2. Спеціальна теорія відносності та релятивістська механіка

Координати і час в двох інерціальних системах відліку і пов’язані між собою формулами перетворювання Лоренца

, , ,

,

де - швидкість системи відносно системи (відповідні осі координат систем і паралельні між собою, відносна швидкість направлена вздовж осі Ox.

Усякі чотири величини , , , , які перетворюються при переході від однієї інерціальної системи координат до іншої по формулам:

, , ,

утворюють чотирьохмірний вектор (4-вектор).

Якщо деякий стержень має довжину в своїй системі спокою, то при русі із швидкістю V вздовж своєї вісі той же стержень в нерухомій системи координат матиме довжину

.

Якщо об’єкт рухається відносно системи із швидкістю , то інтервал власного часу (власний час відраховується по годиннику, який рухається разом з об’єктом) виражається через проміжок часу в системі по формулі

.

Чотиримірною швидкістю (4-швидкістю) називається 4-вектор, компоненти якого визначаються формулами

,

де - звичайна швидкість частинки.

4-швидкість, як 4-вектор, перетворюється за формулами

, , ,

Електричне і магнітне поле являються компонентами антисиметричного 4-тензора електромагнітного поля :

.

Компоненти тензора енергії — імпульсу в вакуумі визначаються формулою

.

Релятивістська механіка.

Імпульс релятивістської частинки пов’язаний з її швидкістю співвідношенням:

,

де - маса частинки.

Повна енергія частинки, яка вільно рухається, може бути виражена через швидкість або імпульс:

,

.

Енергія спокою .

Кінетична енергія .

Енергія, імпульс та швидкість пов’язані між собою:

ЗАДАЧІ

32. Знайти закон додавання паралельних релятивістських швидкостей.

33. Два однакових тіла довжиною розташовані вздовж однієї прямої і рухаються назустріч одне одному з однаковими швидкостями V. Якою буде довжина одного тіла у системі відліку, пов’язаною з другим?

34. Ракета рухається прямолінійно з постійним прискоренням ω відносно своєї системи координат. Скільки часу (по “земному годиннику”) ракета буде розганятися до швидкості V=0.8с? Скільки часу піде на це по годиннику, який розташований у ракеті?

35. Показати, що елемент об’єму, чотирьохвимірного простору є інваріант відносно перетворень Лоренца.

36. Показати, що ; ; та є інваріантами відносно перетворень Лоренца.

37. Показати, що вектори поляризації ( ) і намагнічування ( ) створюють 4-тензор другого рангу.

38. Визначити зміну напрямку розповсюдження світла при переході із однієї інерціальної системи координат в іншу. Системи рухаються одна відносно одної із швидкістю вздовж осі OX.

39. Довести можливість або неможливість отримання замість електромагнітного поля чисто електричного (або чисто магнітного) поля за рахунок вибору відповідної системи координат.

40. Виразити імпульс релятивістської частинки через її кінетичну енергію.

41. Виразити швидкість релятивістської частинки через її імпульс.

42. Знайти швидкість частинки з масою m і зарядом е, як вона проходить різницю потенціалів U.

43. Нерухомий -мезон розпадається на -мезон і нейтрино (m=1). Знаючи маси π- та μ-мезонів обчислити кінетичну енергію μ- мезона.

44. На нерухому частинку з масою М налітає друга частинка з масою m і енергією Е. Визначити енергію цієї частинки після зіткнення в залежності від кута розсіювання. Зіткнення рахувати пружним.

45. Визначити рух релятивістської зарядженої частинки (m,q) в однорідному постійному електричному полі. Початкова швидкість частинки дорівнює нулю.

46. Визначити прискорення частинки через її швидкість та напруженості електричного та магнітного полів.

47. Знайти частоту коливань зарядженого просторового осцилятора, який знаходиться в постійному однорідному магнітному полі. Власна частота коливань осцилятора рівна .

48. Визначити релятивістський рух заряду в паралельних однорідних електричному та магнітному полях.

49. Визначити релятивістський рух заряду у взаємно перпендикулярних і однакових по величині електричному та магнітному полях.

50. Дослідити рух зарядженої частинки з масою m і зарядом е в полі, яке створюється іншим нерухомим зарядом е'.

