7. Интегрирование тригонометрических выражений

Так как любое тригонометрическое выражение можно записать только через sinx и cosx, то получим интеграл рационально зависящий от sinx и cosx: .

Этот интеграл всегда сводится к интегралу от рациональной функции относительно новой переменной с помощью подстановки , тогда

.

Пример. Найти интеграл

.

Универсальная подстановка всегда позволяет вычислить интеграл ( ), однако её используют очень редко, так как она часто приводит к интегрированию громоздких рациональных дробей. Она используется в тех случаях, когда другие подстановки применять нельзя.

Частные случаи:

1) Интеграл вида: .

а) Если один из показателей m или n – целое положительное нечётное число, второй любой то подстановка , или быстрее приводит к цели.

Пример.

б) Оба показателя m и n – целые положительные чётные, тогда используют формулы:

; .

Пример.

в) Оба показателя чётные целые, но хотя бы один из них отрицательный, тогда используется подстановка или с помощью тригонометрических преобразований.

Пример.

С помощью тригонометрических преобразований:

г) Иногда удобно ввести тригонометрическую единицу:

д) Иногда применяется метод интегрирования по частям.

Пример.

2) Интегралы вида:

преобразуются по формулам:

Пример.

3) Интегралы вида: приводятся к табличным следующим образом: выделяется . Затем интеграл разбивают на сумму двух интегралов (первый – степенной, а второй ; с ним поступают так же).

Пример.

4) , если n – чётное целое положительное число, тогда , а оставшаяся чётная степень заменяют через .

Пример.

8. Интегрирование иррациональных выражений

Алгебраическая функция, не являющаяся рациональной называется иррациональной.

Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции.

Рассмотрим иррациональные функции интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональной функции.

1. Интегрирование простейших иррациональностей.

   1. Интеграл вида сводится к интегралу рациональной функции подстановкой , где k – общий знаменатель дробей ,…,

б) сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой , где k-общий знаменатель дробных показателей.

с. сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой , k – общий знаменатель дробных показателей.

Тема 2. Определённый интеграл

2.1. Вычисление определённого интеграла

а) Формула Ньютона-Лейбнца.

Теорема. Если f(x) – непрерывна на то

где - любая первообразная для функции на .

Пример 1. Вычислить определённый интеграл

б) Замена переменной в определённом интеграле.

Теорема. Если функция непрерывна на , а функция непрерывно дифференцируема на и , то

- формула замены переменной в определённом интеграле.

Пример 2. Вычислить определенный интеграл.

в) Интегрирование по частям в определённом интеграле.

Теорема. Если функции и - непрерывно дифференцируемые на то - формула интегрирования по частям в определённом интеграле.

Пример 3.