Задание 3
Анализируются три варианта накопления средств по схеме аннуитета пренумерандо.
Вариант 1: вносится вклад на депозит 22 500 руб. каждые полгода при условии, что банк начисляет 9% годовых с полугодовым начислением процентов.
Вариант 2: делается ежегодный вклад в размере 45 000 руб. на условиях 5% годовых при ежегодном начислении процентов.
Вариант 3: вносится вклад на депозит 11 250 руб. каждый квартал на условиях 6% годовых с квартальным начислением процентов.
Определите, какая сумма будет на счете при каждом варианте через n=5 лет?
Решение:
Аннуитет — общий термин, описывающий график погашения финансового инструмента (выплаты вознаграждения или уплаты части основного долга и процентов по нему), когда выплаты устанавливаются периодически равными суммами через равные промежутки времени. Аннуитетный график отличается от такого графика погашения, при котором выплата всей причитающейся суммы происходит в конце срока действия инструмента, или графика, при котором на периодической основе выплачиваются только проценты, а вся сумма основного долга подлежит к оплате в конце. Сумма аннуитетного платежа включает в себя основной долг и вознаграждение.
По времени выплаты первого аннуитетного платежа различают:
-
аннуитет постнумерандо — выплата осуществляется в конце первого периода,
-
аннуитет пренумерандо — выплата осуществляется в начале первого периода.
Для удобства оформим условия задачи в таблицу 2. Результаты вычислений также будем заносить в неё.
Таблица 2 — Условия задачи 3 и результаты вычислений
|
№ плана |
Аннуитетный платёж, руб. А |
Сколько раз в год вносим деньги, р |
Годовая процентная ставка, r |
Сколько раз в год начисляются проценты, m |
|
|
1 |
22 500 |
2 |
9 |
2 |
288 926,52 |
|
2 |
45 000 |
1 |
5 |
1 |
261 086,08 |
|
3 |
11 250 |
4 |
6 |
4 |
264 043,37 |
,
руб
Т.к. по условию p=m, используем простую формулу аннуитета пренумерандо
Видно, что наибольшая сумма будет, если использовать первый план.
Ответ: при использовании плана 1 — 288 926,52 руб.
при использовании плана 2 — 261 086,08 руб.
при использовании плана 3 — 264 043,37 руб.
Задание 4
Выдан кредит на 180 000 руб. на три года с помесячным начислением процентов под i=20% годовых. Начисление процентов осуществляется по формуле сложных процентов в конце каждого месяца (m=12).
Составить:
-
план погашения кредита равными частями (с помощью формулы аннуитета);
-
план погашения кредита равными частями основного долга.
Решение:
Погашение кредита равными частями аннуитетными платежами означает, что каждый месяц должник уплачивает фиксированную сумму денег, но соотношение тела долга и процентов в этой сумме различается по месяцам.
Определим аннуитетный платёж по формуле
A — ежемесячный аннуитетный платёж, руб.
i — годовая процентная ставка
m — количество начислений процентов в год
P — размер выданного кредита
M — срок кредита, мес.
Ежемесячно
начисляется процент в размере
График выплат аннуитетными платежами представлен в таблице 3. Размер платежа фиксирован. Сумма процентов определяется как процентная ставка * остаток основной суммы. Долг определяется как разность платежа и суммы процентов. Остаток основной суммы определяется как разность между остатком предыдущего месяца и погашенным долгом текущего месяца.
Для второго месяца:
сумма процентов = 0,016667 * 176 311 = 2 939 руб.
долг = 6 689 – 2 939 = 3 750 руб.
остаток основной суммы = 176 311 – 3 750 = 172 561 руб.
Таблица 3 — Погашение с помощью аннуитета
|
Месяц |
Остаток основной суммы, руб. |
Долг в месяц, руб. |
Сумма процентов, руб. |
Платёж, руб. |
|
0 |
180 000 |
|
|
|
|
1 |
176 311 |
3 689 |
3 000 |
6 689 |
|
2 |
172 561 |
3 750 |
2 939 |
6 689 |
|
3 |
168 748 |
3 813 |
2 876 |
6 689 |
|
4 |
164 871 |
3 877 |
2 812 |
6 689 |
|
5 |
160 930 |
3 941 |
2 748 |
6 689 |
|
6 |
156 923 |
4 007 |
2 682 |
6 689 |
|
7 |
152 849 |
4 074 |
2 615 |
6 689 |
|
8 |
148 708 |
4 142 |
2 547 |
6 689 |
|
9 |
144 497 |
4 211 |
2 478 |
6 689 |
|
10 |
140 217 |
4 281 |
2 408 |
6 689 |
|
11 |
135 865 |
4 352 |
2 337 |
6 689 |
|
12 |
131 440 |
4 425 |
2 264 |
6 689 |
|
13 |
126 942 |
4 498 |
2 191 |
6 689 |
|
14 |
122 368 |
4 573 |
2 116 |
6 689 |
|
15 |
117 719 |
4 650 |
2 039 |
6 689 |
|
16 |
112 992 |
4 727 |
1 962 |
6 689 |
|
17 |
108 186 |
4 806 |
1 883 |
6 689 |
|
18 |
103 300 |
4 886 |
1 803 |
6 689 |
|
19 |
98 333 |
4 967 |
1 722 |
6 689 |
|
20 |
93 283 |
5 050 |
1 639 |
6 689 |
|
21 |
88 147 |
5 135 |
1 555 |
6 690 |
|
22 |
82 926 |
5 221 |
1 469 |
6 690 |
|
23 |
77 619 |
5 308 |
1 382 |
6 690 |
|
24 |
72 222 |
5 396 |
1 294 |
6 690 |
|
25 |
66 736 |
5 486 |
1 204 |
6 690 |
|
26 |
61 158 |
5 578 |
1 112 |
6 690 |
|
27 |
55 487 |
5 671 |
1 019 |
6 690 |
|
28 |
49 722 |
5 765 |
925 |
6 690 |
|
29 |
43 861 |
5 861 |
829 |
6 690 |
|
30 |
37 902 |
5 959 |
731 |
6 690 |
|
31 |
31 844 |
6 058 |
632 |
6 690 |
|
32 |
25 684 |
6 159 |
531 |
6 690 |
|
33 |
19 423 |
6 262 |
428 |
6 690 |
|
34 |
13 056 |
6 366 |
324 |
6 690 |
|
35 |
6 584 |
6 472 |
218 |
6 690 |
|
36 |
4 |
6 580 |
110 |
6 690 |
|
Итого: |
179 996 |
60 824 |
240 820 |
|
|
|
240 820 |
|
||
Итоговая сумма долга в месяц и суммы процентов сошлась с суммой платежей, значит, расчёт выполнен верно.