51. Дослідити рух заряду в полі плоскої монохроматичної лінійно поляризованої хвилі.

52. Дослідити рух заряду в полі поляризованої по колу хвилі. Визначити масу частинки, якщо вона розпадається на дві частинки з масами та . Імпульси частинок та , кут між ними θ. Частинка з масою і швидкістю V зштовхується з нерухомою частинкою з масою . Частинка поглинає частинку . Знайти масу і швидкість створеної частинки.

53. Частинка з масою т має енергію . Знайти швидкість частинки V. Розглянути нерелятивістський та ультрарелятивістський граничні випадки.

54. Знайти наближений вираз для кінетичної енергії T частинки з масою m: а) через її швидкість v; б) через її імпульс p з точністю до v⁴/c⁴ і р⁴/m⁴c⁴ відповідно, при v<<c.

55. Знайти швидкість v частинок в наступних випадках: а) електрони в електронній лампі ( =300 эв); б) електрони в синхротроні на 300 Мэв; в) протони в синхроциклотроні на 680 Мэв; г) протони в синхрофазотроні на 10 Гэв.

56. Прискорювач дає на виході пучок заряджених частинок з кінетичною енергією T; сила струму в пучці дорівнює I. Знайти силу F тиску пучка на мішень, яка його поглинає, і потужність W, яка при цьому виділяється в мішені. Маса частинки m, заряд e.

57. Тіло рухається з релятивістською швидкістю v через газ, в одиниці об`єму якого знаходяться N частинок з масою m, які повільно рухаються. Знайти тиск р, який чинить газ на елемент поверхні тіла, нормальної до його швидкості , якщо частинки пружно відбиваються від поверхні тіла.

58. В лінійному прискорювачі частинка прискорюється в щілині між пустотілими циліндричними електродами, вздовж спільної осі яких проходить траєкторія частинки. Прискорення відбувається під дією високочастотного електричного поля з частотою . Розганяються ті частинки, які проходять всі проміжки між електродами при наявності там прискорюючого поля. Якими мусять бути довжини електродів, щоб частинка з зарядом e і масою m пролітала через прискорюючі проміжки в ті моменти часу, коли на них знаходиться максимальна напруга ? Оцінити повну довжину прискорювача з N електродами.

59. Потік монохроматичних μ-мезонів, які народились у верхніх шарах атмосфери (задача сформульована у спрощеному вигляді ), падає вертикально вниз. Знайти відношення інтенсивності потоку μ-мезонів на висоті h над рівнем моря ( ) й на рівні моря ( ), вважаючи, що в даному шарі повітря товщиною h проходить тільки послаблення потоку за рахунок природнього розпаду μ-мезонів. Енергія μ-мезонів = эв, h=3 км, середній час життя нерухомого μ-мезона .

60. -мезон рухається із швидкістю V і в польоті розпадається на два -кванти. Знайти кутовий розподіл -квантів розпаду в лабораторній системі відліку, якщо в системі спокою - мезона воно сферично симетричне.

61. Виразити енергію -мезона, розглянутого в попередній задачі, через відношення числа -квантів розпаду, які вилітають в передню напівсферу, до числа квантів, які вилітають в задню напівсферу.

62. -мезон розпадається в польоті на два -кванти. Показати, що мінімальний кут , на який розлітаються -кванти, визначається умовою в тій системі відліку, в якій швидкість -мезона дорівнює .

63. Знайти залежність енергії -кванта, який виникає при розпаді -мезона від кута між напрямками розповсюдження кванта і руху -мезона. Визначити енергетичний спектр -квантів розпаду в лабораторній системі відліку.

Вказівка. Із законів збереження енергії та імпульсу випливає, що в системі спокою -мезона енергія -кванту .

64. Показати, що яка б не була форма енергетичного спектру -мезонів, енергетичний спектр -квантів розпаду в лабораторній системі координат буде мати максимум при , , де т—маса -мезона. Нехай й — довільні значення енергії -квантів розпаду, які розташовані по різні сторони від вказаного максимуму і відповідають однаковим значенням функції розподілу. Виразити масу -мезона через й .

