Тема 3. Теоретико-функциональная интерпретация пропозициональной логики.

Вопросы:

1. Пропозициональные связки как логические функции; их табличное (матричное) определение.

2. Понятия тождественно-истинных (общезначимых), тождественно-ложных и нейтральных формул.

3. Логическая эквивалентность формул. Список общезначимых формул для эквивалентных преобразований.

4. Понятие приведенной формулы:

а) Приведение к конъюнктивной нормальной форме (КНФ); понятие совершенной КНФ.

в) Приведение к дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ); понятие совершенной ДНФ.

5. Метод аналитических таблиц как разрешающая процедура.

1. Системы классической пропозициональной логики базируются на принципе двузначности, согласно которому каждое высказывание должно быть или истинным, или ложным. Это означает, что в нашем символическом языке любая пропозициональная переменная может принимать или значение “истинно” (обозначается – и, t, 1), или значение “ложно” (обозначается – л, f, 0). Поскольку сложные формулы строятся из ограниченного набора пропозициональных связок, можно рассматривать эти связки как логические функции, значение которых зависит от истинностных значений входящих в них переменных. Так, например, отрицание можно определить как логическую функцию, принимающую значение “ложно”, когда пропозициональная переменная имеет значение “истинно”, и значение “истинно”, когда переменная имеет значение “ложно”. Если высказывание “Снег белый” является истинным, то его отрицание –“Неверно, что снег белый”– будет ложным высказыванием.

Определение связки отрицания можно представить в виде таблицы (или матрицы) истинности:

А	А
и	л
л	и

То есть, в рамках классической пропозициональной логики функция отрицания состоит в том, что ее применение к некоторой формуле изменяет истинностное значение последней на противоположное.

Таким же образом можно определить и остальные пропозициональные связки. Дадим в виде сводной таблицы, два первых столбца которой дают все возможные сочетания двух истинностных значений – “истинно” и “ложно” – для двух переменных А и В; эти сочетания задают количество строк таблицы истинности.

А	В	А  В	А  В	А  В	А  В	А  В
и	и	и	л	и	и	и
и	л	л	и	л	л	и
л	и	л	и	и	л	и
л	л	и	л	и	л	л

Эквивалентность – логическая функция, принимающая значение “истинно” тогда и только тогда, когда все члены эквивалентности имеют одинаковые значения, и значение “ложно” – во всех остальных случаях. Строгая дизъюнкция – логическая функция, принимающая значение “ложно” тогда и только тогда, когда все дизъюнкты имеют одинаковые значения, и значение “истинно” – во всех остальных случаях. Импликация – это логическая функция, принимающая значение “ложно” тогда и только тогда, когда антецедент имеет значение “истинно”, а консеквент – значение “ложно”; и имеет значение “истинно” во всех остальных случаях. Конъюнкция – логическая функция, принимающая значение “истинно” тогда и только тогда, когда все конъюнк­ты имеют значение “истинно”, и значение “ложно”, когда хотя бы один из конъюнктов имеет значение “ложно”. Дизъюнкция простая – логическая функция, принимающая значение “ложно” тогда и только тогда, когда все дизъюнкты имеют значение “ложно”, и значение “истинно”, когда хотя бы один из дизъюнктов имеет значение “истинно”.

В общем случае количество строк таблицы истинности определяется по формуле 2ⁿ, где n – количество переменных в формуле. Переменные нужно отличать от элементарных формул; в приведенной ниже формуле переменных три, а элементарных формул пять (каждое вхождение переменной в сложную формулу называется элементарной формулой). Так таблица для формулы (A  B)  (A  C  В) будет иметь восемь строк.

A	B	C	A  B	A  C	A  C  В	(A  B)  (A  C  В)
и	и	и	и	и	л	л
и	и	л	и	л	и	и
и	л	и	л	и	и	л
и	л	л	л	л	и	л
л	и	и	и	л	и	и
л	и	л	и	л	и	и
л	л	и	и	л	и	и
л	л	л	и	л	и	и

Для нахождения значений истинности всей формулы, нужно найти вначале значения подформул, для чего в таблицу вводятся столбцы для подформул. В случае нашей формулы таких вспомогательных столбцов будет три.

