вопросы к экзамену

Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами.

Определители. Основные понятия. Свойства определителей.

Невырожденные матрицы. Основные понятия. Обратная матрица.

Невырожденные матрицы. Основные понятия. Ранг матрицы.

Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капели.

Системы линейных уравнений. Формулы Крамера.

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.

Системы линейных однородных уравнений.

Собственные значения и собственные вектора матриц.

Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось.

Векторы. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы.

Векторы. Действия над векторами, заданными проекциями.

Скалярное произведение векторов и его свойства.

Векторное произведение векторов и его свойства.

Смешанное произведение векторов и его свойства.

Линейное пространство.

Система координат на плоскости.

Уравнения прямой на плоскости.

Прямая линия на плоскости. Основные задачи.

Линии второго порядка (окружность, эллипс).

Линии второго порядка (гипербола, парабола).

Уравнения плоскости в пространстве.

Плоскость. Основные задачи.

Уравнения прямой в пространстве (на самостоятельное изучение!).

Прямая линия в пространстве. Основные задачи.

Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи.

Цилиндрические поверхности.

Поверхности вращения. Конические поверхности.

Канонические уравнения поверхностей второго порядка (эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид).

Канонические уравнения поверхностей второго порядка (эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, конус второго порядка).

Числовые последовательности. Монотонные и ограниченные последовательности. Точная нижняя и точная верхняя границы числовой последовательности.

Предел числовой последовательности, его геометрический смысл. Признаки существования предела числовой последовательности.

Свойства предела числовой последовательности. Вычисление предела суммы, произведения, частного.

Бесконечно малая. Бесконечно большая. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой.

Понятие функции. Способы задания функции. Виды функций. Обратная функция. Сложная функция.

Понятие предела функции в точке.

Односторонние пределы функции в точке. Предел суммы, произведения, частного.

Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в интервале и на отрезке.

Точки разрыва функции. Их классификация.

Непрерывность элементарных функций. Непрерывность сложной функции.

Теоремы Больцано – Коши, Вейерштрасса о непрерывных функциях. Их геометрический смысл.

Бесконечно малая функция. Бесконечно большая функция. Связь между ними.

Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции.

Задача о касательной. Производная функции. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали.

Скорость прямолинейного движения. Производная функции. Механический смысл производной.

Производные основных элементарных функций (с выводом). Производные суммы, произведения, частного.

Связь между дифференцированностью и непрерывностью функции. Односторонние производные.

Производная сложной функции. Производная обратной функции.

Дифференцирование неявно заданной функции. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

Дифференцирование вектор-функции скалярного аргумента.

Логарифмическое дифференцирование.

Дифференциал функции. Его свойства, геометрический смысл. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Производные высших порядков неявно заданной функции и функции, заданной параметрически.

Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя.

Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Наибольшие и наименьшие значения функции.

Направления выпуклости и точки перегиба графика функции.

Полное исследование функции.

Функция многих действительных переменных.

Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции нескольких переменных.

Частные производные функции нескольких переменных. Их геометрический смысл.

Полный дифференциал функции нескольких переменных. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

Производная сложной функции нескольких переменных. Инвариантность полного дифференциала.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Частные производные и дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных.

Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшие и наименьшие значения функции нескольких переменных в замкнутой области.