Вказівка. Використати енергетичний спектр -квантів, знайдений в попередній задачі 62.

65. Визначити масу частинки , якщо відомо, що вона є однією із двох частинок, які утворились при розпаді частинки з масою т і імпульсом р. Імпульс , маса і кут вильоту другої частинки, яка виникла при розпаді також відомі.

66. Нерухоме тіло з масою розпадається на дві частини з масами і Обчислити кінетичні енергії та продуктів розпаду. Знайти розподіл енергії розпаду в системі спокою частинки, яка розпадається між а)між -частинкою і дочірнім ядром при -розпаді ,б) -мезонів і нейтрино при розпаді -мезона , в) -квантом і ядром віддачі при випромінюванні -кванта.

67. Нерухома частинка розпадається по схемі . Виразити енергію розпаду через кінетичну енергію однієї із частинок розпаду і маси , . Обчислити енергію розпаду і масу -частинки, яка розпадається по схемі , використовуючи відоме із експерименту значення =91,7 Мэв. Маса нейтрона 939,5 Мэв , маса –мезона 139,6Мэв. Виконати теж саме для розпаду по іншій схемі , якщо відома =18,8 Мэв.

68. Нерухоме вільне збуджене ядро (енергія збудження ) випромінює -квант. Знайти його частоту . Маса збудженого ядра . В чому полягає причина того, що ħ? Як зміниться результат, якщо ядро буде закріплено в кристалічній решітці (ефект Месбауера)?

69. Нерухома частинка а з масою т розпадається по схемі на три частинки з масами , , і кінетичними енергіями , , . Дослідити кінематику такого розпаду за допомогою діаграми Даліца. Для цього ввести змінні , і розглянути площину (х, у). Кожному конкретному розпаду відповідає відповідна точка на цій площині.

а) довести, що закон збереження енергії обмежує на площині (х, у) область, яка має форму рівностороннього трикутника. Переконатися в тому, що довжини перпендикулярів, опущених з точки, яка зображає даний розпад, на сторони трикутника, дорівнюють кінетичним енергіям утворених частинок;

б) переконатися в тому, що двох величин х и у достатньо для визначення величин імпульсів утворених частинок і кутів між імпульсами в системі спокою частинки, яка розпадається.

70. Знайти енергетичні пороги наступних реакцій:

а) народження -мезона при зіткненні двох нуклонів ;

б) фотонародження -мезона на нуклоні ;

в) народження -мезона и -гіперона при зіткненні -мезона с нуклоном ;

г) народження пари протон — антипротон при зіткненні протона з масою з ядром з масою . Розглянути, зокрема, зіткненні з протоном. Оцінити поріг для народження антипротона на ядрі з масовим числом , вважаючи .

71. Знайти наближений вираз енергетичного порогу реакцій, в яких зміна маси частинок, які співударяються , складає малу частину від їх загальної маси (”реакція між нерелятивістськими частинками”). Використати отриману формулу для знаходження енергетичного порогу реакцій:

а) фоторозщеплення дейтерію (реакція );

б) реакція .

Порівняти отримані наближення з точними.

72. Довести, що народження пари електрон-позитрон одним -квантом можливо лише у випадку, коли в реакції приймає участь частинка з масою спокою (внутрішній стан цієї частинки не змінюється, її роль полягає в тому, що вона приймає частину енергії і імпульсу, що робить можливим виконання закону збереження). Знайти поріг реакції народження пари.

73. Довести, що законом збереження енергії і імпульсу заборонена анігіляція пари електрон-позитрон, яка супроводжується випроміненням одного -кванта, але немає заборони на реакцію анігіляції пари з випроміненням двох фотонів.

74. Частинка з енергією і масою налітає на нерухому частинку з масою . Знайти швидкість центру інерції відносно лабораторної системи відліку при такому зіткненні.

75. Частинка з масою і енергією пружно співударяється з нерухомою частинкою, маса якої . Виразити кути розсіювання , частинок в лабораторній системі координат через їх енергії , після зіткнення.

76. Використовуючи розв`язок попередньої задачі виразити енергію частинок, які пружно розсіялись, через кути розсіювання в лабораторній системі координат.

