Статистика практикум - Т.В. Ивашина

Âслучае оценки тесноты связи между результативным

(Ó)и двумя факторными признаками (х1 è õ2) множественный коэффициент корреляции можно определить по формуле

где r — парные коэффициенты корреляции между признаками.

Проверка значимости коэффициента множественной корреляции осуществляется на основе F-критерия Фишера:

Гипотеза Н0 о незначимости коэффициента множественной корреляции (Н0 : R = 0) отвергается, если Fð > Fkp (a; v1 = 2;

v2= n – 3).

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: 0 > R < 1.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками x1 è õ2 при фиксированном значении других факторных признаков, т.е. когда влияние x3 исключается (в этом случае оценивается связь между х и х в "чистом виде").

12

Âслучае зависимости y от двух факторных признаков x1

èx2 коэффициент частной корреляции принимает вид:

5 1

где r — парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

В первом случае исключено влияние факторного признака x2, во втором — x1.

Задачи и упражнения

1. Установите направление и характер связи между че- тырьмя факторами по 15 банкам Японии, применив метод приведения параллельных данных:

2.По данным задачи 1 составьте линейное уравнение регрессии зависимости чистого дохода от величины суммарных активов 15 крупнейших банков Японии. Определите

параметры уравнения (а0 è à1). Проанализируйте полученные параметры.

3.Используя данные задачи 1 по крупнейшим банкам Японии, определите вид корреляционной зависимости между суммарными активами и объемом вложений акционеров. Постройте линейное уравнение регрессии, вычислите параметры

èрассчитайте коэффициент корреляции и корреляционное отношение. Сравните величину коэффициента корреляции и корреляционного отношения. Сформулируйте выводы.

4.По данным задачи 1 определите вид корреляционной зависимости между показателями суммарных активов и депозитами крупнейших банков Японии, найдите параметры уравнения регрессии, определите направление и тесноту связи.

5 2

5.Зависимость между объемом произведенной продукции

èбалансовой прибылью по 10 предприятиям одной из отраслей промышленности характеризуется следующими данными:

Определите вид корреляционной зависимости, постройте уравнение регрессии, рассчитайте параметры уравнения, вы- числите тесноту связи. Объясните полученные статистические характеристики.

6. По следующим данным постройте линейное уравнение регрессии, вычислите линейный коэффициент корреляции:

xy = 100, x = 10, y = 8, x 2 =136, y 2 = 100, a0 =4,8.

7.Используя следующие данные, определите параметры линейного уравнения (а0 è a1) регрессии: x = 20, y = 10, Ýx = 0,8.

8.По следующим данным постройте линейное уравнение регрессии, вычислите линейный коэффициент корреляции:

xy = 120, x = 10, y = 10, x 2 =149, y 2 = 125, Ýx =0,6.

9.Имея следующие данные, постройте линейное уравнение регрессии: a0 = 3,5, rxy = 0,85, sy2 = 36, sx2 = 49.

10.По следующим данным рассчитайте коэффициент корреляции и сформулируйте выводы:

Sõ = 70, Só = 50, Sõó = 320, Sõ2 = 500, Só2 = 500, n = 10.

11. Задание для самостоятельной работы. По приложению 1 выбрать номер своего варианта и с помощью корреля- ционно-регрессионного метода изучить взаимосвязь между указанными признаками. Сделать выводы и оформить отчет.

5 3

СТАТИСТИчЕСКОЕ ИЗУчЕНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИчЕСКИХ ŸВЛЕНИЙ

Методические указания

Это важный раздел курса теории статистики, так как в большинстве случаев задачей статистического исследования бывает анализ развития тех или иных явлений.

Виды рядов динамики. Показатели динамики. Начиная изучение темы, необходимо обратить внимание на классификацию рядов динамики, различия между ними, так как отнесение ряда динамики к тому или иному виду имеет важное зна- чение для их изучения. Выбор соответствующих приемов и способов анализа определяется характером исходных данных

èзависит от задач исследования.

Âзависимости от способа выражения уровней (в виде абсолютных, относительных и средних величин) ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин. В зависимости от того, выражают уровни ряда состояние явления на определенные моменты времени (на на- чало месяца, квартала, года и т.п.) или его величину за определенные интервалы времени (например, за сутки, месяц, год и т.п.), различают соответственно моментные и интервальные ряды. Ряды динамики могут быть с равноотстоящими (по времени) уровнями и неравноотстоящими (по времени) уровнями.

