G =

1

+

 

 

 

1

+

1

.

 

R

+ R

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

R

+ R

 

 

11

 

R

 

 

 

R

 

22

 

 

 

 

R R

33

 

 

R

 

R

 

1

 

 

21

22

4

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

5

 

 

 

 

3

 

 

 

21

22

 

6

 

Общие проводимости:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

=G

=

1

 

; G =G =

1

 

 

;

G

 

=G

=

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

R

 

 

 

R

 

+ R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

21

 

 

23

32

 

 

 

 

13

 

 

 

 

31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Узловые токи:

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E3

 

 

 

 

 

E3

 

 

 

E6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J11 = J4 ; J22

= −

; J33

=

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R3

 

 

R3

R6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассчитать токи ветвей в электрической

 

 

 

 

 

I1

 

 

 

 

R1

 

 

 

 

 

 

 

цепи по схеме рис. 2.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Параметры резисторов: R1 = 200 Ом;

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I2 2 I3

 

 

 

 

R2 = 100 Ом; R3 = 125 Ом; R4 = R3. Ис-

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

точники: E = 15 B, J = 0,5 A. Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проверить балансом мощностей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R4

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

U30

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U10

 

 

 

 

 

 

 

I4

 

I

Определяем положительные

направле-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ния токов ветвей как на рис. 2.4. В схеме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

цепи три независимых узла. Приняв в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.4

 

 

 

 

 

качестве базисного узел 0, принадлежащий ветви с идеальным источником, получаем

U 30

= E = 15 В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Узловые уравнения для узлов 1 и 2 имеют вид:

G11U10 G12U 20 G13U30 = J11;

 

 

 

 

 

 

 

 

G21U10 + G22U 20 G23U 30 = J 22 .

 

 

 

 

 

Собственные проводимости:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

=

1

+

1

 

= 0,015 1/Ом; G

22

=

1

 

+

1

+

1

= 0,026 1/ Ом.

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

R1

 

R2

 

 

 

R2

 

R3 R4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общие проводимости:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

= G

21

=

1

 

= 0,01 1/ Ом; G

=

1

 

= 5 103 1/ Ом;

 

 

 

12

 

 

 

 

 

R2

 

 

13

 

R1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G23

=

= 8 103 1/ Ом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Узловые токи:

J11 = J = 0,5 А; J22 = 0.

15

Получаем уравнения для расчета неизвестных узловых напряжений:

0,015U10 0,01U20 = 0,5 + 5 103 15;

0,015U10 + 0,026U20 = 8 103 15.

Решив эти уравнения, найдем узловые напряжения:

U10 = 55,7 В; U20 = 26,03 В.

Токи ветвей:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I1

=

U10

U30

 

 

=

55,7 15

= 0,2 А;

 

 

 

 

 

 

200

 

 

 

 

 

R1

 

 

 

 

 

I2

=

 

U10

 

U20

=

 

 

55,7 26,03

= 0,3 А;

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

100

 

 

 

 

I3

=

U20

 

U30

 

=

 

26,03 15

= 0,09 А;

 

R3

 

 

125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I4

=

U20

=

26,03

= 0,21 А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R4

125

 

 

 

 

 

 

 

Ток I в ветви с источником э. д. с. Е определяем из уравнения Кирхгофа для узла 3. Имеем

I = −I1 I3 = −0,2 0,09 = −0,29 А.

Рассчитываем баланс мощностей. Мощность источников

Pист = U10 J + EI = 55,7 0,5 + 15 (0,29) = 23,47 Вт.

Мощность, рассеиваемая в резисторах

Pн = I12 R1 + I22 R2 + I32 R3 + I42 R4 =

= 0,22 200 + 0,32 100 + 0,092 125 + 0,212 125 = 23,47 Вт.

Получаем Pист = Pн, баланс мощностей выполняется. Программа расчета в пакете Mathcad.