В начале таблицы задаются все возможные сочетания двух истинностных значений (“истинно” и “ложно”) для трех переменных А, В и С. Вся формула является конъюнктивной, где подформула А  В – первый конъюнкт, и подформула A  C  В – второй конъюнкт; значение всей формулы содержится в последнем столбце таблицы, где цифры 1 и 3 означают, что при нахождении значений каждой строки использовались строки первого (для подформулы А  В) и третьего (для подформулы A  C  В) столбцов. Значения первого столбца находятся по сочетаниям истинностных значений A и B для связки импликации. Для того чтобы найти значения второго конъюнкта, который является импликативной формулой, необходимо найти значения ее антецедента, что дает столбец для подформулы A  C. Значения строк этого столбца находятся для связки конъюнкции по сочетаниям истинностных значений для А и С. При нахождении строк третьего столбца для связки импликации в качестве значений антецедента используются строки второго столбца, а значения консеквента (В) определяются по распределению истинностных значений для В, с учетом, что отрицание изменяет значение “истинно” на “ложно”, и наоборот.

Нахождение значений “истинно” и “ложно” для некоторой формулы возможно также методом сокращенных таблиц истинности. Рассмотрим это на примере нашей формулы путем нахождения условий ложности. Вся формула является конъюнктивной (основная связка – конъюнкция). Конъюнкция двух формул может быть ложной в двух случаях: 1) ложен первый конъюнкт, а второй может быть может быть как истинным, так и ложным; 2) ложен второй конъюнкт, а первый может быть как истинным, так и ложным. Предположим, что первый конъюнкт “А  В” будет ложным; но это возможно только тогда когда А – “истинно” и В – “ложно” (по условию ложности для импликации). Во втором конъюнкте A  C  В в качестве элементарных формул имеются А и В, которые будут иметь те же самые значения, что и в первом конъюнкте. Тогда условие “быть истинным или ложным” распространяется только на С. Таким образом мы уже нашли два случая ложности всей формулы: 1) А – “и”, В – “л”, С – “и” (третья строка таблицы); 2) А – “и”, В – “л”, С – “л” (четвертая строка таблицы). Для того чтобы выполнилось условие ложности второго конъюнкта, мы должны проанализировать условия ложности импликативной формулы, где A  C – антецедент, и В – консеквент. Импликация может быть ложной только в одном случае, если антецедент имеет значение “истинно”, а консеквент – значение “ложно”. Это означает, что A  C должно быть истинно, что для конъюнкции будет иметь место только в том случает, когда оба конъюнкта истинны. То есть, мы нашли значения А – “и”, С – “и”. Для того чтобы выполнилось условие ложности консеквента импликации В, элементарная формула В должна иметь значение “истинно”. Таким образом, мы нашли еще одну комбинацию истинностных значений, в которых наша формула ложная: А – “и”, В – “и”, С – “и” (первая строка таблицы).

2. Метод сокращенных таблиц истинности весьма эффективен в решении вопроса о том, может ли некоторая формула выступать в качестве аксиомы. Рассмотрим это на примере первой аксиомы импликативной группы:

А  (В  А).

Интуитивно ясно, что в качестве аксиом нельзя использовать формулы, имеющие случаи ложности. Поэтому мы рассматриваем случай, что данная формула могла бы иметь значение “ложно”. Для импликации это означает единственный случай, когда А имеет значение “истинно”, а В  А – значение “ложно”. Но поскольку значение А уже определено как „истинно”, то для В  А это означает, что данная подформула также будет иметь значение “истинно” (импликация истинна, если консеквент импликации имеет значение “истинно”, независимо от того, какое значение имеет антецедент). Таким образом для всей импликативной формулы мы имеем комбинацию “истинно” – “истинно”, что дает нам значение всей формулы: “истинно”. Мы рассматривали единственный случай, когда наша формула могла бы быть ложной, а она оказалась истинной. Следовательно, эта формула имеет значение “истинно” при всех возможных комбинациях истинностных значений входящих в нее переменных.

Теоретико-функциональная интерпретация пропозициональной логики позволяет разбить все множество правильно построенных формул на три подмножества:

1. формулы, которые при всех возможных сочетаниях истинностных значений входящих в них переменных принимают одно значение “истинно”; они называются тождественно-истинными (или общезначимыми) и обозначаются метасимволом “╞═”, например, ╞═ А  (В  А);

2. формулы, которые при всех возможных сочетаниях истинностных значений входящих в них переменных принимают одно значение “ложно”; они называются тождественно-ложными, например, (А  (В  А)) – отрицание общезначимой формулы;

3. формулы, которые при всех возможных сочетаниях истинностных значений входящих в них переменных принимают хотя бы одно значение “истинно”, или хотя бы одно значение “ложно”; они называются нейтральными.