77. Ультрарелятивістська частинка з масою і енергією пружно розсіюється на нерухомому ядрі з масою . Визначити залежність кінцевої енергії Е частинки від кута її розсіювання.

78. Розв`язати попередню задачу для випадку непружного розсіювання частинки на ядрі. Енергія збудження ядра в системі його спокою задовольняє нерівності .

79. Частинка з масою т випробовує пружне зіткнення з нерухомою частинкою, яка має таку ж масу. Виразити кінетичну енергію розсіяної частинки через кінетичну енергію частинки, яка налітає, і кут розсіювання .

80. Використовуючи результати задачі 77, знайти в нерелятивістському випадку залежність кінетичних енергій і частинок, які пружно зіткнулись, вiд початкової кiнетичної енергiї і кутів розсіювання і в лабораторній системі відліку( друга частинка до зіткнення була нерухома).

81. Частинки з масами і пружно співударяються. Їх швидкості в системі ц. і. і , кут розсіювання , швидкість системи ц. і. відносно лабораторної системи V. Визначити кут , на який розлітаються частинки в лабораторній системі координат. Розглянути випадок .

82. Квант світла з частотою розсіюється на рухомому вільному електроні. Початковий імпульс електрона складає кут з напрямком руху кванта. Знайти залежність частоти розсіяного фотона від напрямку його руху (ефект Компотна). Розглянути, зокрема і випадок, коли електрон до зіткнення був нерухомий.

83. Фотон з енергією ħ розсіюється на ультра релятивістському електроні з масою і енергією ħ . Знайти максимальну енергію ħ розсіяного фотона.

84. Знайти зміну енергії електрона при зіткненні його з фотоном. Початкова енергія електрона , фотона ħ , кут між їхніми імпульсами . Дослідити результат. При яких умовах електрони будуть прискорюватись під дією фотонних ударів?

85. Виразити інваріантні змінні s, t, u для випадку пружного розсіювання однакових частинок через масу , абсолютну величину імпульсу і кут розсіювання в системі ц. і. Iнварiантнi змiннi описуються формулами:

, , ,

де и т. д.-4-iмпульси частинок.

81. Нехай в лабораторній системі частинка нерухома. Виразити енергію частинки в лабораторній системі, а також енергії , частинок в системі ц. і. Через інваріантну змінну (см. задачу 86). Зробити теж саме для абсолютних величин трьохмірних імпульсів , . Використати систему одиниць, в якій швидкість світла с=1.

82. Виразити енергії , частинок, які виникають в результаті реакції двох частинок, через інваріантні змінні (див. задачу 86). Енергії , відносяться до лабораторної системи координат.

83. Виразити кут між трьохмірними імпульсами і в лабораторній системі координат при реакції двох частинок через інваріантні змінні s, t, u. Виразити через ці ж змінні кут між імпульсами і в системі ц. і.

84. Побудувати область допустимих значень змінних і для реакції (фотонародження -мезона на протоні). Яка точка цієї області відповідає порогові реакції? Яке порогове значення енергії -кванта в лабораторній системі? Яку кінетичну енергію має в лабораторній системі -мезон при пороговій енергії -кванта?

85. Два -кванти перетворюються в пару електрон--позитрон. Енергія одного з них задана і дорівнює . При яких значеннях енергії другого кванту і кута між їхніми імпульсами можлива така реакція? Знайти область допустимих значень змінних , . Енергію записувати в одиницях , де - маса електрона.

86. Побудувати на кінематичній площині змінних , фізичні області, які відповідають трьом процесам:

а) — пружне розсіювання,

б) —пружне розсіювання античастинок,

в) — народження пари протон-антипротон.

Маси всіх мезонів і всіх нуклонів однакові (т и М відповідно)

81. Довести, що випромінення і поглинання світла вільним електроном в вакуумі неможливо . Виходити із закону збереження енергії-імпульсу.

82. Довести, що при рівномірному русі заряженої вільної частинки в середовищі з показником заломлення (маса частинки , заряд , швидкість v) може відбуватись випромінення електромагнітних хвиль (ефект Вавілова -Черенкова). Виразити кут між напрямком розповсюдження хвилі і напрямком швидкості v частинки через , , .

