МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Гаркуша В.В., Зюбанов О.Є., Пойманов В.Д.

Юрченко В.М.

ЗБІРНИК ЗАДАЧ

З ЕЛЕКТРОДИНАМІКИ

Рекомендовано до

видання рішенням ради

фізичного факультету ДонНУ

(протокол №1 від 2010р.)

Донецьк 2010

УДК 537(075.34)

Збірник задач з електродинаміки:

Навчальний посібник / Гаркуша В.В., Зюбанов О.Є.,

Пойманов В.Д., Юрченко В.М. - Донецьк: ДонНУ, 2010. - 47с.

Зібрано більше 200 задач по різним розділам електродинаміки і спеціальної теорії відносності та основами векторного і тензорного аналізу. Перед кожною темою вміщено перелік основних теоретичних положень та формул. Збірник розрахований на студентів-фізиків, радіофізиків.

^{Рецензенти:}

д-р фіз.- мат наук, професор Любчанскій І.Л.

д-р фіз.- мат наук, с.н.с. Стефановіч Л.І.

Технічні редактори:

Передмова

В даний збірник задач зібрано задачі, які на протязі останніх років розв’язувались на практичних заняттях при вивченні курсу електродинаміки студентами фізичного факультету. Кількість задач і рівень їх складності підібрані таким чином, щоб студенти за час вивчення курсу встигли розв’язати близько 70% задач. Для полегшення роботи студентів перед кожним розділом поміщено основні теоретичні відомості. До збірника включено найбільш характерні і типові задачі курсу електродинаміки. Частина задач складена авторами, інші підібрані з різних збірників задач і відповідно перероблені.

1. Основи векторного і тензорного аналізу

В криволінійних ортогональних системах координат мають місце наступні тотожності:

в сферичній системі координат:

, , ;

, , ;

;

;

;

;

;

;

в циліндричній системі координат:

, , ;

, , ;

;

;

;

;

;

.

При любих і мають місце тотожності:

; ; .

Основні інтегральні теореми, які дозволяють перетворювати об’ємні, поверхневі і контурні інтеграли один в одного.

Теорема Остроградського-Гаусса:

,

де –деякий об’єм; - замкнута поверхня, яка обмежує цей об’єм.

Теорема Стокса:

де - замкнутий контур, - довільна поверхня, яка опирається на цей контур.

ЗАДАЧІ

1. Показати, що слід тензора другого рангу є скаляр.

2. Знайти загальний розв’язок рівняння Лапласа для скалярної функції, яка залежить лише від а) r; б) θ в сферичних координатах.

3. Знайти загальний розв’язок рівняння Лапласа для скалярної функції, яка залежить від а) r; б) φ в циліндричних координатах.

4. Два напрямки і в сферичній системі координат визначаються кутами , і , . Знайти косинус кута між ними.

5. Довести, що величина є тензором другого рангу, - компоненти вектора.

6. Показати, що компоненти тензора (символ Кронекера) являються тензором другого рангу.

7. Довести, що властивість симетрії (антисиметрії) тензора зберігається при поворотах системи координат.

8. Довести, що сума діагональних компонент тензора другого рангу є інваріантом.

9. Нехай у всіх системах координат компоненти вектора лінійно виражаються через компоненти вектора : . Довести, що сукупність величин є тензором другого рангу.

10. Довести, що сукупність величин , де - тензор третього рангу, а - тензор другого рангу, являється вектором.

11. Показати, що матриця нескінченно малого повороту системи координат може бути записана у вигляді , де - антисиметрична матриця ( )

12. Довести, що коли - ортогональна матриця перетворення, то при її транспонуванні отримаємо матрицю оберненого перетворювання.

13. Знайти рівняння лінії вектора .

14. Довести, що коли в кожній системі координат і - тензор другого рангу, а - вектор, то - також вектор.

15. Підрахувати потік вектора через сферичну поверхню радіусом . Центр сфери співпадає з точкою .

16. Довести, що компоненти антисиметричного тензора другого рангу при поворотах перетворюються як компоненти вектора.

Довести наступні співвідношення

17. У всіх декартових системах координат задана сукупність величин ,які мають такі властивості: при перестановці любих двох індексів змінює знак, . Довести, що є псевдотензором третього рангу (повністю антисиметричним одиничним псевдотензором третього рангу).

18. Знайти компоненти С_x, C_y, C_z векторного добутку , а також подвійного векторного добутку (використовуючи тензор Леві-Чівіта).

19. Обчислити дивергенцію радіус вектора в прямокутній декартовій, сферичній та циліндричній системах координат.

20. Використовуючи декартові, сферичні та циліндричні координати обчислити: , , , де - радіус-вектор, - постійний вектор.

21. Обчислити , та .

22. Знайти функцію , яка задовольняє умові .

23. Показати, що ; ; .

24. Знайти дивергенцію та ротори таких векторів та , де і - постійні вектори.

25. Обчислити і ( -постійний вектор) в сферичній системі координат.

26. Довести наступні тотожності:

1. ;

   1. ;

   2. ;

   3. .

27. Знайти: 1) ; 2) ; 3) .

28. Знайти дивергенцію та ротори наступних векторів: 1) ; 2) ; і - постійні вектори.

29. Обчислити інтеграл , де - постійний вектор.

30. Інтеграл по замкненому контуру перетворити на інтеграл по поверхні, яка опирається на цей контур.

31. Довести, що , при . Знайти середнє значення компонент вектора з модулем 1 всі напрямки якого рівновероятні .