Если формула имеет хотя бы одно значение “истинно”, то она называется выполнимой. То есть, множество выполнимых формул включает в себя общезначимые и нейтральные формулы.

3. Формулы, содержащими одни и те же пропозициональные переменные (хотя бы одну), таблицы истинности которых построчно совпадают, называются логически эквивалентными. Так, например, формулы (A  B)  (A  C  В) и А  (В  С) будет логически эквивалентными, так как последняя включает те же самые переменные и имеет значение “ложно” в тех же самых комбинациях истинностных значений:

А  (В  С)
1. и	и	и
3. и	л	и
4. и	л	л

Здесь мы имеет краткую запись применения метода сокращенных таблиц истинности, где под переменными указаны те комбинации истинностных значений, в которых эта формула имеет значение “ложно”. Последние находятся по условию ложности для импликации: А – “и”, В  С – “л”. Для конъюнкции значение ложно определяется рассмотрением двух случаев: 1) первый конъюнкт (В) ложен, второй может иметь любые значения, то есть С может быть как истинным, так и ложным, что дает нам третью и четвертые строки таблицы истинности; 2) второй конъюнкт ложен, первый может иметь любые значения, то есть с учетом отрицания С должно быть “истинно”, а В может быть как истинным, так и ложным, что дает нам первую и третью строки таблицы истинности.

Поскольку связка эквивалентности определяется как функция, принимающая значение “истинно” тогда и только тогда, когда все члены эквивалентности имеют одинаковые значения, то применение связки эквивалентности к логически эквивалентным формулам дает нам новую формулу (со связкой эквивалентности в качестве основной), которая является общезначимой.

Эквивалентные формулы обладают таким свойством, что замена части формулы (или всей формулы) на формулу, эквивалентную ей, не ведет к изменению истинностного значения всей формулы. Такая операция называется метод эквивалентных преобразований, для практического применения которого потребуется следующий список общезначимых формул:

1. А  А свойство рефлексивности эквивалентности

2. (А  В)  (В  А) свойство симметричности эквивалентности

3. (А  В)  (В  С)  (А  С) свойство транзитивности эквивалентности

4. (А  В)  С  А  (В  С)  А  В  С принцип ассоциативности конъюнкции

5. (А  В)  С  А  (В  С)  А  В  С принцип ассоциативности дизъюнкции

6 .А  В  В  А принцип коммутативности конъюнкции

7. А  В  В  А принцип коммутативности дизъюнкции

8. А  (В  С)  (А  В)  (А  С) принцип дистрибутивности конъюнкции

9. А  (В  С)  (А  В)  (А  С) принцип дистрибутивности дизъюнкции

10. А  А  А принцип идемпотентности конъюнкции

11. А  А  А принцип идемпотентности дизъюнкции

12. А  (А  В)  А принцип элиминации для конъюнкции

13. А  (А  В)  А принцип элиминации для дизъюнкции

14. А  В  В  А принцип контрапозиции

15. А  (В  С)  А  В  С принцип импортации (экспортации)

16. А  (В  С)  В  (А  С) принцип перестановки посылок

17. (А  В)  А  В законы

18. (А  В)  А  В де Моргана

19. (А  В)  А  В принцип отрицания импликации

20. А  В  (А  В)

21. А  В  (А  В) формулы с 20-ой по 26-ю

22. А  В  (А  В) служат для выражения

23. А  В  А  В одних связок через

24. А  В  (А  В) комбинацию других

25. А  В  А  В

26. (А  В)  (А  В)  (В  А)

27. А  А закон двойного отрицания

28. А  А закон исключенного третьего

29. (А  А) принцип отрицания противоречия

Первые три формулы характеризуют свойства отношения эквивалентности. В формулах с 4 по 27 основной связкой является эквивалентность, что позволяет заменять правую часть эквивалентности на левую и наоборот. В последних двух формулах символ эквивалентности отсутствует, но эти формулы важны для метода эквивалентных преобразований. Формула 28 представляет собой дизъюнкцию элементарной формулы и ее отрицания и в силу определения дизъюнкции (дизъюнкция истинна, если хотя бы один из дизъюнктов истинен) будет общезначимой формулой (если А истинна, то формула истинна, а если А ложна, то А даст истину). То есть, любая дизъюнктивная формула, в которой встречается элементарная формула и ее отрицание, будет общезначимой. Формула А  А будет тождественно-ложной (если А ложна; а если А истинно, то А даст ложь). Любая конъюнктивная формула, в которой встречается элементарная формула и ее отрицание, будет тождественно-ложной.

