5.3.2. Аналіз при двох обмеженнях

При наявності двох обмежень аналіз можна виконати шляхом побудови та розв’язання системи лінійних рівнянь з двома невідомими або графічним методом.

Розглянемо методику аналізу на прикладі.

Приклад. Завод виготовляє два види продукції (А і Б), яка проходить послідовну обробку у двох цехах (№ 1 і № 2). Потужність кожного цеху обмежена кількістю машино-годин роботи обладнання: цех № 1 – 1780 годин, цех № 2 – 1160 годин. Затрати машинного часу на одиницю продукції розподіляються таким чином:

– продукція А: цех № 1 – 5 годин, цех № 2 – 4 години;

– продукція Б: цех № 1 – 8 годин, цех № 2 – 2 години.

Маржинальний дохід на одиницю продукції А – 54 грн., продукції Б – 75 грн.

Необхідно визначити оптимальний обсяг виробництва окремих видів продукції за наявних обмежень.

Д ля розв’язання задачі складемо рівняння витрат машинного часу по цехах:

№ 1 5х₁ + 8х₂ = 1780

№ 2 4х₁ + 2х₂ = 1160 ,

де х₁ – обсяг виробництва продукції А;

х₂ –обсяг виробництва продукції Б.

Розв’яжемо цю систему рівнянь звичайним алгебраїчним методом: поділимо почленно перше рівняння на 5, а друге – на 4 та віднімемо друге рівняння від першого:

х₁ + 1,6х₂ = 356

х₁ + 0,5х₂ = 290

1,1х₂ = 66

х₂ = 60

х₁ + 0,5 × 60 = 290

х₁ = 290 – 30

х₁ = 260

Отже, підприємству доцільно виготовляти 260 одиниць продукції А та 60 одиниць продукції Б, що забезпечить повне використання машинного часу:

цех № 1 5 × 260 + 8 × 60 = 1780,

цех № 2 4 × 260 + 2 × 60 = 1160

та принесе підприємству 18540 грн. маржинального доходу:

260 × 54 + 60 × 75 = 18540 грн.

Графічним методом подібні задачі розв’язують таким чином. Будується система координат, по осі х якої позначають один вид продукції (наприклад, А), а по осі у – другий (Б). Потім розраховують максимально можливий обсяг виробництва за умови, що в цеху буде вироблятися лише один вид продукції. Так, у нашому прикладі в цеху № 1 можна за 1780 годин обробити 356 виробів А або 222,5 одиниці виробу Б. У цеху № 2 за 1160 годин можна обробити 290 виробів А або 580 виробів Б. Ці величини і будуть координатами ліній обмеження, а координати точки їх перетину будуть характеризувати оптимальні обсяги виробництва окремих видів продукції (рис. 5.3).

у(Б)

580 •

500

400

300

222,5

Оптимальний обсяг виробництва продукції Б (60 од.)

60 356

Оптимальний обсяг виробництва продукції А (260 од.)

100 200 290 400 х(А)

Рисунок 5.3. Графічне розв’язання задач оптимізації виробництва за наявності двох обмежень

Можливі й інші методи графічного розв’язання задач оптимізації при наявності двох обмежень.

3.3.3. Аналіз при трьох і більше обмеженнях

При наявності трьох і більше обмежень аналіз виконують з використанням лінійного програмування, тобто методу, який використовують для оптимізації виробничої діяльності шляхом розв’язання серії лінійних рівнянь. Процес лінійного програмування складається з трьох стадій:

– складання рівняння цільової функції та рівнянь обмежень;

– розв’язання моделі симплексним методом або на ЕОМ з використанням стандартних програм оптимізації;

– аналіз одержаного рішення.

Для складання рівняння цільової функції необхідно визначитися зі змінними величинами, тобто тими величинами, розміри яких необхідно визначити (обсяги виробництва окремих видів продукції), та цільовою функцією, тобто метою, якої ми хочемо досягти (певна сума прибутку або сума маржинального доходу). Рівняння цільової функції може мати такий вигляд

а₁х₁ + а₂х₂ + … + а_nx_n → max, або Σа_іх_і → max, (5.2)

де а₁, а₂, … a_n – маржинальний дохід на одиницю відповідного виду продукції, грн.;

х₁, х₂, … x_n – кількісні параметри виробництва окремих видів продукції, одиниць.

Рівняння обмежень – це алгебраїчне зображення одного з обмежувальних чинників:

а) потужності виробництва (витрат машинного часу роботи обладнання)

t₁x₁ + t₂x₂ + … + t_nx_n ≤ T, або Σt_іx_і ≤ Т, (5.3)

де t₁, t₂, … t_n – затрати машинного часу на одиницю відповідної продукції;

Т – максимально можливі витрати робочого часу (ліміт машино-годин);

б) площі виробничих приміщень

s₁x₁ + s₂x₂ + … + s_nx_n ≤ S, або Σs_іx_і ≤ S, (5.4)

де s₁, s₂, … s_n – площа, зайнята під виробництво окремих видів продукції;

S – максимальна можлива до використання виробнича площа;

в) кількості дефіцитних матеріалів

m₁x₁ + m₂x₂ + … + m_nx_n ≤ M, або Σm_іx_і ≤ M, (5.5)

де m₁, m₂, … m_n – норми витрачання матеріалів на одиницю відповідної продукції, кг;

M – максимально можливі витрати даного виду матеріалів, кг;

г) неможливості від’ємних показників

а_і ≥ 0 (5.6)

Подібним чином можна визначити і ввести до моделі рівняння обмежень інших чинників. Розв’язання моделі, як правило, виконують на ЕОМ. В результаті одержують рівняння, параметри якого показують, скільки одиниць продукції кожного виду доцільно виробляти (х_і) та яку суму доходу це забезпечить.

Метою аналізу одержаного рішення є визначення чутливості моделі до зміни значення обмежувальних чинників, тобто визначення, на скільки знизиться значення цільової функції при зменшенні одного з обмежувальних чинників на одиницю його вимірювання. Всебічний аналіз дає можливість зробити обґрунтовані висновки і прийняти правильне управлінське рішення.