Розв'язування типових завдань

Задача 1.

Маємо дані про обсяг валовой доданої вартості (ВДВ), капітальних вкладень (КВ), їх капіталовіддачу (К) за два роки.

Обсяг валовой доданої вартості, капітальних вкладень та їх капіталовіддача за галузями економіки України за два роки

Галузі економіки	Капіталовіддача		Обсяг капітальних вкладень (в порівн. цінах, в млрд.грн.)		ВДВ (в порівн. цінах, в млрд.грн.)
Промисловість	4,4	5,0	5,1	4,6	22,4	23,0
Сільське господарство	9,6	14,1	1,0	0,8	9,6	11,3
Будівництво	24,0	48,0	0,2	0,1	4,8	4,8
Транспорт та зв'язок	6,4	7,0	1,6	1,6	10,3	11,2
Всього по цих галузях	х	х	7,9	7,1	47,1	50,3

Розрахувавши галузеві індекси ми отримали наступні дані по галузях.

Розрахунки галузевих індексів

Галузі	Індекси, разів
	Капіталовіддачі	Обсягу капітальних вкладень	ВДВ
Промисловість	1,136	0,902	1,027
Сільське господарство	1,469	0,800	1,177
Будівництво	2,000	0,500	1,000
Транспорт та звязок	1,094	1,000	1,087
Всього по цих галузях	1,183	0,898	1,068

Проаналізувавши ці індекси можна зробити певні висновки про негативну тенденцію зниження обсягу капітальних вкладень та обсягу валового внутрішнього продукту в економіці України, як в цілому, так і по окремих галузях зокрема. При цьому індекси капіталовіддачі в цілому мають теж негативну тенденцію до зниження, хоча в таких галузях, як сільське господарство та будівництво простежується її зростання.

Використавши дані таблиці , розглянемо методику обчислення та економічний зміст агрегатних індексів.

Визначимо зведений індекс загального обсягу валовой доданої вартості в цілому по галузях:

де КВ , К  обсяги капітальних вкладень і капіталовіддача відповідно

або 106,8 %

Таким чином, в цілому ВДВ по галузях економіки в поточному періоді порівняно з базисним збільшився на 6,8%.

Визначимо зведений індекс капіталовіддачі (інтенсивного фактору):

або 126,1 %

Цей показник свідчить про те, що капіталовіддача в середньому по галузях збільшилась на 26,1%.

Визначимо зведений індекс обсягу капітальних вкладень (екстенсивного фактору):

або 84,7 %

Це означає, що обсяг капітальних вкладень в цілому по всіх галузях зменшився в середньому на 15,3%.

При побудові агрегатних індексів повинен забезпе­чуватися взаємозвязок між ними:

Тобто загальний індекс обсягу ВВП збільшився на 6,8% за рахунок обох факторів.

Розкладання абсолютних змін обсягів явищ по факторах

Визначення абсолютної зміни результативного показника за рахунок зміни кожного фактора здійснюється при побудові системи індексів. Абсолютні прирости за рахунок окремих факторів обчислюють як різницю між чисельником і знаменником відповідних факторних індексів. Так загальний абсолютний приріст ВДВ (абсолютне зниження):

його можна розкласти за факторами:

інтенсивним:

екстенсивним:

За даними таблиці обсяг ВДВ у промисловості в поточному періоді порівняно з базисним збільшився на 0,6 млрд. грн. (23,0 - 22,4).

Визначимо вплив кожного з факторів на цей показник. За рахунок зміни капітальних вкладень = 4,4 х 4,6  4,4 х 5,1 = -2,2 млрд. грн. За рахунок зміни капіталовідда­чі (К₁КВ₁  К₀КВ₁) абсолютне зниження результативного показника склало: = 5,0 х 4,6  4,4 х 4,6 = 2,76 млрд.грн.

Отже В = + =  2,2 + 2,76 = + 0,56 млрд.грн.

Розкладання абсолютного приросту за факторами на основі зведених індексів здійснюють аналогічно галузевим індексам. Різниця між чисельником і знаменником відповідних індексів із знаком + означає абсолютний приріст, а із знаком   абсолютне зниження. Для системи співзалежних двофакторних зведених індексів у загальному вигляді розкладання абсолютного приросту можна записати таким чином:

у тому числі за факторами:

екстенсивним:

інтенсивним:

Розрахувавши на основі даних таблиці 6.7 загальний зведений індекс обсягу ВДВ по всіх галузях сукупності бачим що абсолютне збільшення обсягу ВДВ у поточному періоді порівняно з базисним за рахунок обох факторів склало 3,2 млрд. грн. (50,3  47,1). Далі необхідно визначити яким чином кожен з факторів вплинув на загальне скорочення результативного показника.