R1

 

 

200

 

R2

 

 

 

100 R3

 

 

125 R4

 

 

R3

 

E

 

 

15 J

 

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G11

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

G22

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

R3

 

 

R4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G12

1

 

 

 

 

G21

 

 

 

 

G12

 

G13

1

 

 

 

 

 

G23

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

 

 

R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G11 = 0.015 G22 = 0.026

 

 

G12 = 0.01

G13 = 5 10

 

3

 

 

 

G23 = 8 10

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G13.E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U10

 

 

 

 

 

 

 

G11

 

 

G12

 

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G21

 

 

G22

 

 

 

 

G23.E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исходные данные.

Определение и расчет собственных и общих проводимостей.

Расчет матрицы узловых напряжений.

16

U10 = 55.69

U20 = 26.03

U30

E

U30 = 15

 

 

 

 

 

 

 

 

I1

U10

U30

 

I1 = 0.2

I2

U10

U20

I2 = 0.3

 

 

Расчет токов ветвей.

 

R1

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I3

U20

U30

I3 = 0.09

I4

U20

 

I4 = 0.21

 

 

 

 

 

 

 

 

R3

 

 

 

 

 

 

R4

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет баланса мощностей.

I

I1

I3

I =

 

0.29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pej U10.J

E.I

 

 

Pej = 23.47

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мощность источника.

Pn I12.R1 I22.R2

I32.R3

I42.R4

Pn = 23.47

 

 

 

Мощность нагрузок.

Задача. 2. 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти токи ветвей в цепи со схемой замещения рис. 2.5.

J

 

 

Параметры ветвей: R1 = 110 Ом;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2 = 91 Ом; R = 47 Ом; E = 100 B;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J = 1 A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

R

I2 2 I3

R

3

Проверить решение, составив ба-

 

I1

 

 

 

 

 

I

 

 

I4

ланс мощностей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

 

U20

E

U30

R2

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U10

 

Определяем положительные

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

направления токов. Всхеме цепи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

три независимых узла. Принявв

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.5

 

 

качестве базисного узел 0, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U 20

= E = 100 В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Записываем уравнения для расчета напряжений узлов 1 и 3:

 

 

 

 

G11U10 G12U20 G13U30 = J11;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G31U10 G32U20 + G33U30 = J33 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Собственные проводимости узлов 1 и 3:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G = 1

 

+

1 ; G =

1

+

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

R

 

 

 

R

33

R

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общие проводимости узлов 1– 2; 3 – 2; 1 – 3:

 

 

 

 

 

 

 

G

= 1

; G = 1 ; G13 = G31 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

R

 

 

 

32

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Узловые токи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J11 = – J; J33 = J.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляем численные значения, получаем:

 

 

 

 

 

 

 

G

= 1

 

 

+ 1 = 0,0304 Ом–1; G

 

=

1

+

1

= 0,0323 Ом–1;

 

 

 

11

110

 

47

 

 

 

 

 

33

 

91

47

 

 

 

 

 

G

= 1

 

= 0,0213 Ом–1; G

= 1

= 0,0213 Ом–1;

 

 

 

 

 

12

47

 

 

 

 

 

 

32

 

47

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

J11 = 1; J33 = 1.

Узловые уравнения принимают вид: 0,0304U10 – 0,0213100 = – 1;

0,0213100 + 0,0323 U30 = 1,

откуда

U10 = 1+ 2,13 = 37,17 В; U30 0,0304

=1+ 2,13 = 96,9 В.

0,0323

Токи ветвей:

 

 

 

 

 

 

 

I1

=

U10

= 0,3376 А; I2

=

E U10

= 1,3376 A;

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

 

 

 

R

 

I3

=

E U30

= 0,0652 A; I4

=

U30

= 1,0652 A.

R

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

Ток

I = I3 + I2 = 1,4028 А.

Для проверки решения составляем уравнения баланса мощностей: − мощность, рассеиваемая резисторами,

PR = I12 R1 + I22 R + I32 R + I42 R2 = 200 Вт. − мощность, генерируемая источниками,

Pист = EI + (U30 U10 )J = 200 Вт.

Баланс мощностей выполняется.

Задача. 2.4

На рис. 2.6 представлена схема замещения электрической цепи, содержащая зависимый источник тока, управляемый током. Найти напряжение U2 нанагрузке

R , если R1 = 220 Ом; R2 = 20 Ом; R3 = 470 Ом; R = 510 Ом. Параметр α = 0,95

– коэффициент усиления по току, напряжение Е = 5 В.

