- •5.. Будущая стоимость капитала
- •5.2. Текущая стоимость капитала
- •5.3. Страхование
- •ГЛАВА 6. ПОРТФЕЛЬ ЦЕННЫХ БУМАГ
- •6.2. Влияние корреляции на риск портфеля
- •6.3. Оптимальный портфель
- •6.5. Распределение капитала между безрисковыми и рисковыми вложениями
- •6.7. Нахождение оптимальной структуры портфеля с помощью компьютера
- •6.8. Риск и неравенство Чебышева
- •6.9. Расчёт опционов
- •6.0. Формирование оптимального портфеля с помощью ведущего фактора
- •6.. Премия за риск
- •6.3. Общий риск портфеля
- •ГЛАВА 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР
- •7.. Понятие игры
- •7.2. Игры с природой
- •7.3. Критерии оптимальности
- •7.4. Принятие многоцелевых решений в условиях риска
- •7.5. Оптимизация по Парето
- •ГЛАВА 8. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
- •8.. Модель запасов наличных денег
- •8.3. Аукционные торги
- •ГЛАВА 9. ОСНОВНЫЕ ПУТИ И СПОСОБЫ МИНИМИЗАЦИИ РИСКА
- •9.. Внешние методы снижения риска
- •9.2.. Проверка партнеров по бизнесу
- •9.2.2. Бизнес - планирование
- •9.2.3. Подбор персонала предпринимательской организации
- •9.2.5. Получение дополнительной информации
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
- •СОДЕРЖАНИЕ
6.5. Распределение капитала между безрисковыми и рисковыми вложениями
В силу результатов предыдущего пункта на практике и в теории главная задача состоит в правильном распределении капитала между безрисковыми и рисковыми вложениями.
Имеют место следующие соотношения:
Rp = xoRo + (1− xo)Rr; mp = xoro + (1− xo)mr; σp = (1− xo)σr;
mp − ro = mrσ−r ro σp.
Из последней формулы следует, что связь между ожидаемым значением всего вклада и СКО линейна.
Если на рынке ценных бумаг имеются безрисковые ценные бумаги, то инвестор на свое усмотрение (в меру его склонности к риску) выбирает, какую часть капитала вложить в безрисковые, а какую в рисковые. При этом структура рисковой части определяется однозначно, независимо от склонности к риску инвестора.
6.6. Качественная характеристика структуры портфеля ценных бумаг. Примеры
Ситуация здесь следующая. С увеличением требуемой эффективности вклады в каждую ценную бумагу меняются линейно, если допустимо short sale, и кусочно линейно, если недопустимо. Доли более эффективных бумаг растут, менее эффективных уменьшаются. Графически это выглядит так:
26
|
3 |
2 |
3 |
x j |
x j |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
mp |
|
mp |
Рис. 6. 1. Доли вкладов в опти- |
Рис. 6. 2. Доли вкладов в опти- |
мальном портфеле при допусти- |
мальном портфеле при недопус- |
мости short sale. |
тимости short sale. |
m1< m2< m3 |
m1< m2< m3 |
Мера риска оптимального портфеля возрастает с ростом требуемой эффективности. При наличии капитала, взятого в долг, можно сформировать портфель с любой ожидаемой эффективностью, но при этом и риск будет неограниченным.
В случае наличия безрисковых ценных бумаг доли вкладов в ценные бумаги можно проиллюстрировать следующими рисунками.
х j |
|
1 |
|
|
x3 |
|
x2 |
|
x1 |
r0 |
mp |
Рис. 6. 3. Доли вкладов в оптимальном портфеле при допустимости short sale.
m1< m2< m3
х j |
|
|
1 |
|
x3 |
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
r0 |
mr |
mp |
Рис. 6. 4. Доли вкладов в оптимальном портфеле при недопус-
тимости short sale. m1< m2< m3
27
Если же взятие в долг невозможно, то предельная ожидаемая эффективность портфеля совпадает с эффективностью той ценной бумаги, эффективность которой самая большая. В нее вкладывается весь наличный капитал. Если есть несколько с максимальным ожидаемым эффектом, то капитал распределяется между ними. Графически это выглядит так:
σ |
b |
a |
|
|
|
p |
|
|
О |
mmax mp |
|
Рис. 6.5
Зависимость минимального риска от ожидаемой эффективности портфеля а) при допустимости short sale;
b) при недопустимости short sale.
Сделаем геометрическую иллюстрацию допустимого множества портфелей из трех акций и выбора оптимального портфеля менеджерами с разными функциями полезности
I2
σ p |
|
C |
|
|
∞ |
|
B |
M 2 |
|
|
|
|
A |
|
|
K |
|
|
M M 1 |
I1 |
|
|
|
O |
|
mp |
|
|
|
r0 |
m(σ min ) mI mr |
mII |
|
|
Рис. 6.6 |
28
Фигура АВСМ – множество допустимых портфелей (хj ≥ 0).
