Согласование интересов в матричных структурах управления - Губко М.В., Караваев А.П
..pdfåHi (ymin ) ≤ GN , то есть, |
åmax[Hi (ymin ),0] ≤ GN , следовательно, неравенст- |
i S |
i N |
во (П13) верно.
Доказательство леммы 3. Порядок суммирования в (29) можно изменить, суммируя сначала по коалициям, содержащим некоторого игрока i, а затем по всем игрокам из N.
å δS å Ai = å åδS Ai = å Ai åδ S
S N i S i N S:i T i N S:i S
По определению сбалансированного покрытия åδS =1 для всех i.
S:i S
Следовательно, å δS å Ai = å Ai åδS = å Ai .
S N i S i N S:i S i N
Доказательство леммы 4. Так как p(.) выпукла, то, по определению выпук-
лой функции, для |
|
любого 0 ≤ x1 ≤ x2 |
справедливо |
неравенство |
||||
p(x ) ≤ p(0) + |
p(x2 ) − p(0) |
x . Если вдобавок p(0)≤0, то p(x ) ≤ |
p(x2 ) |
x |
||||
|
|
|||||||
1 |
|
x2 |
1 |
|
1 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
x2 |
||
|
Игра сбалансирована, если для произвольного сбалансированного по- |
|||||||
крытия выполняется |
неравенство å δS p(å Ai ) ≤ p(å Ai ) . Положим |
|||||||
|
|
|
|
S N |
i S |
i N |
|
|
x1 = å Ai , x2 = å Ai |
и увеличим левую часть неравенства по приведенному |
|||||
i S |
i N |
|
|
|
|
|
|
|
|
å δS p(å Ai ) ≤ |
p(å Ai ) |
å δS å Ai . По |
|
выше свойству выпуклых функций: |
i N |
|||||
|
||||||
|
|
|
S N |
i S |
å Ai S N i S |
|
|
|
|
|
|
i N |
|
лемме 3 |
å δS å Ai = å Ai , а значит |
å δS p(å Ai ) ≤ p(å Ai ). |
||||
|
S N i S |
i N |
S N |
i S |
i N |
|
Доказательство теоремы 5. Проведем доказательство для m=1 (оно спра-
ведливо |
с |
минимальными изменениями и при m>1). |
Функция |
|
GS (y) = åHi (y) − c(y) = λS y − c(y), где λS = åλi , |
достигает |
максимума, |
||
|
i S |
i S |
|
|
равного |
GS , |
в точке yS, определяемой условием |
c'(yS ) = λS , то есть |
|
yS (λS ) = [c']−1 (λS ).
При фиксированной функции затрат характеристическая функция произвольной коалиции S зависит только от λS , то есть
21
(П15) v(S) = p(λS ) := λS [c']−1 (λS ) - c([c']−1 (λS )) .
p(0) = -c([c']−1(0)) £ 0 . Если вдобавок функция p(.) выпукла по λ, то, по лемме 4, игра сбалансирована. Условием выпуклости гладкой функции явля- ется неотрицательность ее второй производной. Функцию p(.) можно запи-
сать в |
виде сложной |
функции: p(λ) = g(y(λ)) = c'[y(λ)]y(λ) − c[y(λ)], где |
|||
y(λ) = [c']−1 (λ) . |
|
|
|
|
|
тогда |
p''(λ) = g''( y(λ))[y'(λ)]2 + g'( y(λ))y''(λ). |
Дифференцируя |
g(.) |
по y, |
|
имеем |
g'(y) = c''(y)y , |
g''(y) = c'''(y)y + c''(y). |
Дифференцируя |
y(.) |
по λ, |
имеем также y'(λ) = |
1 |
, y''(λ) = |
c'''(y(λ)) |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
c''(y(λ)) |
|
|
c''(y(λ))3 |
|
|
|
|||
|
Подставляя полученные функции в выражение для p'', имеем: |
|
||||||||||||
|
p''(λ) = {c'''[y(λ)]y(λ) + c''[y(λ)]} |
1 |
- c''[y(λ)]y(λ) |
c'''[ y(λ) |
|
= |
||||||||
c''[y(λ)]2 |
c''[y(λ)]3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
c''[y(λ)] |
= |
1 |
|
³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c''[y(λ)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
c''[y(λ)]2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
То есть, p(λ) выпукла, если c''[y(λ)] ³ 0 для всех λ, то есть затраты АЭ
выпуклы.
Доказательство теоремы 6. Для рассматриваемой игры характеристическая
функция v(S) = max[åHi (y) − c(y)]. Введем в рассмотрение игру с характе- |
|||||
y |
i S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
' |
' |
( yN ) y}- c( y)], |
ристической функцией v (S) = max[å{Hi ( yN ) - Hi |
( yN ) yN + Hi |
||||
|
|
y |
i S |
|
|
|
|
|
|
|
|
где yN находится из решения уравнения åHi '(yN ) = c'(yN ). Так как мы только
i N
увеличили функции под знаком максимума, очевидно, что v(S) ≤ v~(S) . Кроме того, для S=N эти функции достигают максимума в одной точке и их значения равны между собой, то есть v(N) = v~(N) . По известному свойству характеристических функций [2], из сбалансированности игры v~(S) следует сбалансированность игры v(S). Но из следствия 2 следует, что игра v~(S) сба- лансирована. Значит, сбалансирована и игра v(S).
22
Доказательство теоремы 7. vГ 2 (S) ≤ vГП (S) = GS S N , так как в случае vГ 2 (S) шире множество, по которому вычисляется гарантированный резуль-
тат (все равновесия Нэша, а не только оптимальные по Парето). vГ 2 (N) = GN . Значит, аналогично доказательству теоремы 6, из сбалансированности игры v(S) = GS следует сбалансированность игры vГ 2 (S) .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Бушуев С.Д., Морозов В.В. Динамическое лидерство в управлении проек- тами: Монография / Укр. асс. упр-я проектами. К., 1999.
2.Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971.
3.Новиков Д.А., Петраков С.Н. Курс теории активных систем. М.: СИН-
ТЕГ, 1999.
4.Новиков Д.А., Цветков А.В. Механизмы функционирования организаци- онных систем с распределенным контролем. М.: ИПУ РАН, 2001. – 118 с.
5.Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.
6.Бондарева О.Н. Некоторые применения методов линейного программиро- вания к теории кооперативных игр. // Проблемы кибернетики. Вып. 10.
М.: Физматгиз, 1963. – с. 119-140.
23