Теоретическая часть Тема 1. Неопределённый интеграл

1.1. Понятие неопределённого интеграла

Функция F(x), определённая в промежутке называется первообразной данной функции f( ), если для выполнено равенство:

Для заданной функции её первообразная определяется неоднозначно. Доказано, что если - первообразная, для , то выражение , где с – произвольное число, задаёт все возможные первообразные для функции .

Любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную . Неопределённым интегралом от данной функции называется множество всех её первообразных:

где: - знак неопределённого интеграла, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.

Нахождение для функции f(x) всех её первообразных называется её интегрированием. Интегрирование – действие обратное дифференцированию.

Свойства неопределённого интеграла (ни)

Из определения НИ непосредственно вытекают его свойства:

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

;

2. Дифференциал НИ равен подынтегральному выражению:

;

3. ;

4. ;

5. .

Таблица интегралов

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ,

10. ;

11. ;

12. ;

13. .

Справедливость этих формул проверяется дифференцированием.

1.2. Основные методы интегрирования

Задача: данный интеграл свести к табличным.

1. Непосредственное интегрирование

Знать таблицу интегралов, его основные свойства, уметь преобразовывать алгебраические и тригонометрические выражения.

Пример 1.. Найти интегралы:

2. Метод подведения функции под знак дифференциала

Сознательное понимание таблицы.

Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если в неё вместо независимой переменной х, подставить любую дифференцируемую функцию

.

Подведение функции под знак дифференциала состоит в том, что под знак дифференциала записывают функцию, дифференциал которой равен данному выражению. Подведение функции под знак дифференциала применяется для сведения интегралов к табличным, т.е. к виду:

Применяя метод подведения функции под знак дифференциала, найти интегралы:

3. Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен

и

Для сведения этих интегралов к табличным надо в числителе дроби выделить дифференциал квадратного трёхчлена ax²+bx+c, т.е. слагаемое (2ax+b)dx. А затем интеграл разбить на сумму двух интегралов, каждый из которых – табличный (во втором интеграле квадратный трёхчлен представить в виде суммы или разности квадратов).

Найти интегралы:

4. Метод подстановки (замена переменной)

Этот способ часто полезен в тех случаях, когда интеграл не может быть непосредственно преобразован к табличным. Полагая , где t – новая переменная, а функция имеет непрерывную производную.

Тогда и

- формула замены переменной в неопределенном интеграле.

Замечание. Иногда целесообразно применить обратную подстановку: .

Формула доказывается дифференцированием обеих её частей. Удачная подстановка позволяет упростить исходный интеграл, сведя его к табличным. Однако даже в тех случаях, когда метод подстановки не приводит исходный интеграл к табличному, он часто позволяет упростить подынтегральную функцию и тем самым облегчить вычисление интеграла.

Найти интегралы:

Замечание. Чаще метод подстановки применяется при интегрировании иррациональных выражений.