Точкам А,В,С соответствуют портфели, состоящие только, соответственно, из акций А,В,С.
МС – множество эффективных портфелей.
М1 – портфель, выбираемый менеджером с линиями безразличия I 1. М2 – портфель, выбираемый менеджером с линиями безразличия I 2.
r0 – эффективность безрисковой ценной бумаги (портфель, состоящий только из безрисковых ценных бумаг с эффективностью r0).
К – оптимальный портфель, состоящий только из рисковых ценных бумаг при условии, что имеются безрисковые с эффективностью r0.
Кr0 – множество оптимальных портфелей с долей безрисковых
х0 (0≤ х0 ≤ 1).
К∞ – множество оптимальных портфелей с отрицательной долей безрисковых ценных бумаг (х0≤ 0). В этом случае безрисковые бумаги берутся в долг и за их счет формируется портфель с любой эффективностью, но и с большим риском.
Если весь капитал инвестируется в безрисковые ценные бумаги, то эффективность вложения равна r0 и риск равен нулю. Если весь капитал инвестировать в рисковые ценные бумаги, то ожидаемая эффективность равна mr. а СКО (риск) равен σr. Любому промежуточному решению (0< х0 < 1) соответствует одна из точек отрезка [К, r0]. Если имеется возможность брать безрисковые ценные бумаги в долг (х0 < 0, [К,∞ ]), то достижима любая ожидаемая эффективность, сопряженная соответственно с растущим риском.
Для ориентации массового инвестора в море облигаций, выпускаемых различными корпорациями, крупные брокерские фирмы публикуют рейтинги бонов (ценные бумаги, удостоверяющие вклад на длительный срок). Все эмитенты разбиваются на 9 классов: Aaa, Aa, A, Baa, Ba,B,Caa, Ca, C. Боны, принадлежащие к классу Aaa, оцениваются как абсолютно надежные, боны, принадлежащие к классу С, - как не имеющие абсолютно никаких перспектив. Остальные классы имеют промежуточную надежность. Начиная с уровня В боны считаются спекулятивными и негодными для долгосрочных инвестиций.
В случае двух ценных бумаг изложение существенно упрощается:
V =V11x 2 |
+2V12x1x2+V22 x 2 |
→ min, |
|
x |
|
+ |
x |
|
= |
1, |
||
|
m x |
|
1 |
+ |
|
2 |
|
= m . |
||||
p |
1 |
2 |
|
|
1 |
m x |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 p |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, если вторая ценная бумага безрисковая, то
29
|
x + |
x |
= 1, |
|
|
|
|
||
|
m1 x |
|
+0 |
|
|
|
|
σ = |
(1− x0 )σ r . |
|
1 |
r x |
0 |
= |
m , |
||||
|
1 |
|
0 |
|
p |
p |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6.5. В табл. 6.4 указаны вероятностные характеристики трех ценных бумаг, полученные путем обработки временных рядов (математические ожидания и ковариации):
1. Задаваясь желаемым значением ожидаемой эффективности портфеля mp=6%, найти структуру оптимального портфеля и соответствующий риск.
Таблица 6.4
i |
mi |
1 |
10 |
2 |
5 |
3 |
3 |
Vij |
1 |
2 |
3 |
1 |
8 |
1 |
− 2 |
2 |
1 |
2 |
− 1 |
3 |
− 2 |
− 1 |
1 |
2.Найти оптимальную структуру рисковой части портфеля, если принять во внимание, что имеются безрисковые ценные бумаги с эффективностью 2%. Указать его эффективность и риск.
3.Найти оптимальное распределение вложений, эффективность оптимального портфеля и риск, если имеется 3тыс. гривен, из которых треть вкладывается в безрисковые.
Решение.
1.
