III. Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня

_{Пример: Рассмотрим неоднородное уравнение y}_4y_{4y f (x).}

_{Для соответствующего однородного уравнения y}_4y_{4y 0 составим характеристическое} уравнение ² 44 0 и найдем его корни: _1,2 2

Получены кратные (совпавшие) действительные корни.





y



y



y

~

y



y

~

~

Правая часть f (x)

В каком виде нужно искать частное решение ^~

Неоднородного уравнения?

f (x) – ненулевая константа

или многочлен

Подбор частного решения следует осуществлять «штатным» способом точно так же, как в примерах №№1-4

24. f (x) 5e^x

25. f (x) 2e^2x

26. f (x) (5x 1)e^2x

Коэффициент в показателе экспоненты: не совпадает с кратным корнем характеристического уравнения _1,2 2

^~ Ae^x

Коэффициент в показателе экспоненты: совпал с кратным корнем характеристического уравнения _1,2 2. Поэтому очевидный подбор ^~ Ae^2x следует домножить на x² :

y x² Ae^2x и искать частное решение в виде: ^~ Ax²e^2x

Коэффициент в показателе экспоненты: совпал с кратным корнем характеристического уравнения _1,2 2. Поэтому «штатный» подбор ^~ (Ax B)e^2x следует домножить на x² :

y x² (Ax B)e^2x , то есть искать частное решение в виде:

y (Ax³ Bx²)e^2x

Если правая часть f (x) имеет вид из примеров №№9-17, то подбор осуществляется обычным образом – см. раздел I.

© http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!

Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта

Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html Автор: Емелин А.

IV. Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни: 1,2 I , причём 0, 0

_{Пример: Рассмотрим неоднородное уравнение y}_6y_{10y f (x).}

_{Для соответствующего однородного уравнения y}_6y_{10y 0 составим характеристическое} уравнение ² 610 0 и найдем его корни: _1,2 3i

Получены сопряженные комплексные корни с ненулевой действительной частью . В каком виде нужно искать частное решение y

Неоднородного уравнения?

Подбор частного решения осуществляется очевидным образом (см. примеры №№1-6, №№9-14) за исключением следующих видов правой части:

Проще всего объяснить так, берём правую часть и составляем сопряженные комплексные числа:

27. f (x) 2e^3x sin2x

Полученные сопряженные комплексные числа 32i не совпадают с корнями характеристического уравнения

_1,2 3i , поэтому частное решение следует искать в обычном

виде: y e^3x (Acos2x Вsin2x)

Составляем сопряженные комплексные числа:

28. f (x) 2e^3x cosx _{Составленные сопряженные комплексные числа 3i совпали} с корнями характеристического уравнения _1,2 3i , поэтому

«обычный» подбор частного решения следует домножить на «икс»: y xe^3x (Acosx Bsin x) или:

y e^3x (Axcosx Вxsin x)

29. f (x) e^x (5cosx 3sin x) _{Составленные сопряженные комплексные числа 1i не} совпадают с корнями характеристического уравнения

_1,2 3i , поэтому частное решение ищем в виде: ^~ e^x (Acosx Вsin x)

30. f (x) e^3x (cosx 2sin x) _{Составленные сопряженные комплексные числа 3i совпали} с корнями _1,2 3i , поэтому:

y xe^3x (Acosx Bsin x) e^3x (Axcosx Вxsin x)

© http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!