4. Формула, в которую входят только связки конъюнкции (), дизъюнкции () и отрицания (), причем отрицание стоит только перед элементарными формулами, называется приведенной.

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) некоторой формулы называется приведенная формула, логически эквивалентная данной, в которой основной связкой является конъюнкция, и хотя бы один из конъюнктов есть формула дизъюнктивная.

Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) некоторой формулы называется приведенная формула, логически эквивалентная данной, в которой основной связкой является дизъюнкция, и хотя бы один из дизъюнктов есть формула конъюнктивная.

Имеется несколько способов нахождения КНФ и ДНФ. Рассмотрим способ нахождения КНФ и ДНФ методом эквивалентных преобразований, используя список общезначимых формул, для формулы

(A  B)  (A  C  В).

В этой формуле основной связкой является конъюнкция, а оба конъюнкта – формулы импликативные. От импликаций необходимо избавиться (поскольку в приведенной формуле должны быть только связки конъюнкция (), дизъюнкция () и отрицание ()). Используем 23 формулу и получаем:

(А  В)  ((A  C)  В).

Во втором конъюнкте имеем стоящее перед скобкой отрицание, от которого избавляемся, используя закон де Моргана (формула 18):

(А  В)  (A  C  В).

Поскольку во втором конъюнкте все связки являются дизъюнкцией, от скобок между дизъюнктами мы избавились, используя принцип ассоциативности дизъюнкции (формула 5). Полученная формула является КНФ исходной формулы.

Для перехода от КНФ к ДНФ и обратно используются принципы дистрибутивности (формулы 8 и 9). В нашем случае потребуется формула 8, в которой вместо А подставим А  В; последняя формула согласно правой части формулы 8 должна распределиться между всеми дизъюнктами второго конъюнкта (A, C, и В). Получаем:

((А  В)  A)  ((А  В)  C)  ((А  В)  В).

Полученная формула не является ДНФ, поскольку в ней встречаются дизъюнкции, не являющиеся основной связкой. Чтобы в этих подформулах сделать дизъюнкцию основной связкой, необходимо в них еще раз провести эквивалентное преобразование по формуле 8. Но предварительно мы можем упростить нашу формулу, используя принцип элиминации (формула 12) к первому дизъюнкту (порядок конъюнктов в нем не играет никакой роли, поскольку конъюнкты можно менять местами, используя принцип коммутативности (формула 6). В итоге получаем:

A  (А  C)  (В  C)  (А  В)  (В  В).

Полученная формула уже является ДНФ исходной формулы, но мы можем упростить ее, используя принцип элиминации для дизъюнкции. Поскольку A присутствует как самостоятельный дизъюнкт, все скобки, в которых A присутствует в качестве конъюнкта можно элиминировать

A  (В  C)  (В  В).

Последняя формула также может быть упрощена. Так как ее последний дизъюнкт является тождественно-ложной формулой, то значение все формулы будет совпадать с тем значением, которое будет давать дизъюнкция первых двух дизъюнктов. Это означает, что вся формула эквивалентна

A  (В  C).

На основании последних рассуждений мы можем сформулировать такое правило:

ДНФ может быть упрощена за счет отбрасывания тождественно-ложного дизъюнкта.

Аналогичное правило можно сформулировать и для КНФ:

КНФ может быть упрощена за счет отбрасывания тождественно-истинного конъюнкта.

Совершенной КНФ называется такая КНФ, в которой каждый из конъюнктов представляет собой элементарную дизъюнкция всех переменных исходной формулы. Элементарная дизъюнкция характеризуется такими признаками: 1) это дизъюнкция всех переменных; 2) каждая переменная встречается только один раз, с отрицанием, или без него. Так, например, в полученной нами КНФ

(А  В)  (A  B  С)

второй конъюнкт является элементарной дизъюнкцией (мы только поменяли местами второй и третий дизъюнкты, используя принцип коммутативности (формула 7)).

Переход от КНФ к совершенной КНФ осуществляется методом введения недостающих переменных в каждый из конъюнктов, то есть, расширяем их до элементарной дизъюнкции. В нашем примере в первом конъюнкте отсутствует С; введение даст пару конъюнктов: (А  В  С)  (А  В  С). С учетом уже имеющегося конъюнкта, являющегося элементарной дизъюнкцией, имеем совершенную ДНФ:

(А  В  С)  (А  В  С)  (A  Â  С).

