3.. Обратная геодезическая задача Методические указания.

Пояснить используя иллюстрации мелом на доске, геодезическую аппаратуру, проектор и стенды

Обратной геодезической задачей на плоскости называется задача определения дирекционного угла (АВ) с одной точки на другую и расстояния АВ между ними по известным прямоугольным координатам этих точек.

Решение обратной геодезической задачи (рис.2.23). Даны:

• точка А с координатами (Х_А,Y_А);

• точка В с координатами (Х_В,Y_В).

Требуется определить: - дирекционный угол (АВ) с точки А на точку В;

• расстояние между точкой А и точкой В.

В прямоугольном треугольнике АСВ катеты СМ СВ соответствуют приращениям координат:

АС= Х = Х_В – Х_А; (2.9)

СВ = Y = Y_В – Y_А.

Таким образом, в прямоугольном треугольнике АСВ два катета, по которым можно определить все его остальные элементы:

- острый угол САВ, равный дирекционному углу (АВ);

- гипотенузу АВ, которая есть не что иное, как расстояние .

Рис. 2.23. Решение обратной геодезической задачи

При расположении точек А и В в первой четверти (АВ) = '.

Тогда:

tg ' = tg (AB) =(Y_B – Y_A) / (X_B – X_A) = Y / X; (2.10)

= (Y_B – Y_A) / sin (AB) = Y / sin ', если ' > 45^o, (2.11)

или = (X_B- X_A) / cos (AB) = X / cos ', если ' < 45^o. (2.12)

Формулы (2.10, 2.11, 2.12,) представляют собой математическое выражение обратной геодезической задачи.

Из этих зависимостей видно, что для решения данной задачи:

- необходимо по координатам точек А и В вычислить Х и Y;

- по формуле (2.10) вычислить дирекционный угол направления с точки А на точку В, приведенный к острому углу первой четверти;

- по формулам (2.11, 2.12) дважды получить искомое расстояние .

За окончательное значение расстояния принимается значение, полученное по большей разности координат.

Для решения обратной геодезической задачи в общем случае определяется не дирекционный угол (АВ), а острый угол ^,. Переход от острого угла ^, к дирекционному углу (АВ) осуществляется в зависимости от знаков приращений координат.

Обратная геодезическая задача решается теми же способами и средствами, что и прямая геодезическая задача.

При решении обратной геодезической задачи с помощью пятизначных таблиц логарифмов формулы (2.10, 2.11, 2.12) логарифмуются и приводятся к виду:

lg tg ' = lg Y – lg Х;

lg = lg X – lg cos ' = lg Х + lg sec '; (2.13)

lg = lg Y – lg sin ' = lg Y – lg cosec '.

Пример 2.9

Решить обратную геодезическую задачу.

Известны:

X_A = 32761,3; X_B = 36184,3 м;

Y_A = 87847,4; Y_B = 84249,7 м.

Определить:

- расстояние между точками А и В;

- дирекционный угол (АВ) между точками А и В.

Решение

tg (AB) = (Y_B - Y_A) / (X_B - X_A) = Y / X;

= (Y_B - Y_A) / sin (AB); (AB) = 373^о34'29";

= (X_B - X_A) / cos (AB). (AB) = 4965,9 м;

X = 3423,0 м;

Y = -3597,7 м.

Пример 2.10 (рис. 2.23)

Решить обратную геодезическую задачу.

Известны:

X_A = 28148,2; X_B = 29962,8 м;

Y_A = 71558,4; YB = 71540,8 м.

Определить:

- расстояние между точками (расстояние между НП и ориентиром);

- дирекционный угол (АВ) (с НП на ориентир).

Решение

tg (AB) = (Y_B - Y_A) / (X_B - X_A) = Y / X;

= (Y_B - Y_A) / sin (AB); (AB) = 359^о26'36"; X = 1814,6 м;

= (X_B – X_A ) / cos (AB). = 1814,7 м; Y = - 176,3 м.

ВЫВОДЫ

Сделать выводы по вопросу. Пояснить непонятное.