Решение

αI1

I1

R1

1

I3

R3

2

 

E

 

I2

U2

R

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

Рис. 2.6

 

 

Назначаем положительные направления токов. Уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2 имеют вид:

I1 + I2 + I3 + αI1 = 0;

I3 − αI1 + UR2 = 0 .

Выражаем токи ветвей через напряжения U1 и U2 узлов 1 и 2 относительно узла 0. По закону Ома:

18

I1 =

E U1

; I2

=

U1

; I3

=

U1 U2

.

 

 

 

 

R1

 

R2

 

R3

Подставляем эти выражения в уравнения по первому закону Кирхгофа, получаем узловые уравнения:

 

1− α

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

(1− α);

 

+

 

 

 

+

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

U

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

R

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

R

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

U

 

 

+

 

 

 

 

+

 

 

U

 

 

= α

 

.

R

 

 

 

R

 

 

 

R

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

 

 

 

R

 

 

3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Из уравнений имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G =

1− α

+

1

 

+

1

; G =

1

 

 

+

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

R1

 

 

R2

 

 

 

 

R3

 

 

 

22

 

 

 

R3

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

G

=

1

 

 

; G

 

=

1

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

R

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

11

=

 

 

E

 

(1− α);

 

 

J

22

= α

 

E

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следует обратить внимание, что в схеме замещения цепи с зависимым источником G12 G21, а каноническую форму узловых уравнений непосредственно по

виду схемы без определения неких дополнительных правил получить нельзя.

Записываем полученные уравнения в матричной форме

GnnUn0 = Jnn ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G11

G12

 

 

 

 

 

 

 

J11

 

где Gnn = G

G

– матрица узловых проводимостей,

Jnn = J

 

 

 

21

22

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

матрица узловых токов,

Un0

U

1 матрица узловых напряжений.

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

U2

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение матричного узлового уравнения имеет вид

 

 

 

 

 

Un0 = Gnn1Jnn .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляем численные значения, получаем:

 

 

 

 

 

 

0,052

2,128 10

3

 

 

3

 

 

 

 

Gnn =

 

 

; Jnn = 1,136 10

;

 

 

 

 

2,191 103

4,088 103

 

0,022

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Un0 =

0,231

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5,157

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

U1= 0,231 В;U2 = 5,157 В.

19

Правильность решения проверяем балансом мощностей. Мощность, рассеиваемая в резисторах и зависимом источнике тока:

P =

(E U1)2

+

U12

+

(U1 U2 )2

+ α

E U1

(U

1

U

2

);

 

 

 

 

пот

R1

 

R2

 

R3

 

R1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pпот= 0,108 Вт;

Мощность источника

Pист = E E U1 = 0,108 Вт.

R1

Pпот= Pист , задача решена верно.

Задача. 2.4

На рис. 2.7 представлена схема замещения разветвленной электрической цепи. Рассчитать токи ветвей методом узловых напряжений. Параметры резисторов:

R1 = 100 Ом; R2 = 130 Ом; R3 = 43 Ом; R4 = 75 Ом; R5 = 91 Ом; R6 = 110 Ом; R7 = 200 Ом. Источники: Е1= 15 В; Е5 = 24 В; Е7 = 8 В; J6 = 0,2 А; J7 = 0,1 А.

Проверитьвыполнение баланса мощностей.

R1

 

E1

 

R3

I1

R2

I2

I4

I3

1

 

R4

 

 

2

3

 

 

 

I5

 

 

I7

 

 

 

R5

 

R6

R7

J6

 

I6

J7

E5

 

 

 

E7

 

 

 

0

I6

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.7

 

Решение.

В схеме q = 4 узлов. По методу узловых напряжений необходимо составить три уравнения. Положительные направления токов в ветвях указаны на рис. 2.7. Каноническая форма записи узловых уравнений имеет вид

G11U10 G12U20 G13U30 = J11,

G21U10 + G22U20 G23U30 = J22 ,

G31U10 G32U20 + G33U30 = J33 ,

20

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.