Тема. Визначений інтеграл

Актуальність теми. Визначений інтеграл широко застосовується для розв’язку багатьох математичних задач, що описують фізичні, хімічні та біологічні явища і процеси.

Студент повинен знати:

- задачі, що приводять до поняття визначеного інтегралу;

- властивості визначеного інтегралу;

- зв’язок між невизначеним і визначеним інтегралом (теорема Ньютона – Лейбніца);

- невласні інтеграли (збіжні і розбіжні);

- теорему про середнє значення.

Студент повинен вміти:

- обчислювати визначені інтеграли методами безпосереднього інтегрування, заміни змінної і по частинах.

Базові знання:

- Невизначений інтеграл, його властивості та методи інтегрування.

- Поняття границі.

Запитання для самостійної підготовки:

1. Задача обчислення площі криволінійної трапеції.

2. Властивості визначеного інтегралу.

3. Формула Ньютона – Лейбніца.

4. Методи обчислення визначеного інтегралу: а) безпосереднє інтегрування; б) метод заміни змінної; в) інтегрування по частинах.

5. Невласні інтеграли, їх обчислення та дослідження на збіжність.

6. Теорема про середнє значення.

Зміст теми.

І. До поняття визначеного інтегралу приводить задача з визначення площі криволінійної трапеції.

Фігуру, обмежену неперервною кривою відрізком осі ОХ і прямими і називають криволінійною трапецією (мал.1). Розіб’ємо відрізок довільним чином на рівних частин. Точки поділу позначимо: З цих точок проведемо перпендикуляри до перетину з кривою

Отримаємо малих криволінійних трапецій, сума площ яких дає нам площу криволінійної трапеції. В центрі відрізків візьмемо точки і проведемо перпендикуляри ( штрихові лінії ) від цих точок до перетину з кривою а потім побудуємо прямокутники, в основі яких лежать відрізки , а висоти, відповідно, ординати Утворилася ступінчата фігура, площа якої наближається до площі криволінійної трапеції причому тим точніше, чим більше .

Знайдемо

Всі доданки цієї суми відрізняються тільки індексами біля незалежної змінної, тому скорочено цю суму можна записати так:

(1)

- це інтегральна сума. Символ (грецька буква “сигма”) означає, що потрібно додати вирази, що в правій частині (1), надаючи індексу всі цілі значення, починаючи від значення , вказаного під символом “сигма”, до значення, вказаного над цим символом.

Якщо у виразі (1) збільшувати число так, щоб довжина відрізка = прямувала до нуля, то площа криволінійної трапеції буде дорівнювати границі інтегральної суми :

(2)

Границя інтегральної суми, при умові, що , називається визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначається

(3)

де - нижня межа інтегрування, - верхня межа інтегрування, -змінна інтегрування.

Не для всякої функції існує визначений інтеграл. Функція , для якої існує визначений інтеграл, називається інтегрованою на проміжку . Якщо

функція обмежена на проміжку і неперервна на ньому, то вона інтегрована на цьому проміжку.

Якщо межі інтегрування є сталими величинами, то визначений інтеграл є стале число.

Зв’язок між визначеним і невизначеним інтегралом встановлює формула Ньютона – Лейбніца:

(4)

де і - значення первісної функції, взяті в точках верхньої і нижньої границі.

ІІ. Властивості визначеного інтегралу.

1. Визначений інтеграл не залежить від позначення змінної

,

оскільки результат інтегрування - число, яке не залежить від того, якою буквою позначено аргумент підінтегральної функції.

2. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченого числа неперервних функцій, заданих на відрізку дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів:

.

3. Сталий множник виноситься за знак визначеного інтегралу:

4. Якщо верхню і нижню межі інтегрування поміняти місцями, то визначений інтеграл змінить знак на протилежний при збереженні абсолютної величини

5. Якщо межі інтегрування рівні, то визначений інтеграл дорівнює нулю:

6. при .

7. Адитивна властивість: якщо проміжок розбити на дві частини і , то

8. Якщо підінтегральна функція на проміжку інтегрування зберігає постійний знак, то інтеграл буде число того ж знаку, що і функція, тобто якщо , то

9. Якщо - найменше, а - найбільше значення функції на проміжку

то значення визначеного інтегралу знаходяться між добутками найбільшого і найменшого значення підінтегральної функції на довжину інтервалу інтегрування, тобто

ІІІ. Методи обчислення визначених інтегралів.