3. Реляционные алгебра и исчисления

Прежде чем изучать языки запросов, рассмотрим математические основания, лежащие в их основе – реляционные алгебру и исчисления. Идея о том, что в основе языка программирования может лежать строгая математика, может быть необычной для программиста на объектно-ориентированных языках. Родословная языков и их математических основ приведена на Рис. 14. Реляционная «веточка» изучается в данном курсе, «веточка» Пролога – в курсе «Представление знаний в информационных системах», «веточка» Lispa – в интеллектуальных информационных системах.

Рис. 14. Схема языков и их математических основ

Реляционное исчисление на кортежах предложено Коддом, на доменах - Лакруа и Пиро. В выражениях реляционной алгебры всегда явно задается некий порядок, а также подразумевается стратегия вычисления. В исчислениях отсутствует описание процедуры вычисления, так как указывается, что, а не как следует извлечь. В совокупности с реляционной алгеброй эти формы реляционного исчисления составляют три эквивалентных абстрактных языка запросов к реляционным БД. Они не реализованы в чистом виде в какой-либо действующей СУБД, но служат эталоном для оценки существующих систем.

3.1. Реляционная алгебра

Реляционная алгебра, предложенная Коддом, содержит несколько основных и дополнительных операций над отношениями, которые позволяют получать различные результаты на основе исходных отношений. Эти операции описаны в Табл. 7.

Табл. 7. Операции реляционной алгебры

Операция	Результат	Графическая интерпретация
Селекция	Кортежи из R, которые удовлетворяют условию (предикату).
Проекция	Оставляются значения указанных в проекции атрибутов, удаляются кортежи-дубликаты.
Объединение	В результат входят кортежи из обоих отношений, дубликаты удаляются. Отношения должны быть совместимыми по атрибутам
Разность	Те кортежи из R, которых нет в S
Пересечение	Общие для R и S кортежи
Декартово произведение	Каждый кортеж из R соединяется со всеми кортежами из S	R S A 1 A 1 B 2 A 2 3 A 3 B 1 B 2 B 3
Тета-соединение	Из декартова произведения выбираются кортежи, удовлетворяющие предикату F
Соединение по эквивалентности	Из декартова произведения R на S выбираются кортежи, удовлетворяющие предикату F, который содержит условие на равенство двух атрибутов.
		R S A B B C a 1 1 x b 2 1 y 3 z
Естественное соединение	Соединение по эквивалентности, выполненное по общим атрибутам. В результате общий атрибут присутствует один раз.	A B C a 1 x a 1 y
Композиция	Соединение отличается от естественного тем, что из результирующего отношения удаляются оба атрибута соединения.
Левое внешнее соединение	Помимо кортежей как в естественном соединении, в результат входят также не включенные в естественное соединение кортежи R с пустыми атрибутами из S, которых нет в R	A B C a 1 x a 1 y b 2
Полусоединение	Те кортежи из R, которые входят в соединение R и S.	A B a 1
Деление	Множество кортежей из R (берутся только атрибуты, имеющиеся в R, но отсутствующие в S).

Операции не являются независимыми, их связывают формулы. Например:

R  S = R — (R — S)

R[A  B]S = R[A] – (S X R[A]-R)[A]

Желаемый результат описывается в виде формул с операциями реляционной алгебры над отношениями.