§ 48. Теорема об изменении количества движения материальной точки

Количеством движения материальной точки называется вектор, имеющий направление вектора скорости и модуль, равный произведению массы точки т на модуль скорости ее движения V

Количество движения, зависящее от массы точки и ее скорости, является мерой механического движения. Понятие количества движения было введено в механику Декартом и положено в основу механики Ньютоном.

Единицей количества движения является количество движения точки, имеющей единицу массы и движущейся со скоростью, равной единице скорости, т. е. в системе МКС 1 кг • 1 м/с=1 кг-м/сек, в системе СГС 1 г • 1 см/с =1 г • см/с и в системе МКГСС 1 кгс х с2/м 1 м/с = = 1 кгс • с. Единицы количества движения совпадают с единицами импульса силы. Проекции количества движения то на оси х, у, z определяются следующими выражениями (48.1)

где - проекции скорости на оси координат.

Предположим, что - равнодействующая сил, приложенных к материальной точке. Преобразуем основное уравнение динамики следующим образом: , или .(48.2)

Уравнение (48.2) выражает теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме, которая формулируется так: производная по времени от количества движения материальной точки геометрически равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке. Установим зависимость между изменением количества движения и импульсами действующих на точку сил.

Из уравнения (48.2) получим: . (48.3)

Проинтегрируем обе части равенства в пределах, соответствующих моментам времени t₁ и t₂:

Так как правая часть этого равенства представляет собой импульс силы за промежуток времени t₂ — t₁ (46.3), то (48.4)

Из равенства (48.4)

т. е. вектор можно определить диагональю параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 109).

Заменим импульс равнодействующей силы в уравнении (48.4) импульсами составляющих сил : (48.5)

Уравнение (48.5) выражает теорему об изменении количества движения материальной точки в конечной форме: изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени. Эту теорему называют также теоремой импульсов.

Векторному уравнению (48.5) соответствуют три уравнения в проекциях на оси координат:

(48.6)

Уравнения (48.6) показывают, что изменение проекции количества движения материальной точки на данную ось за некоторый промежуток времени равно сумме проекций на ту же ось импульсов приложенных к точке сил за тот же промежуток времени.

Большинство практических задач решается по уравнениям в проекциях на оси координат.

§ 50. Теорема об изменении количества движения механической системы

Количеством движения механической системы называется вектор, равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех материальных точек этой системы.

Если отдельная точка системы M_k имеет массу и скорость , то вектор количества движения системы равен: (50.1)

Преобразуем выражение (50.1)

Так как согласно (32.1) , где - масса всей системы. То и (50.2)

Выражение (50.2) показывает, что вектор количества движения механической системы имеет модуль, равный произведению массы всей системы на скорость ее центра масс и направление этой скорости.

Проектируем вектор на оси координат:

, , (50.3)

Проекция количества движения механической системы на каждую координатную ось, равная сумме проекций количеств движения всех точек системы на эту ось, определяется произведением массы системы на проекцию скорости центра масс на эту же ось.

Дифференцируем (50.2) по времени:

Согласно уравнению (43.1) движения центра масс системы ,

где - главный вектор внешних сил, действующих на систему материальных точек.

Следовательно, (50.4)

Уравнение (50.4) выражает теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения механической системы геометрически равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему.

Векторному уравнению (50.4) соответствуют три уравнения в проекциях на оси координат:

(50.5) где проекции вектора количества движения на оси координат. проекции главного вектора внешних сил на оси координат.

Уравнения (50.5) показывают, что производная по времени от проекции количества движения механической системы на любую ось равна проекции главного вектора внешних сил, действующих на систему, на ту же ось.

Из уравнений (50.4) или (50.5) следует, что изменение количества движения механической системы вызывается только внешними силами.

Закон сохранения количества движения механической системы:

Закон состоит из двух следствий из теоремы:

Следствие 1:

Если Главный вектор внешних сил все время остается равным нулю, то количество движения механической системы остается постоянным.

Если то и

Следствие 2:

Если проекция Главного вектора внешних сил на какую либо неподвижную ось все время остается равной нулю, то проекция количества движения механической системы на эту ось постоянна.

Если то и

Следствия из теорем об изменении количества движения механической системы выражают закон сохранения количества движения системы.

Формулы из следствий можно иллюстрировать некоторыми примерами. Так, например, пренебрегая внешними силами, действующими на солнечную систему, можно заключить, что количество движения этой системы Q = mv_c постоянно и ее центр масс движется прямолинейно и равномерно.

Откат орудия при выстреле по горизонтальному направлению обусловлен тем, что проекция количества движения системы орудие - снаряд на горизонтальную ось X не изменяется при отсутствии горизонтальных внешних сил, т. е. по формуле (50.7) Q_х = mv_Cx = const.

Как до выстрела, так и после него, Q_х = 0. Отсюда можно определить скорость отката орудия:

, где т₁, v₁ — масса и скорость вылета снаряда; т₂, v₂ — масса и скорость отката орудия. Скорость отката орудия определится ее проекцией:

Установим теперь зависимость между изменением количества движения механической системы и импульсами действующих на эту систему сил. Разделим силы, приложенные к точкам механической системы, на внешние силы и внутренние силы .

Определим изменение количества движения каждой точки системы за промежуток времени (t₂ — t₁) по уравнению (48.5): , i=1,2,…,n

где и - импульсы внешних и внутренних сил, действующих на точку М_k в промежутке (t₂ — t₁).

Суммируем левые и правые части составленных n равенств:

Так как главный вектор внутренних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, то и геометрическая сумма импульсов внутренних сил равна нулю, т. е. .

Тогда или (50.8)

Уравнение (50.8) Выражает теорему об изменении количества движения механической системы в конечной форме, или теорему импульсов: изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил, приложенных к системе, за тот же промежуток времени.

Векторному уравнению (50.8) соответствуют три уравнения в проекциях на оси координат:

, , (50.9)

Уравнения (50.9) показывают, что изменение проекции количества движения механической системы на любую ось равно сумме проекций импульсов всех внешних сил, действующих на систему, на ту же ось.

При решении задач обычно пользуются уравнениями (50.9). Эти уравнения так же, как и уравнения (50.5), не содержат внутренних сил, что имеет большое практическое значение.