Лабораторная работа №5
Тема: Синтез оптимальных регуляторов для SISO-объектов с помощью Matlab.
Цель: Получение практических навыков проектирования оптимальных регуляторов состояния с помощью Matlab.
Краткие теоретические сведения.
Системы, в которых обеспечивается минимум соответствующей оценки качества, часто называют оптимальными системами управления. В этой работе мы рассмотрим проблему синтеза оптимальной системы, которая описывается переменными состояния. Метод решения задачи основан на измерении переменных состояния и формировании из них управляющего сигнала , оптимизирующего качество системы.
При
проектировании реальных систем управления
инженеры вынуждены считаться с
энергетическими затратами на создание
управляющего сигнала, т.е. находить
золотую середину между требуемым
качеством системы и энергозатратами
на управление. Так, в системе управления
транспортным средством, работающим на
электроэнергии,
представляет собой потребление энергии
от аккумулятора и поэтому должно быть
ограничено, чтобы обеспечить достаточную
дальность поездки. Чтобы учесть затраты
энергии на выработку управляющего
сигнала, мы будем использовать оценку
качества в виде:
, (5.1)
где
- вектор состояния объекта управления;
- управляющее воздействие на объект;
- положительно определенная
диагональная матрица
весовых коэффициентов размерности
;
- скалярный весовой коэффициент
,
который следует выбирать
так, чтобы вклад переменных состояния
в оценку качества был сопоставим со
вкладом в нее второго слагаемого
подынтегрального выражения (5.1),
учитывающего ограниченные энергетические
возможности системы. Как и ранее,
управляющее воздействие мы ищем на
классе линейных функций:
(5.2)
Оценка (5.1) имеет минимальное значение, если матрица коэффициентов обратной связи по состоянию будет равна:
, (5.3).
где Р - матрица размерности находится из решения алгебраического уравнения Риккати (AER):
, (5.4)
Уравнения (5.3) и (5.4) представляют собой необходимые условия оптимального управления в смысле минимизации функционала (5.1).
Для работы с оптимальным регулятором в Control System Toolbox имеется команда: K=lqr(А,В,Q,r). Для расчета значений коэффициентов веса руководствуйтесь рекомендациями:
(5.5)
Следует отметить немного о решении уравнения Риккати. Представим (5.4) в такой форме:
(5.6)
где
- матрица Гамильтона, у неё
собственных чисел
,
из которых
- чисел с отрицательной вещественной
частью
и
- чисел с
.
Если найти
,
а к ним
собственные вектора
,
тогда
, (5.7)
где
-
собственные вектора к собственным
числам с
.
Умножим (5.106) справа
на
:
и слева на
,
получим
. (5.8)
Сравнивая (5. 6) и (5.8), получим
(5.9)
Объект управления и его уравнения динамики.
В лабораторной работе для объекта, описанного в л.р.№3, необходимо синтезировать оптимальный линейно - квадратический регулятор состояния с предварительным фильтром.
Задачей системы автоматического управления является обеспечение заданного перемещения платформ и удерживание стержня маятника в вертикальном положении в установившемся режиме (угол ).
Показатели качества (время регулирования и перерегулирование ) для синтезируемой САУ задать самостоятельно, ограничение на управляющее воздействие принять .