Лекция 4,5 Устойчивость решений злп при небольших изменениях условий. Двойственный симплекс-метод.

Вопросы: 1. Обращенный базис, симплекс - множители.

2. Изменение значений правых частей ограничений.

3. Изменение значений коэффициентов целевой функции.

4. Включение дополнительных переменных.

5. Включение дополнительных ограничений.

6. Двойственный симплекс-метод.

7. Проблемы вырождения, зацикливания.

1. Обращенный базис, симплекс - множители.

Рассмотрим решение ЗЛП симплекс-методом с точки зрения алгебры. В матричном виде стандартная форма ЗЛП имеет вид: , Ах = b, где А_mxn. Представим матрицу А в виде «склеенных» двух матриц А = В_mxm R_mx(n-m). Здесь В_mxm – матрица, состоящая из столбцов матрицы А, соответствующих переменным, которые в оптимальной таблице являются базисными. Матрица R_mx(n-m) состоит из всех оставшихся столбцов. Предположим известна матрица В^-1. Умножим слева ограничения ЗЛП на В^-1:

В^-1(ВR)x = B^-1b, здесь х = (х_б.п., х_св.п.) (Е_mB^-1R)x = B^-1b x_б.п. = B^-1b, х_св.п. = 0.

В НДБР базисным переменным соответствует единичная матрица, то есть А = С_n-mE_m. Так как А умножается на В^-1, то В^-1А = В^-1(С_n-mE_m) = В^-1 С В^-1, что соответствует матрице коэффициентов оптимальной таблицы. Следовательно, в оптимальной таблице в столбцах тех переменных, которые были базисными в НДБР, находится матрица В^-1.

Матрица В^-1 называется обращенный базис. В оптимальной таблице В^-1 находится среди коэффициентов ограничений, стоящих в столбцах тех переменных, которые были базисными в исходной таблице.

Запишем теперь канонический вид задачи.

x_n+I, I = - уравновешивающие переменные.

С₁х₁ +…+ С_nx_n = F(x)

Умножим каждое ограничение на некоторое число , соответственно и сложим с выражением целевой функции, получим

х₁(С₁ + ) + … + х_n(C_n + ) + + … + = F(x) + . (1)

Значения можно подобрать таким образом, чтобы коэффициенты перед базисными переменными равнялись нулю. Без ограничения общности, например, первые m переменных являются базисными, тогда можно определить из системы

.

Если предположить, что подобрали таким образом, что перед базисными переменными коэффициенты равны нулю, а перед свободными - неотрицательны, то вид (1) будет соответствовать оптимальному виду таблицы. Следовательно, в оптимальной таблице коэффициенты в выражении целевой функции перед переменными, которые были базисными в исходной таблице, есть . Это и есть симплекс - множители. При этом,

.

Симплекс - множители – это такие числа , при умножении на которые каждого ограничения, соответственно, и сложении с выражением целевой функции будет получен такой вид целевой функции, что перед базисными переменными коэффициенты равны нулю, а перед свободными неотрицательны.

Замечание: если не все коэффициенты свободных переменных в выражении целевой

функции неотрицательны, то это симплекс - множители промежуточного

решения.

Обращенный базис и симплекс - множители позволяют использовать найденное решение ЗЛП, если происходят изменения условий задачи.

Пример.