Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Вопросы для подготовки теоретической части экзамена по математике для студентов 1 курса вечернего отделения

.doc
Скачиваний:
8
Добавлен:
25.05.2014
Размер:
49.66 Кб
Скачать

Вопросы для подготовки теоретической части экзамена по математике для студентов первого курса вечернего отделения ИЭФ УГАТУ.

I. Коплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая, экспоненциальная формы представления комлексных чисел.

2.Действия над комплексными числами: сложение, умножение, деление, возведение в

степень, извлечение корня.

3. Извлечение корня из комплексного числа. Решение алгебраических уравнений в поле

комплексных чисел.

4.Матрицы. Действия над ними.

  1. Свойства операций над матрицами.

  2. Определение определителя квадратной матрицы. Дискриминантный тензор и его свойства. 7.Свойства определиеля: 1)матрицы с нулевой строкой, 2) матрицы со строкой, элементы которой имеют общий множитель.

8.Свойства определителя: 1)матрицы с двумя одинаковыми строками, 2)определителя транспонированной матрицы.

9.Определитель матрицы, у которой строка представлена как сума двух строк. 10. Вычисление определителя второго и третьего порядка.

II. Вычисление определителя по элементам строки или столбца.

  1. Свойства определиеля: 1)матрицы с линейной комбинацией строк, 2)треугольной матрицы.

  2. Определиель матрицы, полученной как произведение двух квадратных матриц. 14.0братимые матрицы.Два метода вычисления обратных матриц.

15.Линейная зависимость и независимость системы векторов. Векторный базис и линейная

оболочка. .

16. Эквивалентная система векторов.

17.Ранг матрицы и система базисных миноров.

18.Вычисление ранга матрицы при помощи элементарных преобразований.

  1. Координаты вектора относительно базиса. Радиус - вектор и декартовая система координат.

  2. Ранг конечной системы векторов.

  3. Определение геометрического вектора. Правило сложения двух векторов. 22.Вычитание векторов. Умножение вектора на скаляр.

  1. Скалярное произведение векторов и его свойства.

  2. Скалярное произведение векторов, заданных в декартовом базисе.

  3. Метод координат на плоскости. Деление отрезка в данном отношении. 26.Геометрическое истолкование уравнений и неравенств между координатами. 27.Параметрическое уравнение прямой. Вывод уравнения и геометрический смысл параметов уравнения.

28. Уравнение прямой на плоскости в нормальном виде (общее уравнение прямой). Вывод

уравнения и его геометрический смысл.

29.Уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой в форме пучка прямых.

30. Каноническое уравнение прямой и уравнение прямой, проходящей через две заданные

точки.

31 .Угол между двумя прямыми.

32.Расстояние от заданной точки до прямой, заданной в нормальном виде.

ЗЗ.Расстояние между двумя точками в пространстве и в декартовой системе координат.

34. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Свойства векторного

произведения. Площадь параллелограмма.

35. Смешанное произведение векторов и объем параллелепипеда. Зб.Параметрическое уравнение плоскости в пространстве и в декартовых координатах. 37.Уравнение плоскости в нормальном виде (общее уравнение плоскости). Вывод и геометрический смысл его параметров. 38.Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

  1. Прямая, как линия пересечения двух плоскостей.

  2. Угол между двумя плоскостями.

41.Эллипс. Его геометрические свойства и соотношения между полуосями, эксцентриситетом и фокусным расстоянием.

42.Гипербола. Её геометрические свойства и соотношения между полуосями, эксцентриситетом и фокусным расстоянием.

  1. Парабола, ее директрисса и фокус.

  2. Исследование и решение систем линейных уравнений.

  3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

  4. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

  5. Решение систем линейных уравнений методом Краммера.

  6. Решение систем линейных уравнений в случае когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы уравнений, но меньше числа переменных. Фундаментальное решение как сумма частного решения неоднородной системы и общего решения однородной.

49.Понятие функции. Арифметические операции над функциями. 50.Способы задания функций, элементарные и сложные функции. 51.Четные и нечетные, периодичекие и не периодические элементарные функции.

  1. Обратные элементарные функции. График обратной фукции

  2. Ограниченные и неограниченные функции. Монотонные функции и участки монотонности функций.