Так за рахунок зниження капіталовіддачі в середньому по всіх галузях загальний обсяг ВДВ збільшився на 10,4 млрд.грн. (50,3  39,9), а за рахунок зниження іншого фактора, тобто обсягу капітальних вкладень абсолютне скорочення загального обсягу ВДВ становило  7,2 млрд. грн. (39,9  47,1).

Очевидно, що при такому методі розкладання абсолютного приросту за факторами ∆В буде дорівнювати ∆KB + ∆K. Отже ∆В = 10,4  7,2 = 3,2 млрд. грн.

Роблячи узагальнюючі висновки можна говорити про те, що ці два фактори, тобто зміна капіталовіддачі та обсягу капітальних вкладень, протилежно вплинули на динаміку зниження обсягу ВДВ у поточному році порівняно з базисним роком. Якщо інтенсивний фактор позитивно вплинул на динамику ВДВ, то екстенсивний негативно.

Задача 2.

Методику побудови такого рівняння регресії можна розглянути на прикладі двох взаємозвязаних рядів динаміки: валового внутрішнього продукту (ВВП) (y_t) і капітальних вкладень в економіку України (x_t). Звязок між цими показниками можна відобразити лінійною функцією:

Y_t = a₀ + a₁x + a₂t

де a₁  параметр, який характеризує середній приріст результативної ознаки y на одиницю приросту факторної ознаки y, a₂  середній щорічний приріст y під впливом зміни комплексу факторів, крім x.

Обчислення коефіцієнтів регресії

Роки	Обсяг ВВП y (млрд. крб.)	Обсяг капітальних вкладень (млрд. крб.)	t	xy	x2	t2	xt	yt	Y
1	289,0	53,516	-2	15466,1	2863,9	4	-107,032	-578	290,1
2	265,9	49,713	-1	13218,7	2471,4	1	-49,713	-265,9	290,2
3	239,9	31,363	0	7524,0	983,6	0	0	0	208,9
4	219,6	28,122	1	6175,6	790,8	1	28,122	219,6	202,5
5	164,7	21,775	2	3586,3	474,2	4	43,55	329,4	186,4
Разом	1179,1	184,292	0	45970,7	7583,9	10	-85,071	294,9	1179,1

Визначимо параметри функції Y_t = a₀ + a₁x + a₂t. Параметри функції визначають методом найменших квадратів, система нормальних рівнянь складається традиційно:

Система нормальних рівнянь має вигляд:

Вирішив систему рівнянь знаходимо наступні параметри функції:

Звідси функція має вигляд:

Тобто підвищення обсягу капітальних вкладень в економіку України на 1 грошову одиницю веде до збільшення ВВП на 6,28 грошових одиниць. За рахунок інших факторів, які рівномірно змінюються протягом часу, ВВП збільшився на 23,94 грошових одиниць в середньому.

У разі усунення автокореляції залишки мають бути незалежними. Цю гіпотезу перевіряють за допомогою коефіцієнта автокореляції. Здійснюють за формулою:

Розрахунок коефіцієнта автокореляції

Роки	Обсяг ВВП y (млрд. крб.)	Yt
1	289,0	291,1	-2,1	-24,3	51,03	4,41
2	265,9	290,2	-24,3	+31,0	-753,3	590,5
3	239,9	208,9	+31,0	+17,1	530,1	961
4	219,6	202,5	+17,1	-21,7	-371,1	292,4
5	164,7	186,4	-21,7	-2,1	45,6	470,9
Разом	1179,1	1179,1	0	0	-497,7	2319,2

Коефіцієнт автокореляції приймає значення:

Для перевірки автокореляції в залишкових величинах можна використовувати критерій Дарбіна-Ватсона, який позначається символом і розраховується за формулою:

або .

В нашому випадку . Так як автокореляція має відємне значення (-0,2146) тоді для перевірки її на істотність слід визначити величину . При порівнянні розрахункового значення з табличним може скластися один з трьох варіантів:

1)   ряд містить автокореляції

2)   автокореляція відсутня

3)  необхідне подальше дослідження автокореляції, де і  верхня і нижня межа (границя) теоретичних значень.

В даному випадку розрахункове значення  тому можна зробити висновки про відсутність автокореляції.