Условия возникновения геометрического распределения

Проводится ряд независимых опытов до первого появления некоторого события А. Случайная величина Х – число проведенных испытаний до первого появления события А.

Пример 2.12. Стрельба по мишени ведется до первого попадания. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна . Записать ряд распределения случайной величины X , обозначающей число выстрелов до первого попадания, и найти ее математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Случайная величина Х может принимать бесконечное число значений 1, 2, 3, …, k, …. Найдем их вероятности. По условию , . Следовательно, , Таблица распределения X имеет вид:

	1	2	3	…	k	…
	0,6	0,24	0,096	…		…

Используя формулы (2.26), находим , .

2.8.4. Гипергеометрическое распределение

Определение 2.18. Дискретная случайная величина X называется распределенной по гипергеометрическому закону с тремя параметрами M, N и n, если X принимает конечное число значений k, где , с вероятностями

, . (2.27)

Теорема 2.3. Математическое ожидание и дисперсия гипергеометрического распределения X вычисляются по следующим формулам:

, . (2.28)

Пример 2.13. Пусть в партии, состоящей из N изделий, имеется М стандартных ( ). Из партии случайно отбирают n изделий ( ), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию. Обозначим через X случайную величину – число стандартных изделий среди n отобранных. Тогда возможные значения величины X: . Вероятности этих значений находятся по формуле (2.27).

Пример 2.14. В урне находятся 10 шаров, среди них 3 белых и 7 черных. Наудачу отобраны 2 шара. Случайная величина X – количество белых шаров среди двух отобранных. Найти закон распределения величины X, её математическое ожидание, дисперсию и моду.

Решение. Случайная величина X принимает значения 0, 1, 2. Най­дем вероятности этих значений:

,

,

.

Следовательно, искомый закон распределения X имеет вид

X	0	1	2
P	7/15	7/15	1/15

Проверка: .

Используя формулу (2.11), находим . В силу формулы (2.17),

.

Наконец, найдем моду величины X, исходя из определения моды (см. раздел 2.7.3). Так как при и , то случайная величина X имеет две моды и .

Ответ: , , .

2.9. Непрерывные случайные величины

Дадим более точное определение непрерывной случайной величины по сравнению с определением 2.3.

Определение 2.19. Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.