54.Числовая последовательность. Сходящиеся и несходящиеся числовые последовательности. Конечный и бесконечнй предел числовой последовательности.

  1. Теоремы о пределе постоянной. Теорема о пределе числовой последовательности, имеющей общий множитель.

  2. Теорема о сумме (разности) числовых пределов.

  3. Теорема о единственности предела числовой последовательности.

  4. Теоремы о произведении пределов числовых последовательностей.

  5. Теорема о частном пределов числовых последовательностей. бО.Бесконечно малые последовательности. Их свойства.

62. Бесконечно большие последовательности и их свойства. 63 .Предел монотоных числовых последовательностей. 64.Понятие подпоследовательности. Частичные пределы.

  1. Предел функции по Коши на языке эпсилон - дельта окрестностей.

  2. Предел функции по Гейне на языке сходящихся числовых последовательностей.

  3. Односторонние пределы функции в точке.

  4. Определение непрерывности функции в точке.

  5. Односторонняя непрерывность функции в точке. 70.Точки разрыва и их классификация.

  1. Функция непрерывная на интервале.Свойства непрервыных функций.

  2. Устранимые точки разрыва, точки разрыва монотонной функции.

  3. Бесконечно малые и их классификация.

  4. Точки пересечения и точки касания функций.

  5. Первый замечательный предел.

  6. Второй замечательный предел.

  1. Приращение и производная явной функции. Геометрический смысл производной.

  2. Понятие дифференциала функции.

  3. Производная от степенной функции. 80.Производная от тригонометрических функций. 81.Производная от показательной функции.

82.Производная от обратных функций.

  1. Производная от обратных тригонометрических функций.

  2. Производная от логарифмических функций.

85.. Теорема Ферма о плотности значений непрерывной функции в заданном интервале. 86.Теорема Ролля о непрерывной на интервале функции с равными на концах значениями, имеющую на заданном интервале непрерывную производную.

  1. Теорема Лагранжа о конечных приращениях.

  2. Следствие из теореммы Лагранжа о предельном равенстве дифференциала и приращения функции.

89.Производная от сложной функции.

  1. Производная от произведения.

  2. Производная от частного.

  3. Логарифмическая производная.

  4. Производная от функций, заданных параметрически.

  5. Производная от функций, заданных неявно.

  6. Производные высших порядков от явно заданых функций.

  7. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически.

  8. Производные высших порядков от функций, заданных неявно.

  9. Формула Тейлора. Её вывод индуктивным методом.

  10. Остаточный член формулы Тейлора. Его форма записи и значение.

  1. Применение производной для исследования функций и построения графиков. Условия постоянства и условия монотонности функции на интервале.

  2. Применение производной для исследования функций и построения графиков. Необходимые и достаточные условия экстремумов функции на интервале.

  3. Применение производной для исследования функций и построения графиков. Условия выпуклости и вогнутости функции на интервале. Локальные максимумы и минимумы, точки перегиба функции на интервале.

  4. Виды неопределенностей при вычислении пределов функций.

  5. Разложение функций в ряды Тейлора и раскрытие неопределенностей при вычислении предела функции.

  6. Правило Лопиталя при раскрытии неопределенности в предельных соотношениях.

  7. Касательные прямые к графикам функций.

  8. Вертикальные и горизонтальные ассимптоты.

  9. Наклонные ассимптоты.

  10. Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду. Поворот осей координат.

110.Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду. Перенос осей

координат.

111. Собственные значения и собственные вектора матрицы квадратичной формы и ее

канонический вид.

Для подготовки теоретической части рекомендуются учебники:

  1. В.И. Смирнов Курс высшей математики. Тома 1, 2, 3.

  2. Фихтенгольц. Высшая математика. ( в четырех томах)

3.6. Бугров Я.С., Никольский СМ. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука. 1989.

  1. Бугров Я.С., Никольский СМ. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука. 1989.

  2. Бугров Я.С., Никольский СМ. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1989.

  3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука. 1970.

  4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука. 1970.

  5. Никольский СМ. Курс математического анализа (2 т.). М.: Наука. 1991.