13.3. Алгоритмы работы с деревьями

В приведенных ниже алгоритмах предполагается, что узел (элемент) дерева декларирован следующей записью:

А1. Вычисление суммы значений информационных полей элементов

Алгоритм реализован в виде функции, возвращающей значение суммы информационных полей всех элементов. Тривиальным считается случай, когда очередной узел – пустой, и, следовательно, не имеет информационного поля.

Для нетривиального случая результат вычисляется как значение информационного элемента в корне (Root^.Data) плюс суммы информационных полей левого и правого поддеревьев.

А выражение Sum(Root^.left)представляет собой рекурсивный вызов левого поддерева для данного корня Root.

А2. Подсчет количества узлов в бинарном дереве

А3. Подсчет количества листьев бинарного дерева

Анализ приведенных алгоритмов показывает, что для получения ответа в них производится просмотр всех узлов дерева. Ниже будут приведены алгоритмы, в которых порядок обхода узлов дерева отличается. И в зависимости от порядка обхода узлов бинарного упорядоченного дерева, можно получить различные результаты, не меняя их размещения.

Примечание: Просмотр используется не сам по себе, а для обработки элементов дерева, а просмотр сам по себе обеспечивает только некоторый порядок выбора элементов дерева для обработки. В приводимых ниже примерах обработка не определяется; показывается только место, в котором предлагается выполнить обработку текущего.

А4. Алгоритмы просмотра дерева

Самой интересной особенностью обработки бинарных деревьев является та, что при изменении порядка просмотра дерева, не изменяя его структуры, можно обеспечить разные последовательности содержащейся в нем информации. В принципе возможны всего четыре варианта просмотра: слева-направо, справа-налева, сверху-вниз и снизу-вверх. Прежде чем увидеть, к каким результатам это может привести, приведем их.

а. Просмотр дерева слева – направо

б. Просмотр справа налево

в. Просмотр сверху – вниз

г. Просмотр снизу-вверх

Пример 1. Рассмотрим результаты просмотра для приведенных алгоритмов, при условии, что обработка корневого элемента сводится к выводу значения его информационного поля, а дерево в этот момент имеет следующие узлы:

Результаты просмотра:

Алгоритм «Слева направо»	1, 3, 7, 10, 70, 96, 98
Алгоритм «Справа налево»	98, 96, 70, 10, 7, 3, 1
Алгоритм «Сверху вниз»	10, 3, 1, 7, 96, 70, 98

Из приведенной таблицы видно, что, просто изменяя порядок просмотра дерева (слева-направо и справа-налево), можно получить отсортированные по возрастанию или по убыванию числа.

Пример 2. Пусть в узлах дерева расположены элементы арифметического выражения:

Результаты просмотра:

«Слева направо»	8 * 7 + 9 – 4	инфиксная форма записи выражения
«Сверху вниз»	+ * 8 7 – 9 4	префиксная форма записи выражения
«Снизу вверх»	8 7 * 9 4 – +	постфиксная форма записи выражения