4.2.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов
Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
, (4.14)
где
– непрерывная функция.
Соответствующее однородное уравнение:
(4.15)
Запишем характеристическое уравнение для уравнения (4.15):
(4.16)
Общее решение уравнения (4.14) имеет вид:
где
– общее решение уравнения (4.15), а
– частное решение уравнения (4.14).
Форма частного решения уравнения (4.14) зависит от вида правой части f(х) и корней характеристического уравнения.
Пусть правая часть уравнения (4.14) имеет вид
(4.17)
где
– многочлены, соответственно степени
n
и
m.
Тогда
(4.18),
где
us(x)
и vs(x)
– многочлены
степени S
c
неопределенными коэффициентами,
– кратность пар корней α
± βi
характеристического уравнения.
Частный случай:
Если β=0,
то
и
записывается в виде:
un(x), (4.19)
где un(x) – многочлен степени п с неопределенными коэффициентами, r – кратность корня α характеристического уравнения.
Метод неопределенных коэффициентов состоит в следующем:
1) составляем по формуле (14 или 15), где многочлены общего вида записаны с неопределенными коэффициентами;
2) находим производные
нужного порядка и вместе с
подставляем в уравнение (10);
3) приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной х в левой и правой частях уравнения. При наличии тригонометрических функций приравниваются коэффициенты в левой и правой частях уравнения при произведениях одинаковых степеней х при
;
4) находим числовые значения неизвестных коэффициентов и подставляем их в .
Примеры. Для каждого из заданных дифференциальных уравнений найти общее решение и частное решение в тех случаях, когда заданы начальные условия.
1.
– ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
.
1)
2) 
,
т.е.
Подставляя в данное уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, получим
3)
2.
ЛНДУ с постоянными коэффициентами,
следовательно,
2)
тогда
Находим
А
и В:
Подставляя в данное уравнение, получим
3.
– ЛНДУ (n=2)
с постоянными коэффициентами
1)
2)
подставляя в данное
уравнение, получим:
3)
4) Найдем частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=1, у1(0)=0.
Подставляя начальные условия у(0) = 1, у1(0) = 0, будем иметь
частное
решение запишется
Контрольная работа №2 Задание 1. Найти интегралы
1.1.
а)
б)
в)
1.2.
а)
; б)
в)
.
1.3.
а)
б)
;
в)
.
1.4.
а)
; б)
в)
.
1.5.
а)
; б)
в)
.
1.6.
а)
б)
;
в)
.
1.7.
а)
;
б)
; в)
.
1.8.
а)
б)
; в)
.
1.9.
а)
б)
; в)
.
1.10.
а)
б)
в)
.
1.11.
а)
; б)
в)
.
1.12.
а)
б)
в)
1.13.
а)
б)
в)
1.14.
а)
б)
в)
1.15.
а)
б)
в)
.
1.16.
а)
б
в)
1.17.
а)
б)
в)
1.18.
а)
б)
в)
1.19.
а)
б)
в)
1.20.
а)
б)
в)
1.21.
а)
б)
в)
1.22.
а)
б)
в)
1.23.
а)
б)
в)
.
1.24.
а)
б)
в)
1.25.
а)
б)
в)
Задание 2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
2.1.
.
2.2.
. 2.3.
.
2.4.
.
2.5.
.
2.6.
.
2.7.
. 2.8.
.
2.9.
.
2.10.
. 2.11.
. 2.12.
.
2.13.
.
2.14.
. 2.15.
.
2.16.
.
2.17.
. 2.18.
. 2.19.
. 2.20.
.
2.21.
. 2.22.
. 2.23.
. 2.24.
.
2.25.
.
Задание 3. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями с помощью определенного интеграла. Сделать чертеж.
3.1.
.
3.14.
3.2.
.
3.15.
.
3.3.
.
3.16.
.
3.4.
.
3.17.
.
3.5.
.
3.18.
.
3.6.
.
3.19.
.
3.7.
.
3.20.
.
3.8.
.
3.21.
.
3.9.
.
3.22.
.
3.10.
.
3.23.
.
3.11.
.
3.24.
.
3.12.
.
3.25.
.
3.13.
.
Задание 4. Дана
функция
,
точка
и вектор
.
Найти:
а)
полный дифференциал -
;
б)
производную по направлению вектора
;
в)
градиент скалярного поля в
.
4.1.
.
4.2.
.
4.3.
4.4.
.
4.5.
.
4.6.
.
4.7.
.
4.8.
.
4.9.
.
4.10.
.
4.11.
.
4.12.
.
4.13.
.
4.14.
.
4.15.
4.16.
.
4.17.
.
4.18.
.
4.19.
.
4.20.
.
4.21.
.
4.22.
.
4.23.
.
4.24.
.
4.25.
.
Задание 5. Проинтегрировать уравнение. При заданном начальном условии найти соответствующий частный интеграл или частное решение.
5.1.
. 5.2.
.
5.3.
.
5.4.
5.5.
5.6.
.
5.7.
.
5.8.
. 5.9.
.
5.10.
.
5.11.
.
5.12.
.
5.13.
.
5.14.
.
5.15.
. 5.16.
.
5.17.
.
5.18.
.
5.19.
.
5.20.
.
5.21.
.
5.22.
.
5.23.
.
5.24.
.
5.25.
.
Задание 6. Найти общее решение уравнений.
6.1.
. 6.2.
.
6.3.
.
6.4.
.
6.5.
. 6.6.
.
6.7.
. 6.8.
.
6.9.
.
6.10.
. 6.11.
.
6.12.
. 6.13.
.
6.14.
.
6.15.
. 6.16.
.
6.17.
.
6.18.
.
6.19.
.
6.20.
. 6.21.
.
6.22.
. 6.23.
.
6.24.
.
6.25.
.