
- •4.Общая математическая модель деформирования упругих тел
- •Расчеты на прочность и жесткость
- •Вычисление напряжений по их интегральным характеристикам
- •5.2 Гипотезы прочности
- •В расчетах используется выражение
- •Примеры решения задач
- •Задача 2
- •Из условия прочности
- •Задача 10
- •5.3. Определение силовых и кинематических параметров и расчеты на прочность и жесткость при различных условиях нагружения
В расчетах используется выражение
,
( 5.13 )
где I 1 и I 2 – первый и второй инварианты напряженного состояния. Как и третья теория прочности, энергетическая теория справедлива в основном при анализе напряженного состояния упруго – пластических тел.
При исследовании напряженного состояния материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, можно использовать пятую теорию прочности теорию Кулона – Мора:
,
( 5.14 )
где к = р / сж – коэффициент, учитывающий отношение предела прочности на растяжение р к пределу прочности на сжатие сж.
Пятая теория прочности имеет существенное преимущество перед первой и второй теориями, которые на практике применяются редко. Она удовлетворительно описывает поведение пластичных материалов.
Рассмотрим на примерах вычисление напряжений, их распределение по сечениям стержней, расчеты на прочность.
Примеры решения задач
Задача 1
Для заданного стержня с указанным поперечным сечением вычислить максимальные нормальные напряжения. Построить график распределения напряжений по длине стержня при следующих данных. Поперечное сечение – квадрат со стороной а = 2 см, Р = 30 кН, q = 20 кН/м, l = 0,75 м.
1) Вычислим интегральные характеристики напряжений:
N ( z ) = N 0 + q z q ( z – l ) – P ( z – 2 l ) 0 – 2 q ( z – 2 l ).
Из граничного условия на свободном конце стержня определим N 0.
N ( 3 l ) = 0 N 0 = 45 кН.
Вычислим значения интегральных характеристик напряжений в характерных точках стержня.
N ( 0 ) = 45 кН, N ( l ) = N 0 + q l = 60 кН,
N ( 2 l ) = N 0 + 2 q l – q ( 2 l – l ) = 60 кН, N ( 2 l ) = 30 кН,
N ( 3 l ) = N 0 + 3 q l – q ( 3 l – l ) – P – 2 q ( 3 l – 2 l ) = 0.
По этим значениям строим график N ( z ) ( рис. 5.1 ).
Вычислим напряжения в сечениях по длине стержня.
,
.
,
,
.
По этим значения строим график z ( z ) ( рис. 5.1 ).
Задача 2
Из условия прочности определить размеры квадратного поперечного сечения стержня. Схема нагружения приведена в задаче 2 ( рис. 2.9 ) ( см. гл. 2 ).
Дано: [ ] = 160 МПа, q = 60 кН/м, l = 0,4 м.
По эпюре N ( z ) ( рис. 2.9 б ) в опасном сечении возникает
.
Из условия прочности
,
.
Если сторону квадрата сечения обозначить а, то
.
Задача 3
Определить площадь поперечного сечения F ( z ) стержня из условия равнопрочности всех его сечений ( рис. 5.2 ).
Дано: Р 1 = 50 кН, Р 2 = 25 кН, [ ] = 150 МПа.
Действующие силы Р 1 и Р 2 вызывают растяжение стержня. При этом в его поперечном сечении возникают только нормальные напряжения z = N / F, а касательные напряжения равны нулю. Поэтому условие прочности можно записать в виде экв = z max [ ]. Здесь z = N max / F – наибольшее напряжение в поперечном сечении стержня.
Для определения максимальной продольной силы N max составим уравнение N ( z ) по участкам:
,
.
Для обеспечения условия равнопрочности всех сечений стержня необходимо соблюдать равенство нормальных напряжений во всех сечениях:
N A B / F A B [ ], N B C / F B C [ ],
отсюда
;
.
;
.
Задача 4
К стержню с поперечным сечением в форме эллипса приложены два сосредоточенных момента ( 2 L и L ) и распределенная моментная нагрузка интенсивностью m. Вычислить максимальные касательные напряжения при следующих данных:
L = 20 кН∙м, т = 16 кН∙м/м, l = 0,75 м, b = 7 см, а = 5 см.
Вычислим интегральные характеристики напряжений:
M к ( z ) = M 0 – 2 L ( z – l ) 0 + L ( z - 2 l ) 0 – m ( z – 3 l ).
Из граничного условия на свободном конце стержня определим М 0.
M ( 5 l ) = 0 M 0 – 2 L + L – m 2 l = 0. M 0 = 44 кН∙м.
Вычислим значения интегральных характеристик в характерных точках стержня.
M к ( 0 ) = M 0 = 44 кН∙м,
М к ( l ) = M 0 = 44 кН∙м, М к ( l ) = M 0 – 2 L = 4 кН∙м.
