Основні теореми диференціального числення.

Правило Лопіталя

Якщо функція y=f(x) неперервна на відрізку [a;b], диференційовна на інтервалі (a;b), причому f(а)=f(b), то існує принаймні одна точка с(a;b) така, що (теорема Ролля).

Г еометричний зміст теореми Ролля. Якщо функція задовольняє умови теореми Ролля, то серед усіх дотичних до кривої y=f(x) існує принаймні одна, паралельна осі Ох (рис.4.2).

Якщо функції y=f(x) і y=(x) неперервні на відрізку [a;b] і диференційовні на інтервалі (a;b), причому , то існує принаймні одна точка с(a;b) така, що

(теорема Коші).

Якщо в умові теореми Коші розглянути функцію (x)=х, то буде справедливе наступне твердження.

Якщо функція y=f(x) неперервна на відрізку [a;b] і диференційовна на інтервалі (a;b), то існує принаймні одна точка с(a;b) така, що

(теорема Лагранжа).

Геометричний зміст теореми Лагранжа. Якщо функція y=f(x) задовольняє умови теореми Лагранжа, то серед усіх дотичних до кривої y=f(x) знайдеться принаймні одна, яка паралельна хорді АВ, де , (рис.4.3). І дійсно,

, .

Для розкриття невизначеностей вигляду і використовують правило Лопіталя. Нехай функції f і g диференційовні в деякому околі точки х₀ (скінченої або нескінченно віддаленої), крім, можливо, безпосередньо точки х₀. Якщо f і g при хх₀ є одночасно нескінченно малими або нескінченно великими , причому існує границя , то існує також границя і має місце рівність

= . (4.11)

Якщо не існує, то правило Лопіталя застосовувати не можна, хоча шукана границя може існувати.

Правило Лопіталя можна застосовувати декілька разів.

Крім розглянутих невизначеностей, зустрічаються ще такі:

0, +–(+), 0⁰, ⁰, 1^.

Кожну з цих невизначеностей можна звести до невизначеності або за допомогою таких перетворень:

0= або 0= ,

+–(+)= ;

0⁰= ; ⁰= ; 1^= .

Приклади

Використовуючи правило Лопіталя, знайти границі:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Розв’язання. а) Маємо невизначеність вигляду . Використовуючи правло Лопіталя (формулу (4.11)), одержимо:

.

б) Також маємо невизначеність вигляду . Використовуючи правло Лопіталя тричі, одержимо:

.

в) Маємо невизначеність вигляду . Розкриваючи її за правилом Лопіталя, одержимо:

.

г) Маємо невизначеність вигляду 0. Зведемо її до невизначеності вигляду , а потім використаємо правило Лопіталя:

.

д) Маємо невизначеність вигляду –. Зведемо її до невизначеності вигляду , а потім використаємо правило Лопіталя:

= = = = .

е) Маємо невизначеність вигляду 1^.

= .

Знайдемо . Маємо невизначеність вигляду 0. Зведемо її до невизначеності вигляду , а потім використаємо правило Лопіталя та границю :

= =

= .

Отже, = .

Завдання для самостійного розв’язування

1. Використовуючи правило Лопіталя, знайти границі:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) .

Відповіді: 1. 1) ; 2) 2; 3) ; 4) +; 5) 0; 6) ; 7) .