Вказівка. В нерухомому середовищі з показником заломлення фотон має енергію ħ і імпульс .

94. Довести, що вільний електрон, який рухається в середовищі із швидкістю , може поглинати електромагнітні хвилі, частоти яких задовольняють нерівності , де —показник заломлення середовища.

95. Частинка, яка має складну структуру і містить в собі електричні заряди (наприклад атом), рухається рівномірно із швидкістю v в середовищі з показником заломлення і знаходиться в збудженому стані. При переході в нормальний стан частинка випромінює квант з частотою (в системі спокою). Цей квант видно в лабораторній системі відліку під кутом по відношенню до напрямку руху частинки. Яка частота спостерігається в лабораторній системі координат (ефект Доплера в середовищі із заломленням)? Роглянути, зокрема, випадок .

96. Записати формули перетворення для векторів поля E, B, і поляризацій Р, М при переході в систему , яка рухається відносно системи з довільно направленою швидкістю V. Представити формули перетворення в векторному вигляді.

Вказівка. Використати антисиметрію тензорів , , .

97. Знайти закон релятивістського перетворення джоулевого тепла Q, використовуючи визначення чотиримірної сили густини сили.

98. В системі відліку є однорідне електромагнітне поле Е, Н. З якою швидкістю відносно мусить рухатись , в якій E||H? Чи завжди задача має єдиний розв’язок? Чому дорівнюють абсолютні значення E та H?

99. В системі відліку електричне і магнітне поля взаємно перпендикулярні: E H. З якою швидкістю відносно мусить рухатись система , в якій є лише електричне або лише магнітне поле? Чи завжди є розв’язок і чи єдиний він?

100. Нескінченно довгий циліндр рівномірно заряджений з лінійною густиною . По осі циліндра тече рівномірно розподілений I. У всьому просторі проникності . Знайти таку систему відліку, в якій існує лише електричне або лише магнітне поле. Знайти величину цих полів.

101. Система диференційних рівнянь для магнітних силових ліній має вигляді dr H=0 (1) не є релятивістськи інваріантною, при переході в іншу інерціальну систему не зберігає свого вигляду.

а) показати, що для полів деякого спеціального вигляду система рівнянь dr H+cEdt=0, E·dr=0 (2) може розглядатись як релятивістськи інваріантне узагальнення системи (1).

б) з’ясувати структуру полів, для яких таке узагальнення можливе шляхом розгляду умов сумісності рівнянь (2). Скільки незалежних рівнянь міститься в системі (2)?

в) який вигляд має умова інтегрованості системи (2)?

г) переконатись в тому, що силові лінії, які визначаються системою (2), рухаються в поперечному напрямку із швидкістю u=cE H/H², тобто можуть рухатись навіть у випадку статичних полів

102. Показати, що релятивістськи інваріантна система рівнянь для електричних силових ліній, аналогічна системі (2) з попередньої задачі, має вигляд (1). Які вимоги накладаються на E и H, а також на розподіл зарядів і струмів умовами сумісності і інтегрованості системи (1)? Як рухаються силові лінії, які визначаються системою (1)?

103. Знайти величину е. р. с. Електромагнітної індукції, яка виникає при русі провідника в магнітному полі B. Використати формули перетворення напруженостей полів, або формули перетворення потенціалів.

104. Знайти , A, E, H поля точкового заряду e, який рухається із швидкістю V , виконавши перетворення Лоренца від системи відліку, в якій заряд нерухомий.

105. Показати, що електричне поле заряду, який рівномірно рухається стискається в напрямку руху. При цьому послаблюється поле E на лінії руху зряду по відношенню до кулонівського поля. Як це послаблення узгоджується з формулою перетворення ?

106. Електричний диполь з моментом в системі спокою рівномірно рухається із швидкістю V. Знайти створюване ним поле , A, E, H.

107. Отримати формули перетворення електричного p і m магнітного дипольних моментів поляризованого і намагніченого тіла при переході від інерціальної системи відліку, де тіло нерухоме, до іншої інерціальної системи.

Вказівка. Використати відомі формули перетворення вектора поляризації P і вектора намагнічення M.