3. Линейчатые поверхности с двумя направляющими (группа бii)

Движение прямой — образующей по трем направляющим, не един­ственный способ образования линейчатой поверхности. Только что доказанная теорема убедительно подтверждает справедливость тако­го высказывания. Из этой теоремы вытекает важное следствие: линейчатая поверхность может быть однозначно определена двумя направ­ляющими и плоскостью параллелизма.

В этом случае определитель линейчатой поверхности примет вид

Ф(; ,,); [ { ,,}    () = ⁰].

Здесь  - направляющая плоскость. В частном случае, если угол между g_i и  = 0° (образующая параллельна плоскости ) , то  называют плос­костью параллелизма.

Пусть будут заданы две произвольные кривые d₁ и d₂ и плоскость . Можно задать такой закон перемещения прямолинейной образую­щей g_j , при котором она, скользя по линиям d₁ и d₂, все время сох­раняет постоянный  ° с плоскостью . Плоскость  заменяет ту третью направляющую, которая образуется множеством точек пересечения движущейся прямолинейной образующей g_i, с плоскостью .

В рассматриваемую группу поверхностей входят три подгруппы:

а) цилиндроиды, б) коноиды, в) косые плоскости.

Перечисленные подгруппы поверхностей могут быть отнесены к двум разновидностям:

поверхности, образованные с помощью направляющей плоскости;

поверхности, в создании которых принимала участие плоскость параллелизма.

К первой разновидности относятся косые линейчатые поверхности (косой цилиндроид, косой коноид, дважды косая плоскость); ко вто­рой — прямые линейчатые поверхности (прямой цилиндроид, прямой коноид, косая плоскость). Поверхности с плоскостью параллелизма называются поверхностями Каталана. Из линейчатых поверхностей с двумя направляющими рассмотрим только поверхности Каталана, так как именно эти поверхности находят широкое применение в технике.

4. Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма (поверхности каталана).

При формировании линейчатой поверхности с помощью плоскости параллелизма образующие должны быть параллельны этой плоскости, поэтому они пересекаются с ней в несобственных точках, множество которых определяет несобственную прямую; эту прямую следует рас­сматривать как третью направляющую линейчатой поверхности, т. е. плоскость параллелизма является как бы собственным представителем несобственной прямой. Образование линейчатой поверхности с помощью плоскости параллелизма является частным случаем общего способа формирования линейчатой поверхности с двумя направляющими.

Определитель для группы поверхностей Каталана имеет вид

Ф (; d₁, d₂,, ); [  { d₁ , d₂,}    (g_i ) = 0⁰].

Для задания поверхности этой группы на эпюре Монжа достаточно указать проекции направляющих d₁ и d₂ и положение плоскости па­раллелизма  (рис.13. 15).

1. Поверхность прямого цилиндроида (см. рис. 13). По­верхность прямого цилиндроида образуется в том случае, когда нап­равляющие d₁ и d₂ гладкие кривые линии, причем одна из них должна принадлежать плоскости, перпендикулярной плоскости параллелизма.

Для определения проекций прямолинейных образующих поверх­ности прямого цилиндроида достаточно провести прямые, параллель­ные плоскости параллелизма. На рис. 16 показано построение обра­зующей g_i.