Мы переходили от КНФ к совершенной КНФ, расширяя первый конъюнкт до элементарной дизъюнкции путем введения недостающей переменной С. Покажем, что такое введение не нарушает логической эквивалентности. В полученных в результате расширения двух конъюнктах (А  В  С)  (А  В  С), исходя из принципа ассоциативности для дизъюнкции (формула 5) выделим общий элемент (А  В) и получим:

((А  В)  С)  ((А  В)  С).

Используя принцип дистрибутивности (формула 9) вынесем этот общий элемент за скобки:

(А  В)  (С  С).

Получили ДНФ, в которой второй дизъюнкт – тождественно-ложная формула; последнюю без ущерба для истинности мы можем отбросить и получаем исходный конъюнкт:

(А  В).

А	В	С	И
и	и	и	л
и	и	л	и
и	л	и	и
и	л	л	л
л	и	и	и
л	и	л	и
л	л	и	л
л	л	л	и

Совершенная КНФ имеет следующее свойство: каждый из конъюнктов соответствует одной из строк таблицы истинности со значением “ложно”. Это позволяет находить совершенные КНФ по таблицам истинности. Допустим, некоторая формула И содержит переменные А, В, и С и имеет следующую таблицу. Совершенная КНФ будет иметь три конъюнктов (по количеству строк со значением “ложно” для формулы И). Если в распределении истинностных значений переменная имеет значение “истинно”, то в элементарной дизъюнкции она будет представлена с отрицание, если “ложно” – то без отрицания. Руководствуясь этими правилами имеем три конъюнкта (для первой, четвертой и седьмой):

(А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С).

Совершенной ДНФ называется такая ДНФ, в которой каждый из дизъюнктов представляет собой элементарную конъюнкция всех переменных исходной формулы. Элементарная конъюнкция характеризуется такими признаками: 1) это конъюнкция всех переменных; 2) каждая переменная встречается только один раз, с отрицанием, или без него.

Переход от ДНФ к совершенной ДНФ осуществляется методом введения недостающих переменных в каждый из дизъюнктов, то есть расширяем их до элементарной конъюнкции. Наш первый дизъюнкт представлен А. Мы расширяем его путем введения всех возможных комбинаций конъюнкций В и С, а второй дизъюнкт – В  C – присоединением недостающей переменной А в одном случае без отрицания, в другом – с отрицанием:

(А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С) 

 (А  В  С)  (А  В  С) .

Мы получили два одинаковых дизъюнкта (выделены подчеркиванием); используя принцип идемпотентности для дизъюнкции (формула 11) упрощаем и получаем совершенную ДНФ:

(А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С) 

 (А  В  С).

Совершенная ДНФ имеет следующее свойство: каждый из дизъюнктов соответствует одной из строк таблицы истинности со значением “истинно”. В нашем примере первый дизъюнкт соответствует пятой строке, второй – шестой, третий – седьмой, четвертый – восьмой, а пятый – второй строке таблицы истинности.

А	В	С	И
и	и	и	л
и	и	л	и
и	л	и	и
и	л	л	л
л	и	и	и
л	и	л	и
л	л	и	л
л	л	л	и

На основании этого свойства совершенную ДНФ можно находить по таблице истинности. Рассмотрим пример для формула И (формула И представляет целый класс эквивалентных между собой формул объектного языка), содержащая в качестве элементарных формул пропозициональные переменные А, В и С, значения истинности которой заданы выше приведенной таблицей. В столбце для формулы И имеем пять значений истинно; это означает, что совершенная ДНФ будет иметь пять дизъюнктов. Если в распределении истинностных значений для А, В и С, переменная имеет значение “ложно”, то в элементарной конъюнкции она будет представлена с отрицанием; если переменная имеет значение “истинно”, то в элементарной конъюнкции она будет представлена без отрицания. Получаем следующую совершенную ДНФ (по порядку для второй, третьей, пятой, шестой и восьмой строк):

(А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С) 

 (А  В  С).

Методы нахождения КНФ и ДНФ имеют и практическое значение, так как путем приведения к КНФ можно решать задачи нахождения следствий из некоторых условий. Рассмотрим это на следующем примере.

Нужно определить, кто причастен к совершению преступления, если известно, что

1) А мог участвовать в преступлении тогда и только тогда, когда в нем участвовал В;

2) Неучастие в преступлении С является достаточным основанием для признания истинными показаний D;

3) В преступлении могли участвовать либо С, либо А, но не оба вместе;

4) Показания D не подтвердились.

Запишем эти условия символически:

1) А  В, 2) С  D, 3) С  А, 4) D

Объединим эти условия через конъюнкция:

(А  В) & (С  D) & (С  А) & D.

Приведем полученную формулу к КНФ методом эквивалентных преобразований (поскольку первый содержит связку эквивалентности, а третий – связку строгой дизъюнкции, которые не фигурируют в списке формул для эквивалентных преобразований, то, используя знание таблиц истинности для этих связок, выразим их в виде совершенных КНФ):

(A  B) & (A  B) & ( C  D) & (C  A) & (C  A) & D

D & (C  D) & (C  A) & (C  A) & (A  B) & (A  B)

В последней формуле на основе принципа коммутативности конъюнкты переставлены так, чтобы легче было вести упрощение. В частности, рассмотрим, что дает подчеркнутый фрагмент. Используя принцип дистрибутивности (формула 8) переходим от КНФ к ДНФ и получаем: (D & C)  (D & D). Второй дизъюнкт является тождественно-ложной формулой и может быть отброшен без ущерба для значения истинности все формулы. В итоге получаем: D & C. Такая процедура называется выявлением и в дальнейшем будет применяться без объяснения. Таким образом мы имеет:

D & C & (C  A) & (C  A) & (A  B) & (A  B).

Подчеркнутый фрагмент по принципу элиминации эквивалентен С, что дает:

D & C & (C  A) & (A  B) & (A  B).

Выявлением имеем:

D & C & A & (A  B) & (A  B).

Последующей элиминацией и выявлением получаем элементарную конъюнкцию D & C & A & B, из которой следует, что А и В не принимали участие в преступлении, D дал неверные показания, а в преступлении участвовал С.

5. Представленная нами интерпретация позволяет показать, что проблема разрешимости для систем пропозициональной логики иметь положительное решение. Эта проблема решается на основании двух метатеорем, доказательство которых мы опускаем.

МТ 1. Если ├─ И, то ╞═ И. (Читается: “Если формула доказуема, то она общезначима”).

МТ 2. Если ╞═ И, то ├─ И. (Читается: “Если формула общезначима, то она доказуема”).

Из этих метатеорем следует, что для признания некоторой формула доказуемой, нам достаточно знать, что она является общезначимой. Для обнаружения общезначимости формул имеется несколько методов:

1. Построение таблицы истинности (полной или сокращенной).

2. Приведение к КНФ, который мы рассмотрим на примере для формулы

(А  В)  (В  А).

Избавляясь по формуле 23 от импликации в качестве основной связки и ее консеквента, получаем:

(А  В)  (В  А).

Основной связкой у нас теперь является дизъюнкция. Для того чтобы избавиться от отрицания, стоящее перед импликативной формулой, к первому дизъюнкту применим формулу 19, а во втором дизъюнкте избавимся от двойного отрицания по формуле 27:

(А  В)  (В  А).

От полученной ДНФ по принципу дистрибутивности (формула 9) переходим к КНФ:

(В  А  В)  (А  В  А).

В полученной КНФ оба конъюнкта содержат дизъюнкцию элементарной формулы и ее отрицания, что обязательно дает нам значение “истинно”; а конъюнкция двух общезначимых формул также является общезначимой. Сформулируем следующие правила:

1. Если в КНФ некоторой формулы каждый из конъюнктов содержит дизъюнкцию элементарной формулы и ее отрицания, то данная формула является общезначимой.

2. Если в ДНФ некоторой формулы каждый из дизъюнктов содержит конъюнкцию элементарной формулы и ее отрицания, то данная формула является тождественно-ложной.

Общезначимость (также как тождественная ложность) формул может быть доказана методом аналитических таблиц. Метод аналитических таблиц представляет собой разновидность доказательства от противного. Для того чтобы показать, что формула является общезначимой (тождественно-ложной) ей приписывается значение F – “ложно” (значение Т – “истинно”)⁸. Таблица представляет собой разложение формулы на ее составные элементы, вплоть до элементарных формул, с приписываем им значений F или Т, по следующим правилам (эти правила являются обратными по отношению к определению пропозициональных связок как логических функций):

T&	T A & B T A T B	F&	F A & B F A | F B
T	T A  B F A | T B	F	F A  B T A F B
T	T A  B T A | T B	F	F A  B F A F B
T	T A  B T A  F A T B  F B	F	F A  B T A  F A F B  T B
T	T A  B T A  F A F B  T B	F	F A  B T A  F A T B  F B
T	T  A F A	F	F A T A

Вертикальная черта в заключении некоторых правил (под горизонтальной чертой) означает наличие разных возможностей; при этом столбец таблицы разветвляется на два подстолбца (поэтому эти правила называются “с ветвлением”). Правила, в заключении которых отсутствует вертикальная черта, дают только одну возможность (то есть, формулы помещены в одном и том же столбце). Каждое ветвление подчинено выше стоящему столбцу, формулы которого будут входить в данный подстолбец.