М к ( 2 l ) = М 0 – 2 L = 4 кН∙м, М к ( 2 l ) = М 0 – 2 L + L = 24 кН∙м,
М к ( 3 l ) = M 0 – 2 L + L = 24 кН∙м, М к ( 5 l ) = M 0 – 2 L + L + m 2 l = 0.
По этим значениям строим графики М к ( z ) (рис. 5.3).
Вычислим касательные напряжения в опасном сечении стержня.
Максимальные касательные напряжения будут на концах малой оси эллипса и определяются по формуле
,
=
44 кН∙м,
,
.
На конце большой полуоси эллипса касательные напряжения
.
Касательные напряжения на концах малой полуоси больше напряжений на концах большой полуоси в 1,33 раза
Задача 5
Определить максимальные касательные напряжения в стержне с сечением в форме равностороннего треугольника со стороной a при следующих исходных данных: L = 8 кН∙м ‚ m = 10 кН∙м / м, l = 2 м, a = 20 см.
1. Вычислим интегральные характеристики напряжений:
.
Из граничного условия на свободном конце в стержне определяем M 0.
Рис. 5.4
Вычислим значения интегральных характеристик напряжений в характерных точках:
кН∙м.
кН∙м,
кН∙м,
кН∙м.
По этим значениям строим график M к ( z ) ( рис. 5.4 ).
Вычислим максимальные касательные напряжения, которые имеют место на серединах сторон треугольника.
кН∙м
= 4 800 кН∙см,
=
120 МПа.
Задача 6
Используя третью теорию прочности, найти размеры круглого кольцевого сечения вала, если L = 0,5 m l = 10 кН∙м, m = 40 кН∙м/м, l = 0,5 м, [ ] = 160 МПа, D = 2 d, где D и d – наружный и внутренний диаметры сечения. Схема нагружения вала дана в задаче 4 ( гл. 2, рис. 2.15а ).
В
опасном сечении вала крутящий момент
.
Наибольшие касательные напряжения
будут в точках наружного контура ( рис.
5.5 ):
Рис. 5.5
Для кольцевого круглого сечения полярный момент инерции
тогда
.
В опасных точках напряжённое состояние будет характеризоваться главными напряжениями 1 = , 2 = 0 , 3 = – ; т. е. напряжённое состояние будет двухосным.
По
третьей теории прочности
или
Тогда
и
Задача 7
Определить размеры круглого поперечного сечения стержня d по третьей и четвертой теориям прочности.
Дано: L = 30 кН∙м, m = 10 кН∙м/м, l = 1 м, [ ] = 200 МПа.
Y
Z
X
2
l l
Y I
II m
L
d
M
к (
z
),
ml
1
где M к – крутящий момент в попереч-ном сечении стержня; I p = d 4 / 32 – поляр-ный момент инерции круглого сечения; 0 d / 2 – полярный радиус сечения.
Очевидно ‚ что наибольшее напряжение возникает в точках ‚ расположенных в на- ружных слоях сечения ( = max = 0,5 d ).
Тогда
где W p 0,2 d 3 – полярный момент сопротивления круглого сечения.
Условия прочности ( 5.12 ) при 2 = 0, запишем как
(
5. 15
)
C учетом L = 3 m l уравнение крутящих моментов примет вид
График M к ( z ) представлен на рис. 5.6.
Теперь находим max = 2 m l / W p, и условие прочности ( 5.15 ) представим в виде
Принимаем d = 10 см.
Задача 8
Для заданной балки с указанным поперечным сечением вычислить максимальные нормальные и касательные напряжения, построить графики их распределения по высоте сечения при следующих данных: q = 10 кН/м, P = 20 кН, L = 20 кН∙м, l = 1 м, а = 4 см.
Рис. 5.7
1. Вычислим интегральные характеристики сечения:
2. Вычислим интегральные характеристики напряжений:
По
этим данным строим графики
и
( рис.5.7 ). Опасное сечение находится в
заделке, где
Максимальные
нормальные напряжения в сечении будут
при
Построим графики и по высоте сечения ( рис. 5.8 ).
Рис. 5.8
В нижнем слое нормальные напряжения
Касательные напряжения на переходе к горизонтальной полке
Задача 9
Проверить прочность балки, схема нагружения которой представлена в задаче 5, ( гл. 2 ), если l = 1 м, q = 20 кН/м, [ ] = 160 МПа. Поперечное сечение балки состоит из швеллера № 14 и уголка № 8; геометрические характеристики определены, в частности I x = 707 см 4. Плоскость действия внешних нагрузок совпадает с плоскостью главных центральных осей поперечных сечений.
Поскольку
нагрузки действуют в плоскости YOZ, то
имеем поперечный изгиб. Нормальные
напряжения определяются по формуле
= ( M
x
y
/ I
x
), а проверка
прочности заключается в
выполнении
условия
max
[
]. Из эпюры M
x
( z
) следует, что
,
а наибольшие напря-жения в опасном
сечении будут в точке, имеющей наибольшую
координату " y
".
Таким образом, условие прочности выполнено.