Покажем доказательство теоремы об изменении количества движжения по методике профессора Фролова:
2. Теорема об изменении количества движения механической системы.
Преобразуем левую часть уравнения (4):
(5)
где произведение
(6)
называется количеством
движения
k-той
точки механической системы и есть
первая
мера механического движения.
Если просуммировать это выражение, то получим количество движения механической системы: (7)
С учётом (5) и (7) уравнение
(3) примет вид:
(II)
это и есть Теорема об изменении количества движения механической системы:
Производная по времени от количества движения механической системы геометрически равна Главному вектору внешних сил, действующих на эту систему.
Этому векторному уравнению соответствуют три дифференциальных уравнения в проекциях на оси координат:
где проекции вектора количества движения на оси координат. проекции главного вектора внешних сил на оси координат.
Из этих уравнений следует, что изменение количества движения механической системы вызывается только внешними силами.
Закон сохранения количества движения механической системы:
Закон состоит из двух следствий из теоремы:
Следствие 1:
Если Главный вектор внешних сил все время остается равным нулю, то количество движения механической системы остается постоянным.
Если то и
Следствие 2:
Если проекция Главного вектора внешних сил на какую либо неподвижную ось все время остается равной нулю, то проекция количества движения механической системы на эту ось постоянна.
Если то и
Умножим обе части уравнения 5 на dt: или окончательно: , где
- элементарный импульс k-той внешней силы, приложенный к материальной точке системы.
Импульс силы характеризует передачу материальной точке, посредством приложенной к ней силы , механического движения со стороны действующих на нее тел за данный промежуток времени . Направление вектора импульса силы совпадает с направлением приложенной к точке силы , а его модуль равен произведению модуля силы на время ее действия .
или
- элементарный импульс главного вектора внешних сил, приложенных к системе материальных точек;
Окончательно:
Теорема импульсов (механической системы):
Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме элементарных импульсов внешних сил, приложенных к системе, за тот же промежуток времени.
Или, после приведения системы сил к ее Главному вектору:
(Изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно элементарному импульсу Главного вектора внешних сил, приложенных к системе, за тот же промежуток времени).
Вопросы для самоконтроля
Как определяется импульс переменной силы за конечный промежуток времени? Что характеризует импульс силы?
Чему равны проекции импульса постоянной и переменной силы на оси координат?
Чему равен импульс равнодействующей?
4. Как изменяется количество движения точки, движущейся равномерно по окружности?
Что называется количеством движения механической системы?
Чему равно количество движения маховика, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр тяжести?
Сформулируйте теоремы об изменении количества движения материальной точки и механической системы в дифференциальной и конечной формах. Выразите каждую из этих четырех теорем векторным уравнением и тремя уравнениями в проекциях на оси координат.
При каких условиях количество движения механической системы не изменяется? При каких условиях не изменяется его проекция на некоторую ось?
9. Почему происходит откат орудия при выстреле?
Могут ли внутренние силы изменить количество движения системы или количество движения ее части?