Задача 4

Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов: рабочую силу (L, тыс. чел.-час.) и оборудование (K, тыс. ст.-час.). Производственная функция (ПФ) фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид: , где Y - объем выпуска продукции (ед.).

Требуется:

1. Построить графики ПФ при фиксированном значении одной из переменных: а) K=54, б) L =54.

2. Найти уравнения изоквант ПФ и построить их графики для Y1=36, Y2=54, Y3=72.

3. Пусть известны объем выпуска продукции Y=54 и наличные трудовые ресурсы L=54 в базовом периоде. Определить потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

4. Рабочая сила нанимается по контракту с почасовой оплатой труда 360 (ден.ед./тыс. чел.-час), оборудование берется в аренду с суммарными затратами 40 (ден.ед./тыс. ст.-час). Объем капитала, который фирма может затратить на рабочую силу и оборудование, составляет 24000 (ден. ед.). Построить математическую модель задачи оптимизации выпуска продукции, считая, что производственная функция задана на множестве K>=0, L>=0, и найти графическим методом ее решение. Определить предельную норму технологического замещения оборудования рабочей силой и предельную эффективность финансовых ресурсов в точке оптимума.

Решение:

1. При K=54 ПФ примет вид , ее график:

L

Y

При L =54 ПФ примет вид: , ее график

Y

K

2. Найдем уравнения изоквант, то есть зависимость L(K), предполагая, что Y=const:

Графики изоквант при Y1=36, Y2=54, Y3=72:

Y3=72

Y2=54

Y1=36

L

K

3. Объем выпуска продукции Y=54 при наличных трудовых ресурсах L=54 в базовом периоде обеспечивает количество оборудования, равное

тыс. ст.-час.

Если объем трудовых ресурсов, используемых в производстве, не изменится, то потребность в оборудовании в плановом периоде составит:

тыс. ст.-час.

Если объем трудовых ресурсов, используемых в производстве, вырастет на 5%, то потребность в оборудовании в плановом периоде составит:

тыс. ст.-час.

То есть при объеме трудовых ресурсов потребность в оборудовании в плановом периоде составит некоторую величину , определяемую соотношением:

4. Математическая модель задачи оптимизации выпуска продукции:

П

В

K

рямая, соответствующая ограничению, имеет вид: . Таким образом, областью допустимых решений будет внутренняя часть треугольника АВС, ограниченная прямыми , , . Изобразим на графике одну из изоквант и область допустимых решений:

А

С

L

Очевидно, что максимальных значений ПФ будет достигать на отрезке ВС. На этом отрезке функция будет иметь вид: . Чтобы найти точку экстремума, продифференцируем полученную функцию:

Производная не существует в нуле знаменателя:

Производная равна нулю в точке:

Первые 2 критические точки являются абсциссами точек В и С, то есть концами отрезка. Во всех трех найденных точках найдем значения функции:

,

,

Таким образом, оптимальным решением будет , , при этом ПФ будет равна .

Предельная норма замещения оборудования рабочей силой :

Предельная эффективность финансовых ресурсов: