5. Расчеты на прочность и жесткость

1. Вычисление напряжений по их интегральным характеристикам

Для оценки степени безопасности эксплуатации машин, механизмов и т.д. необходимо, в частности, знать напряжения, возникающие в поперечных сечениях стержней под действием внешних нагрузок.

Для изотропного материала, подчиняющегося закону Гука, нормальные напряжения при линейном напряженном состоянии определяются по формуле

,

где N – продольная ( нормальная ) сила в поперечном сечении; и – изгибающие моменты в сечении относительно центральных осей X и Y; F, , – интегральные характеристики поперечного сечения ( площадь, осевые моменты инерции относительно главных центральных осей X и Y ); x, y – координаты точки поперечного сечения, в которой определяются напряжения.

Для вычисления касательных напряжения при поперечном изгибе с достаточной для инженерных расчетов точностью пользуются формулой Д.И. Журавского:

или , ( 5.1 )

где и – поперечные силы в сечении в плоскости Y 0 Z или X 0 Z; и – статические моменты площади отсеченной части поперечного сечения относительно главных центральных осей X и Y; b и h – ширина и высота поперечного сечения.

Формула ( 5.1 ) дает наиболее удовлетворительные результаты для узких прямоугольных поперечных сечений. Для круглых поперечных сечений удовлетворительные результаты получаются только в волокнах, близлежащих к центральным осям.

Для определения касательных напряжений при кручении стержня круглого поперечного сечения пользуются формулой

, ( 5.2 )

где – крутящий момент в поперечном сечении; – полярный момент инерции поперечного сечения;  – полярная координата точки поперечного сечения, в которой определяются напряжения.

При кручении стержня прямоугольного поперечного сечения максимальные касательные напряжения возникают по серединам больших сторон и определяются по формуле

, ( 5.3 )

где  – коэффициент, зависящий от соотношения h / b.

По серединам коротких сторон прямоугольного поперечного сечения касательные напряжения определяются по формуле

, ( 5.4 )

где  также является функцией соотношения h / b.

При b / 2 и h / 2 касательные напряжения равны нулю. Значения коэффициентов ,  и  для различных соотношений h / b приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

h / b				h / b			
1,0	0,208	0,141	1,000	3,0	0,267	0,263	0,753
1,2	0,219	0,166	0,930	4,0	0,282	0,281	0,745
1,25	0,221	0,172	0,910	5,0	0,291	0,296	0,744
1,5	0,231	0,196	0,859	6,0	0,299	0,299	0,743
1,75	0,239	0,214	0,820	8,0	0,307	0,307	0,742
2,0	0,246	0,229	0,795	10	0,313	0,313	0,742
2,5	0,258	0,249	0,766	10	0,333	0,333	0,742

Для эллиптического сечения наибольшие касательные напряжения возникают по концам малой оси эллипса и определяются по формуле

, ( 5.5 )

где a и b – большая и малая полуоси эллипса. По концам большой оси эллипса касательные напряжения определяются по формуле

. ( 5.6 )

Для равностороннего треугольного поперечного сечения со стороной а наибольшие касательные напряжения возникают по серединам сторон и определяются по формуле

. ( 5.7 )

При , и х = 0, касательные напряжения равны нулю.

Обобщая формулы ( 5.3 ), ( 5.5 ) и ( 5.7 ), заключаем, что при кручении максимальные касательные напряжения

, ( 5.8 )

где – геометрическая характеристика, зависящая от формы сечения ( момент сопротивления при кручении ).

Интегральные ( геометрические сечения ) характеристики при изгибе и кручении для наиболее часто встречающихся плоских фигур приведены в табл. 5.2.

Таким образом, оценка прочности конструкции разбивается на три этапа:

1. определение интегральных характеристик поперечного сечения ( ИХС );

2. определение интегральных характеристик напряжений ( ИХН ) по заданной внешней нагрузке и условиям закрепления стержней;

3. вычисление напряжений в поперечном сечении по найденным интегральным характеристикам сечения и напряжений.

Таблица 5.2

Форма сечения
Y d Y D d Y h b Y Y a a a X
X
X
X a b
X		max min

В табл. 5.2 X и Y – главные центральные оси сечений.