|
|
8 |
|
1 − 2 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
3 |
|
1 |
|
|
5/ 3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
V = |
|
1 |
|
2 − 1 |
, V− 1 |
= |
|
|
|
1 |
4 |
|
6 |
|
, |
V− |
1I = |
|
|
|
1 |
4 |
6 |
|
1 |
= |
|
11/ 3 |
, |
|||||
|
3 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− 2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
3 |
6 15 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
6 15 |
1 |
|
|
24 / 3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5/3 |
40 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
3 |
10 |
|
|
8 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
J1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||
|
|
ITV− 1I = (1 1 1) |
11/3 = |
3 |
, V− 1M= |
|
|
6 |
= |
16 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
24/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
35 |
|
|
|
30
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
J2 = MTV− 1M = |
(10 |
|
5 |
|
|
|
16 |
|
= 265, |
J12 = |
(1 |
|
1 |
|
|
1) |
|
16 |
|
= |
59, |
|
|
|||||||||||||||||||
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
− |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
157 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
10 |
|
223/ 3 |
|
||||||||||
J122 − J1J2 = |
592 − |
265= − |
, |
|
IJ12 |
− |
MJ1 |
= |
|
|
|
|
− |
40 |
|
5 |
|
|
|
− |
23/ 3 |
|
, |
|||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
59 |
1 |
3 |
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
19 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
1 |
|
|
325 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
MJ12 − |
IJ2 = |
|
|
|
5 |
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
30 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
59 |
|
|
265 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
223/ 3 |
|
|
325 |
|
|
|
|
|
− |
121 |
|
|
|||||||||
m |
P |
(IJ |
12 |
− |
MJ ) + |
MJ |
12 |
− |
|
IJ |
2 |
= |
6 |
|
− |
23/ 3 |
+ |
|
|
30 |
|
|
= |
|
− |
16 |
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
− 88 |
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
3 − |
121 |
|
59 /157 |
|
|
|
|
0,376 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x = − |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 4 |
|
|
6 |
|
− |
16 |
= |
|
29 /157 |
|
= |
|
|
|
0,185 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
157 3 |
|
3 |
6 |
|
|
15 |
|
|
26 |
|
|
|
69 /157 |
|
|
|
|
|
0,439 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, оптимальным вложением будет
37,6% – I, 18,5% – II, 43,9% – III.
При этом
Vp = 8 0,3762 + 2 1 0,185 0,376+ 2 0,1852 − 2 2 0,376 0,439− − 2 0,185 0,439+ 1 0,4392 = 0,709,
|
|
σ P = |
0,709= |
||
|
x = |
V− 1(M − |
r I) |
|
|
2. |
|
0 |
. |
||
IT V− 1(M − |
r I) |
||||
|
r |
|
|||
|
|
|
0 |
|
0,842.
|
|
10 |
|
|
1 |
|
|
8 |
|
|
M− Ir0 |
|
|
|
− |
|
|
= |
|
|
|
= |
5 |
|
2 |
1 |
|
3 |
, |
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
31
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
3 |
|
8 |
|
|
14 / |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(M− Ir0) = |
|
1 4 6 |
|
|
= |
|
26 / |
|
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
V |
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 6 |
|
|
|
57 / |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
14 / 3 |
|
97 |
|
|
|
3 |
|
14 / 3 |
|
|
14 / 97 |
|
|
0,144 |
||
|
T |
− 1 |
(M− Ir0) =(1 1 |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I |
V |
|
|
26 / 3 = |
|
3 . |
Х r = |
|
|
26 / 3 |
= |
26 / 97 |
= |
|
0,268 . |
|||||||
|
|
97 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
57 / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
57 / 3 |
|
57 / 97 |
|
|
0,588 |
Следовательно, структура рисковой части портфеля такая:
|
14,4% – I, |
26,8% |
– II, 58,8% – III. |
V = |
При этом: mr = 0,144 10 + |
0,268 5+ |
0,588 3= 4,544, |
8 0,1442 + 2 1 0,268 0,144 + 2 0,2682 − 2 2 0,144 0,588 − 2 0,268 0,588 + |
|||
r |
+ |
1 0,5882 = 0,0786, |
|
|
σr = 0,0786 = 0,28.
3.Из 3 тыс. грв. 1 тыс. вкладываются под 2%. Оставшиеся 2 тыс. рас-
пределяются |
|
следующим |
образом: |
0,144 2000 = |
288 |
под |
10%; |
|||||
0,268 2000 = |
536 под 5%; 0,588 2000 = 1176 под 3%. Эффективность и риск |
|||||||||||
этого портфеля, соответственно, равны |
|
|
|
|
|
|||||||
m |
= x |
r +(1-x )m = 1 2 + |
2 |
4,544= 3,696 , |
σ = (1− x |
)σ |
= |
2 0,28 = |
0,187. |
|||
p |
0 |
0 |
0 |
r |
3 |
3 |
|
p |
0 |
r |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Общая структура портфеля такая:
9,6% – I, 17,9% – II, 39,2% – III, 33,3% – безрисковые. Здесь 0,096 = 0,144 23 , 0,179 = 0,268 23 , 0,392 = 0,588 23.
Пример 6.6. Имеется два вида ценных бумаг: рисковые, с эффективностью 0,6 и σ = 4 и безрисковые, с эффективностью 0,2. Имеется 100 гривен. Надо определить структуры портфелей с эффективностями 0; 0,2; 0,4; 0,6; 1; 2; 10; 100. Указать: 1) эффективности портфелей в долях и процентах; 2) деньги, которые предполагается получить в результате этих финансовых опе-
раций; 3) структуру портфелей в долях и деньгах; 4) σ p . Объяснить шестую ситуацию.
32