Столбец (подстолбец) таблицы называется замкнутым, если и только если в нем имеется не менее двух вхождений одной и той же элементарной формулы с противоположным означиванием. Аналитическая таблица называет замкнутой, если каждый ее столбец (подстолбец) замкнут (замкнутый столбец обозначается “+”, незамкнутый – “”). Аналитическая таблица называется полной, если и только если применение любого правила к любому столбцу не увеличивает множества формул в этих столбцах и не порождает новые столбцы, отличные от уже имеющихся. Таблица может быть и не полной, если ее столбец получает замыкание до разложения всех входящих в него формул на элементарные.

Замкнутая аналитическая таблица для F-означенной формулы свидетельствует о том, что данная формула является общезначимой, Замкнутая аналитическая таблица для Т-означенной формулы свидетельствует о том, что данная формула является тождественно-ложной.

Применение метода аналитических таблиц рассмотрим на примере доказательства общезначимости второй аксиомы системы:

F (А  (В  С))  ((А  В)  (А  С))

1. T А  (В  С)

2. F (А  В)  (А  С) F_

3. T А  В

4. F А  С F_ ; 2

5. T A

6. F C F_ ; 4

7. F A 7. T В  С T_ ; 1

+ 8. F B 8. T C T_ ; 7

9. F A 9 T B T_ ; 3 +

+ +

В первом столбце имеются следующие означенные элементарные формулы: 5. Т А; 6. F C; 7. F A . Элементарная формула А входит в столбец дважды и имеет противоположные означивания (подчеркнуто), что позволяет замкнуть этот столбец и не вписывать в него элементарные формулы, полученные дальнейшем разложением 3. T А  В (в силу этого таблица не является полной). Второй столбец после 8. разделился на два подстолбца:

9. (T A; F C: F B; F A) и 9 (T A; F C; F B; T B). Подстолбец 8. возникает из 7. в силу применения правила с ветвлением для истинной импликации; в нем содержатся: T A; F C; T C .

Таким образом, в каждом столбце таблицы содержится вхождение одной и той же элементарной формулы с противоположным означиванием (то есть каждый из столбцов замкнут), что позволяет сделать вывод из ее построения: Таблица замкнута, следовательно, формула является общезначимой.

Аналитическая таблица для F-означенной формулы позволяет восстановить КНФ формулы. При этом каждый из столбцов таблицы соответствует одному из конъюнктов. Если в столбце таблицы элементарная формула T-означена, то в конъюнкте она присутствует с отрицанием; если F-означена, то – без отрицания.

При установлении тождественной ложности формул аналитическая таблица строится из допущения, что исходная формула может иметь значение “истинно” (путем приписывания ее значения Т). Если она будет замкнутой, то формула будет тождественно-ложной. Аналитическая таблица для T-означенной формулы позволяет восстановить ДНФ формулы. При этом каждый из столбцов таблицы соответствует одному из дизъюнктов. Если в столбце таблицы элементарная формула F-означена, то в дизъюнкте она присутствует с отрицанием; если T-означена, то – без отрицания.

Решение проблемы разрешимости показывает, что в системах пропозициональной логики отношение следования представлено через выводимость одних общезначимых формул из других согласно правилам, основным из которых является правило заключения. То есть, формальным представителем отношения следования выступает связка импликации, что позволяет уточнить отношение логического следования:

Из формулы И логически следует формула Б, если И  Б является общезначимой формулой.

Задачи и упражнения к теме 3.

1. Постройте таблицы истинности для следующих формул:

а) (A  B)  ( A  B) б) (A  B)  (A  C)

в) (A  B)  (B  C) г) (A  B)  (C  B)

2. Методом сокращенных таблиц истинности найдите условия ложности следующих формул:

а) A  (A  B) б) A  B  B  C в) (A  B)  (C  D)

3. Методом сокращенных таблиц истинности найдите условия истинности следующих формул:

а) (A  A)  A б) A  B  C  D в) (A  B)  (C  B)

4. Методом эквивалентных преобразований найдите КНФ и ДНФ следующих формул:

а) (A  B)  (A  C) б) A  (B  A) в) A  (B  C)

г) (A  B)  (A  C) д) (B  C)  (A  B)

5. Найдите совершенные КНФ и ДНФ для формул пункта 4.

