Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html Автор: Емелин А.

В каком виде искать частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

_{с постоянными коэффициентами y}_py_{qy f (x)?}

После долгих раздумий я принял решение создать отдельную справочную таблицу для подбора частного решения неоднородного ДУ. В методический материал сведены практически все типовые ситуации, которые могут встретиться на практике, кроме того, приведены случаи подбора частного решения для уравнений повышенной сложности.

Как всегда объяснения ведутся на конкретных примерах с минимумом формул и параметров. Обязательно прочитайте выводы на последней странице!!!

I. Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, отличных от нуля.

_{Пример: Рассмотрим неоднородное уравнение y}_y_{2y f (x)}

_{Для соответствующего однородного уравнения y}_y_{2y 0 составим характеристическое} уравнение ² 2 0 и найдём его корни: ₁ 2, ₂ 1

Итак, получены различные действительные корни, среди которых нет нуля.



y

y

y

y

~

~



~



~



~

2

~

~

Правая часть f (x)

1. f (x) 4 (или другая

ненулевая константа) 2. f (x) 3x 1

В каком виде нужно искать частное решение ^~ неоднородного уравнения?

^~ A

^~ Ax B

3. f (x) x² x

4. f (x) 4x³ 3x² 1

^~ Ax² Bx C

y Ax³ Bx² Cx D

Примечание: Обратите внимание, что когда в правой части f (x) находится неполный многочлен, то частное решение подбирается без пропусков степеней, пример: f (x) 5x

Это многочлен первой степени, и в нём отсутствует константа. Однако при подборе частного решения константу пропускать нельзя, то есть частное решение необходимо искать в виде

y Ax B

5. f (x) 2e^3x

6. f (x) (2x 3)e^x

7. f (x) ^x e^2x

Коэффициент в показателе экспоненты: не совпадает с корнем характеристического уравнения ₁ 2 или ₂ 1

Подбор выполняем очевидным образом: y Ae^3x

Коэффициент в показателе экспоненты: не совпадает с корнем характеристического уравнения ₁ 2 или ₂ 1

Подбор выполняем очевидным образом: y (Ax B)e^x

Коэффициент в показателе экспоненты: совпал с корнем характеристического уравнения ₁ 2. В подобной ситуации «штатный» подбор y (Ax B)e^2x нужно домножить на «икс»:

y x(Ax B)e^2x , то есть, искать частное решение в виде:

y (Ax² Bx)e^2x

© http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!

Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта

Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html Автор: Емелин А.

~

y

y

~

y

y

y

y

~

y

2

2

2

~

~

~

3

~



8. f (x) e^x

Коэффициент в показателе экспоненты: совпал с корнем характеристического уравнения ₂ 1. Аналогично: «штатный» подбор ^~ Ae^x домножаем на «икс»: y xAe^x , то есть ищем

частное решение в виде: ^~ Axe^x

Примечание: Обратите внимание, что опять же в случае неполных многочленов степени не теряются, например, если f (x) 7x²e^5x (в многочлене отсутствует «икс» в первой степени и константа), то частное решение следует искать в виде y (Ax² Bx C)e^5x .

Если f (x) (1x²)e^2x (в многочлене отсутствует «икс» в первой степени), то частное решение ищем в виде ^~ x(Ax² Bx C)e^2x (Ax³ Bx² Cx)e^2x

9. f (x) sin x ^~ Acosx Bsin x 10. f (x) 3cos2x ^~ Acos2x Bsin2x 11. f (x) 2cos3x 4sin3x ^~ Acos3x Bsin3x

Примечание: В подборе частного решения всегда должен присутствовать и синус и косинус (даже если в правую часть f (x) входит только синус или только косинус).

Редко, но встречаются следующие похожие случаи:

12. f (x) xsin5x y (Ax B)cos5x (Cx D)sin5x

13. f (x) (x 1)cos ^x

14. f (x) xcosx 2sin x

^~ (Ax B)cos ^x (Cx D)sin ^x

y (Ax B)cosx (Cx D)sin x

И заключительные примеры, здесь тоже всё прозрачно: 15. f (x) 2e^x sin2x y e^x (Acos2x Вsin2x)

_{16. f (x) }1_{e3x sin x}

17. f (x) e^2x (5sin3x cos3x)

y e^3x (Acosx Вsin x)

y e^2x (Acos3x Вsin3x)

Примечание: в примерах 15-17 хоть и есть экспонента, но корни характеристического уравнения ₁ 2, ₂ 1 нас уже совершенно не волнуют – подбор частного решения идёт штатным образом

без всяких домножений на «икс».

© http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!

Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта

Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html Автор: Емелин А.