5. Интегрирование по частям

Пусть и - непрерывно дифференцируемые функции.

Известно, что .

Интегрируя последнее соотношение, получим:

- формула интегрирования по частям для неопределённого интеграла.

Применение метода интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда интеграл в правой части окажется более простым для вычисления, чем исходный интеграл.

При его применении подынтегральное выражение данного интеграла разбивается на два сомножителя . При переходе к правой части формулы первый из них дифференцируется ; второй интегрируется , (если дифференцирование существенно упростит один множитель, при условии, что интегрирование не слишком усложнит другой).

Некоторые классы интегралов, которые удобно брать по частям:

1. 

2. .

За u в этом случае принимаются логарифмическая или обратная тригонометрическая функция.

3. Круговые или циклические интегралы.

. Выбор u и dv равносилен.

Найти интегралы:

Иногда полезно повторить интегрирование по частям.

6. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов: . Если m<n, то рациональная дробь правильная; если

- неправильная.

Если дробь неправильная, надо выделить целую часть, разделить числитель на знаменатель, т.е. неправильную дробь представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Пример:

		-
								неправильная дробь

Простейшие рациональные дроби

Квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.

Разложение правильной рациональной дроби на простейшие:

Теорема. Каждая правильная рациональная дробь , (m<n) может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей.

Это разложение связано с разложением знаменателя дроби на множители:

а) Каждому линейному множителю знаменателя (х - а)^к соответствует k простейших дробей вида (1), (2), числитель которых – неопределённые коэффициенты, а знаменатель – целые положительные степени двучлена (х - а), начиная со степени k и кончая первой;

б) Каждому квадратному множителю соответствует k простейших дробей вида (3), (4),числитель которых – многочлен первой степени, с неопределёнными коэффициентами, а знаменатель – положительные степени трёхчлена , начиная со степени k и кончая первой. Итак, для интегрирования рациональных дробей надо:

1. Установить, является ли данная рациональная дробь правильной или неправильной. Если она неправильная, выделить целую часть.

2. Проинтегрировать целую часть и правильную дробь. Для интегрирования правильной дроби необходимо:

3. Разложить знаменатель дроби на множители.

   1. Представить дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами.

   2. Найти коэффициенты.

   3. Проинтегрировать простейшие дроби.

Найти интегралы

1. .

Решение. - правильная рациональная дробь, следовательно, её можно, разложить на простейшие:

.

Неопределённые коэффициенты разложения находят методом неопределённых коэффициентов или методом частных значений.

Используем метод неопределённых коэффициентов:

Приведём простейшие дроби к общему знаменателю и приравняем числители:

;

.

Многочлены равны, если равны все коэффициенты при одинаковых степенях x:



2. .

Решение. - неправильная рациональная дробь, выделяем целую часть:

.

Интегрируем правильную дробь , разложив её на простейшие дроби:

,

.