6. Найдите совершенные КНФ и ДНФ для формул И и К, содержащих в качестве элементарных формул пропозициональные переменные A, B и С, при следующих таблицах истинности:

A	B	C	И	К
и	и	и	и	л
и	и	л	и	и
и	л	и	л	и
и	л	л	л	л
л	и	и	и	л
л	и	л	и	л
л	л	и	л	и
л	л	л	и	и

7. Методом аналитических таблиц определите, являются ли данные формулы тождественно-истинными:

а) (A  B)  (B  A) б) (A  B)  ((B  C)  (A  C))

в) (A  B)  (A  B) г) (A  B)  (((B  C)  (A  C))

8. Методом аналитических таблиц определите, являются ли данные формулы тождественно-ложными:

а) (A  B)  (A  B) б) (A  (B  C))  (A  C  B)

в) (A  B)  (A  B) г) (A  B  C)  (B  C  A)

9. Методом аналитических таблиц определите, является ли множество данных формул совместно противоречивым:

а) A  C, B  A, (B  C)

б) C  A, (A  B), (B  C)

в) (A  B), В  C, А  C

10. Решите следующие задачи:

а) Командир осажденной крепости послал следующие три сообщения:

1) Если нам удастся получить продовольствие, то нам не будет угрожать смерть от голода.

2) Если нам не удастся получить продовольствие, то или нам будет угрожать смерть от голода, или мы попытаем­ся прорвать кольцо окружения.

3) Если нам будет угрожать смерть от голода, то мы попытаемся прорвать кольцо окружения.

Покажите символически, как можно сократить эти сообщения, не меняя их смысла.

б) Кто из подозреваемых A, B, С и D участвовал в преступлении, а кто имеет алиби, если известно, что

1) подозреваемый A мог быть на месте преступления, если и только если там был C;

2) D и A не могли быть соучастниками, но один из них обязательно принял участие в преступлении;

3) B мог иметь алиби только в случае участия в преступлении С;

4) участие в преступлении С является достаточным, но не необходимым условием участия D;

5) утверждения об участии в преступлении A и B несовместимы друг с другом.

в) Задача Венна (см.: Кутюра Л. Алгебра логики.– Одесса, 1909.– С.77-78). Члены правления финансового общества суть или владельцы облигаций, или владельцы акций (но не то и другое вместе). Все владельцы облигаций являются членами правления. Что отсюда можно заключить?

г) Раздался телефонный звонок. Мэгре снял трубку; звонили из комиссариата с информацией от инспекторов:

“Торанс установил, что если Франсуа был пьян, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет.

Жанвье считает, что или Этьен убийца, или Франсуа не был пьян, а убийство произошло после полуночи.

Люка просил передать, что если убийство произошло после полуночи, то либо Этьен убийца, либо Франсуа лжет.

Далее ...”. “Достаточно” – перебил Мэгре. Он знал, что трезвый Франсуа никогда не лжет. Теперь он знал все.

К какому выводу пришел Мэгре?

д) Задача Буля (см.: Стяжкин Н.B. Становление идей математической логики.– М., 1964.– С.185): Ответственные существа суть такие разумные существа, которые либо обладают свободой, либо добровольно от нее отказались. Что можно сказать о разумных существах в терминах существ ответственных, обладающих свободой, или добровольно от нее отказавшихся?

е) Методом аналитических таблиц проверьте правильность рассуждений полицейского детектива. Если рассуждение не является логически верным, то, восстановив по аналитической таблице КНФ формулы, найдите условия его ложности:

“Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо Смит –убийца, либо Джонс лжет. Если Смит – убийца, то Джонс не встречал этой ночью Смита и убийство произошло после полуночи. Если убийство произошло после полуночи, то Смит –убийца и Джонс не лжет. Следовательно, Смит – убийца”.

ж) Некая страна населена жителями, каждый из которых либо всегда говорит правду, либо всегда лжет, и которые отвечают на вопросы только посредством «да» или «нет». К развилке дороги, из которых одна ведет в столицу, а другая туда не приводит, подходит турист. Никаких знаков, указывающих, какую дорогу следует выбрать, при развилке нет. Зато здесь стоит местный житель, некто Р. Какой вопрос, требующий ответа “да” или “нет”, должен задать турист, чтобы выбрать нужную ему дорогу»? (При поиске формулы вопроса, используйте следующие высказывания: А –“Р всегда говорит правду”, В –“Дорога, идущая налево, ведет в столицу”).