Вопрос 7

1. Ур-е (x-x₀)/F’_x(x₀,y₀,z₀)= (y-y₀)/F’_y(x₀,y₀,z₀)= (z-z₀)/F’_z(x₀,y₀,z₀) является Ур-ем нормали для пов-ти S заданной Ур-ем F(x,y,z)=0

2. если f’_x(P₀)=f’_y(P₀)=0 , то точка P₀(x₀,y₀) есть точка экстремума при условии, что P₀(x₀,y₀)-критическая точка

3. если ф-я y=y(x) неявно задана Ур-ем f(x,y)=0, то dy/dx=-f’_x(x,y)/f’_y(x,y)

4. по теореме о смешанных производных равенство f’’_yх(x₀,y₀)=f’’_xy(x₀,y₀) верно, если ф-я z=f(x,y) и её частные производные f'_x,f’_y, f’’_yх, f’’_xy определены в точке M(x₀,y₀) и в некоторой её окрестности

5. если функция z=z(x,y) неявно задана уравнением F(x,y,z)=0 , то δz/δy=-F’_y/F’_z

6. По определению полным дифференциалом функции u=f(x,y) называется dz=δz/δx*dx+δz/δy*dy

7. По опред. диф. второго пор. функции z=f(x.y) называется диф. от ее деф. первого порядка d2z=d(dz)=δ²z/δx²dx²+2δ²z/δxδy+δ²z/δy²dy²

8. По определению частным диф. d_yz по у ф-ии z=(x,y) называется d_yz=δf/δy*dy

9. Если функция z=z(x,y) неявно заданна уравнением F(x,y,z)=0 то частная производная δz/δy=-F’_y/F’_z

10. Если функция z=f(xy) дважды деф. то для ее смешанных соотношений верно соотношение δ²z./δxδy=δ²z/δyδx

Вопрос 8

1. производная ∂f/∂l(P₀) в направлении l , касательной к поверхности уровня ф-ии f вточке P₀, равна 0

2. координато вектора нормали касательной плоскости r пов-ти S:F(x,y,z)=0 в точке Р₀ равны {δF/δx|_po;δF/δy|_po; δF/δz|_po }

3. ф-я u-f(x,y,z) имеет максимум в точке Р₀, если сущю такая окр-ть точки Р₀, что для любых точек Р, пренадл-их этой окр-ти выполн-ся нер-во f(x,y,z)<f(x₀,y₀,z₀)

4. по определению экстремумами ф-ии u=f(x,y,z) мазываются максимум и минимум ф-ии

5. если f’_x(x₀,y₀)=f’_y(x₀,y₀)=0 b A=f’’_xx(x₀,y₀); B=f’’_yy(x₀,y₀); C=f’’_xy(x₀,y₀) то точка P₀(x₀,y₀) есть точка минимума при АВ-С²>0 и A>0

6. Если P0 точка минимума то для du справедливо du=0

7. Если u(x,y,z) достигает экстримума в точке p0(x0y0z0) то необходимое условие существования эстр. все частные производные равны нулю.

8. Если f’_x(x0,y0)=f’_y(x0,y0)=0 & A=f’’xx(x0,y0), B=f’’yy(x0,y0), C=f’’_xy(x0,y0) то точка P₀(x0,y0) не является точкой экстримума если AB-C²<0

9. Нормаль к поверхности x-x₀/f’x(x₀,y₀)=y-y₀/f’y(x₀,y₀)=z-z₀/-1

10. Минимум в точке P(x₀,y₀,z₀) для любой точки P(x,y,z) выполняется неравенство f(p0)<f(ꗬÁ䀵Йደ¿က؀基

Вопрос9

5. нормаль к кривой Г: f(x,y)=0 в точке P₀(x₀,y₀) задается уравнением

(x-x₀)/f’_x(x_0,y₀)=(y-y₀)/f’_y(x₀,y₀)

6. координато вектора нормали касательной плоскости к пов-ти S:z=f(x,y) в точке Р₀ равны {δf/δx|_po;δf/δy|_po;-1}

7. Ур-е f’_x(x₀,y₀)(x-x₀)+ f’_y(x₀,y₀)(x-x₀)=0 явл-ся Ур-ем касательной плоскости для этой кривой, зад-ой Ур-ем f(x,y)=0

8. градиент grad f(P₀) обр-ет с вектором нормали n к поверхности уровня ф-ии f угол 0⁰

9. Касательная к кривой f_x’(p₀)(x-x₀)+f_y’(p₀)(y-y₀)=0

Вопрос 10

1. областью опр-я ф-ии f(x,y) двух переменных x,y наз-ся совок-ть пар (x,y) значений х и у , при которых определяется ф-я f(x,y)

2. если ф-я u=f(x,y,z) с Ур-ем связи φ(x,y,z)=0 имеет в т.Р₀ условный максимум , то ф-я Лагранжа удовлетворяет системе :∂F/∂x|_Po=0 и ∂F/∂y|_Po=0

3. значение производной δf/δn(P₀) достигаетсяв направлении n , состовляющим с grad f(P₀) угол 0⁰

4. для функции z=f(x,y) с уравнением связи φ(x,y)=0 функция Лагранжа павна F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)

5. Производная u=f(x,y,z) в точке p(x0,y0,z0) в направлении вектора n(cosλ, cosβ, cosγ) вычисляется по формуле δu/δn=δu/δx₀cosλ+δu/δy₀cosβ+δu/δz₀cosγ

6. Имеет условные максимум ЕСЛИ существует такая окресность тР0 для всех точек Р которой (РнеравноР0) удволетворяющих уравнению связи γ(x,y)=0выполняется неравенство f(P0)>f(P)

7. grad=δu/δx i + δu/δy j + δu/δz k

8. Имеет условные минимум ЕСЛИ существует такая окресность тР0 для всех точек Р которой (РнеравноР0) удволетворяющих уравнению связи γ(x,y)=0выполняется неравенство f(P0)<f(P)

9. Если вектор n образует угол Q с grad f(p0) то производная по направлению δf/δn(Po) равна δf/δn(p0)=пр_ngradK=δf/δxcosλ+δf/δycosβ+δf/δzcosγ где Q=n^gradK