Погашение кредита равными частями основного долга означает, что каждый месяц в уплачиваемой сумме одна и та же сумма основного долга, а начисленные проценты различаются. Используются сложные проценты, т.е. проценты начисляются на начальную сумму кредита и начисленные проценты.
Ежемесячная сумма основного долга: 180 000 руб./ 36 месяцев = 5 000 руб.
Ежемесячная
процентная ставка та же —
План погашения кредита равными частями основного долга представлен в таблице 4. Размер долга фиксирован. Сумма процентов равна процентной ставке, умноженной на фиксированный размер основного долга (180 000 руб.) и сумму начисленных процентов. Платеж равен сумме долга и процентов. Остаток основной суммы равен разности остатка предыдущего месяца и долгу текущего месяца.
Для третьего месяца:
долг фиксирован — 5 000 руб.
сумма процентов = 0,016667 * (180 000 + 3 000 + 3 050) = 3 102 руб.
платёж = 5 000 + 3 102 = 8 102 руб.
остаток основной суммы = 170 000 – 5 000 = 165 000 руб.
Таблица 4 — Погашение кредита равными частями основного долга
|
|
Остаток основной суммы, руб. |
Долг в месяц, руб. |
Сумма процентов, руб. |
Платеж, руб. |
|
|
0 |
180 000 |
|
|
|
|
|
1 |
175 000 |
5 000 |
3 000 |
8 000 |
|
|
2 |
170 000 |
5 000 |
3 050 |
8 050 |
|
|
3 |
165 000 |
5 000 |
3 102 |
8 102 |
|
|
4 |
160 000 |
5 000 |
3 155 |
8 155 |
|
|
5 |
155 000 |
5 000 |
3 210 |
8 210 |
|
|
6 |
150 000 |
5 000 |
3 268 |
8 268 |
|
|
7 |
145 000 |
5 000 |
3 327 |
8 327 |
|
|
8 |
140 000 |
5 000 |
3 388 |
8 388 |
|
|
9 |
135 000 |
5 000 |
3 452 |
8 452 |
|
|
10 |
130 000 |
5 000 |
3 518 |
8 518 |
|
|
11 |
125 000 |
5 000 |
3 586 |
8 586 |
|
|
12 |
120 000 |
5 000 |
3 657 |
8 657 |
|
|
13 |
115 000 |
5 000 |
3 731 |
8 731 |
|
|
14 |
110 000 |
5 000 |
3 808 |
8 808 |
|
|
15 |
105 000 |
5 000 |
3 889 |
8 889 |
|
|
16 |
100 000 |
5 000 |
3 972 |
8 972 |
|
|
17 |
95 000 |
5 000 |
4 059 |
9 059 |
|
|
18 |
90 000 |
5 000 |
4 150 |
9 150 |
|
|
19 |
85 000 |
5 000 |
4 245 |
9 245 |
|
|
20 |
80 000 |
5 000 |
4 344 |
9 344 |
|
|
21 |
75 000 |
5 000 |
4 448 |
9 448 |
|
|
22 |
70 000 |
5 000 |
4 557 |
9 557 |
|
|
23 |
65 000 |
5 000 |
4 671 |
9 671 |
|
|
24 |
60 000 |
5 000 |
4 790 |
9 790 |
|
|
25 |
55 000 |
5 000 |
4 916 |
9 916 |
|
|
26 |
50 000 |
5 000 |
5 048 |
10 048 |
|
|
27 |
45 000 |
5 000 |
5 188 |
10 188 |
|
|
28 |
40 000 |
5 000 |
5 334 |
10 334 |
|
|
29 |
35 000 |
5 000 |
5 489 |
10 489 |
|
|
30 |
30 000 |
5 000 |
5 653 |
10 653 |
|
|
31 |
25 000 |
5 000 |
5 827 |
10 827 |
|
|
32 |
20 000 |
5 000 |
6 010 |
11 010 |
|
|
33 |
15 000 |
5 000 |
6 206 |
11 206 |
|
|
34 |
10 000 |
5 000 |
6 413 |
11 413 |
|
|
35 |
5 000 |
5 000 |
6 634 |
11 634 |
|
|
36 |
0 |
5 000 |
6 870 |
11 870 |
|
|
Итого: |
180 000 |
159 967 |
339 967 |
||
|
|
339 967 |
|
|||
Итоговая сумма долга в месяц и суммы процентов сошлась с суммой платежей, значит, расчёт выполнен верно.
Ответ: планы погашения кредита представлены в таблицах 3 и 4.