Одним из важнейших направлений анализа рядов динамики является изучение особенностей развития явления за отдельные периоды времени. Для выявления специфики развития изучаемых явлений за отдельные периоды времени определяют абсолютные и относительные показатели изменения ряда динамики: абсолютные приросты, абсолютное значение одного процента прироста, темпы роста и прироста. Выяснение сущности этих показателей, их взаимосвязей, методов рас- чета — необходимое условие усвоения данной темы.

Рассматривая данные показатели, необходимо правильно выбирать базу сравнения, которая зависит от цели исследования. При сравнении каждого уровня ряда с предыдущим получаются цепные показатели; при сравнении каждого уровня с одним и тем же уровнем (базой) получают базовые показатели.

Для выражения абсолютной скорости роста (снижения) уровня ряда динамики исчисляют статистический показатель — аб-

5 4

солютный прирост (Д). Его величина определяется как разность двух сравниваемых уровней. Она вычисляется по формуле

∆ ö = yi− yi − 1 , èëè ∆ á = yi− y0 ,

ãäå yi — уровень 1-го года; y0 — уровень базисного года. Интенсивность изменения уровней ряда динамики оцени-

вается отношением текущего уровня к предыдущему или базисному, которое всегда представляет собой положительное число. Этот показатель принято называть темпом роста (Тp). Он выражается в процентах, т.е.

Так, для 1997 г. темп роста по сравнению с 1993 г. соста-

âèë 1651 100 = 185,3% . 891

Темп роста может быть выражен и в виде коэффициента (Kp). В этом случае он показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше уровня базисного года или какую его часть он составляет.

Для выражения изменения величины абсолютного прироста уровней ряда динамики в относительных величинах определяется темп прироста (Тïð), который рассчитывается как отношение абсолютного прироста к предыдущему или базис-

Темп прироста может быть вычислен также путем вычи- тания из темпов роста 100%, т.е. Тïð=Tð — 100.

Показатель абсолютного значения одного процента прироста (|%|) определяется как результат деления абсолютного

Особое внимание следует уделять методам расчета средних показателей рядов динамики, которые являются обобщающей характеристикой его абсолютных уровней, абсолютной скорости и интенсивности изменения уровней ряда динамики. Различают следующие средние показатели: средний уровень

5 5

ряда динамики, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

Методы расчета среднего уровня ряда динамики зависят от его вида и способов получения статистических данных.

В интервальном ряду динамики с равноотстоящими уровнями во времени расчет среднего уровня ряда (у) производится по формуле средней арифметической простой:

где t — число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется.

Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается по формуле

где n — число уровней ряда.

Средняя хронологическая для разноотстоящих уровней моментного ряда динамики вычисляется по формуле

Определение среднего абсолютного прироста производит-

Среднегодовой темп роста вычисляется по формуле средней геометрической:

где m — число коэффициентов роста.

5 6

Среднегодовой темп прироста получим, вычтя из среднего темпа роста 100%.

Выявление основной тенденции ряда динамики. Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение основной тенденции развития.

При изучении в рядах динамики основной тенденции развития явления применяются различные приемы и методы. Одним из приемов выявления основной тенденции является метод укрупнения интервалов. Этот способ основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

Другой прием — метод скользящей средней. Суть метода состоит в замене абсолютных данных средними арифметическими за определенные периоды. Расчет средних ведется способом скольжения, т.е. постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включением следующего.

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом уровни ряда динамики выражаются в виде функ-

ции времени:

yt = f (t) .

Аналитическое выравнивание может быть осуществлено по любому рациональному многочлену. Выбор функции производится на основе анализа характера закономерностей динамики данного явления.

Рассмотрим применение метода аналитического выравнивания по прямой для выражения основной тенденции на следующем примере.

В таблице приведены исходные и расчетные данные о динамике производства молока в регионе за 1993-1997 гг.

Исходные и расчетные данные для определения параметров системы уравнения (млн. т.):

5 7

Äëÿ âûðàâнивания ряда динамики по прямой используем уравнение yt = a0 + a1t.

Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров a1 è a0:

aon + a1 ∑ t = ∑ y , ao ∑ t + a1 ∑ t2 = ∑ ty ,

где у — исходный уровень ряда динамики; n — число членов ряда; t — показатель времени.

В рядах динамики техника расчета параметров уравнения может быть упрощена. Для этой цели показателям времени t придают такие значения, чтобы их сумма была равна нулю, т.е. St=0 . В нашем примере число исходных уровней ряда нечетное (n=5) (табл. 10.3). При этом уравнения системы примут следующий вид:

При анализе рядов динамики важное значение имеет выявление сезонных колебаний. Этим колебаниям свойственны более или менее устойчивые изменения уровней ряда по внут- ригодо-вым периодам: месяцам, кварталам, Для выявления сезонных колебаний обычно анализируются месячные и квартальные уровни ряда динамики за год или за несколько лет. При изучении сезонных колебаний используются специальные показатели — индексы сезонности (Is). Способы определения индексов сезонности различны; они зависят от характера основной сезонности ряда динамики.

Для ряда внутригодовой динамики, в которой основная тенденция роста незначительна (или она не наблюдается совсем), изучение сезонности основано на методе постоянной средней: являющейся средней из всех рассматриваемых уровней. Самый простой способ заключается в следующем: для каждого года рассчитывается средний уровень, а затем с ним сопос-

5 8

тавляется (в процентах) уровень каждого месяца. Это процентное отношение обычно именуется индексом сезонности:

Is = yi 100% . y

При наличии ярко выраженной тенденции к увеличению или уменьшению уровней из года в год применимы другие способы измерения сезонных колебаний, в частности, индексы сезонности определяются на основе методов, которые позволяют исключить влияние тенденции роста (падения).

При использовании способа аналитического выравнивания ход вычислений следующий:

1)вычисляют для каждого месяца (квартала) выровненные уровни по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t;

2)берут отношение фактических месячных (квартальных)

данных (уi) к соответствующим им выровненным данным в процентах:

yi 100 = Ut ; y

3) находят среднюю из этих отношений для одноименных месяцев (кварталов) в процентах:

U i = U1 + U2 + U3 + ... + Un , n

где n — число одноименных месяцев;

4) из полученных 12 помесячных относительных величин

(Ui ) вычисляют общий среднемесячный уровень ( Ui),

5)определяют индексы сезонности по формуле

ãäå ói — исходные уровни ряда; уti — выравненные (теорети- ческие) уровни ряда; n — число годовых периодов.

5 9

Задачи и упражнения

1.Определите вид рядов динамики, характеризующих изменение следующих статистических показателей: а) численности населения (по состоянию на начало каждого года);

б) численности крестьянских (фермерских) хозяйств (по состоянию на начало каждого года); в) вкладов населения в учреждения Беларусбанка (на конец каждого года); г) числа родившихся по годам; д) денежных доходов и расходов населения по годам; е) индекса потребительских цен на товары и услуги населению (по месяцам за ряд лет); ж) распределения розничного товарооборота по всем каналам реализации по формам собственности по годам; з) среднемесячной заработной платы работников по отраслям экономики по годам; и) удельного веса новой товарной продукции машиностроения в общем объеме продукции по годам.

2.Списочная численность работников фирмы в 1997 г. составила (человек): на 1 января — 530, на 1 марта — 570, на 1 июня — 520, на 1 сентября — 430, а на 1 января 1998 г. —

450.Рассчитайте среднюю списочную численность работников фирмы за год.

3.Имеются следующие данные о вкладах населения в банк на первое число месяца, усл руб.

Рассчитайте среднюю списочную численность за год ко 2 задаче.

Определите средний размер вклада населения: а) за каждый квартал; б) за каждое полугодие; в) за год.

Примечания: а) средний размер вклада за каждое полугодие определите по вычисленным показателям среднего размера вклада по отдельным кварталам первого и второго полугодия и непосредственно с помощью формулы средней хронологической;

б) средний размер вклада за год определите по показателям среднего размера вклада за первое и второе полугодия и непосредственно по формуле средней хронологической.

4. Остатки вкладов населения в филиалах сбербанков в 1997 г. характеризуются следующими данными на 1-е число месяца, усл. руб.:

6 0