3

Рис. 1

.51.

Дано

= 20 пКл/м = 8 см = 12 см

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок, на якому вертикально зображена нескінченно довга заряджена нитка з лінійною густиною заряду τ.

Різницю потенціалів U двох точок поля, що відстоять від нитки на відстані r₁ і r₂,

можна визначити через напруженість в заданих точках за формулою:

.

Напруженість електричного поля утвореного нескінченно довгою зарядженою ниткою визначається за формулою (18.18, в):

,

де = ………..

Якщо виконати інтегрування, отримаємо

.

Зробимо підстановку заданих величин у системі СІ:

=

3

.52.

Дано

= 200 пКл/м

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок, на якому зображений елемент нижньої сторони рамки, заряд якого можна вважати точковим. Для точкового заряду маємо формулу потенціалу поля (18.29). Застосуємо цю формулу:

, (1)

де - ………., - відстань від точки, в якій визначається потенціал, до елемента .

З малюнка видно, що

. (2)

Диференціюємо цей вираз

. (3)

А відстань визначаємо з трикутника:

. (4)

Підставляємо вирази (3) і (4) у вираз (1)

. (5)

Інтегруючі вираз (5) в межах від до , отримаємо потенціал, який створює одна сторона квадрата

. (6)

В силу симетрії точки відносно кінців сторони, маємо

. (7)

Так як

. Див. табл.. 27.

Тоді для всіх сторін отримаємо

.

Підставляємо границі інтегрування і числові значення:

=

Рис. 1

3.53.

Дано

= 30 нКл/м2

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок, на якому зображені дві концентричні сфери радіусом R і 2R, по поверхні яких рівномірно розподілені заряди з поверхневою густиною σ₁ і σ₂.

Застосуємо теорему Гауса до вектора напруженості електричного поля:

1. Для

(1)

2. Для

. (2)

3. Для

. (3)

4. Для , але з внутрішньої сторони другої сфери

. (4)

5. Для , але з зовнішньої сторони другої сфери

. (5)

6

Рис. 2

. Для

. (6)

Будуємо графік залежності Е(r), використовуючи отримані вирази:

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3

.54.

Дано

= 0,1 мкКл/м2

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок, на якому зображені дві концентричні сфери радіусом R і 2R, по поверхні яких рівномірно розподілені заряди з поверхневою густиною σ₁ і σ₂, та точка А, в якій визначатимемо напруженість електричного поля.

Вивчаємо розв’язок попередньої задачі і вибираємо формулу (6):

Зробимо підстановку заданих величин у системі СІ:

=

3.55.

Дано

= 4 = 10 В

= ?

Розв’язок.

Під час злиття краплин в одну сталими залишаються їхні загальні заряд та об’єм:

(1)

де - заряд великої краплі; , , - заряд, ємність і радіус малої краплі; - радіус великої краплі.

Потенціал великої краплі знаходимо за формулою

. (2)

Зробимо підстановку заданих величин: =

3.56.

Дано

σ1 = 2 мкКл/м2 σ2 = - 0,8 мкКл/м2 = 0,6 см

= ?

Розв’язок.

Електростатичне поле між двома різнойменно зарядженими паралельними нескінченними площинами:

. (1)

Для однорідного поля (поля плоского конденсатора) напруженість

, (2)

де U — різниця потенціалів між пластинами конденсатора; d — відстань між ними.

З формул (1) і (2) отримаємо:

Зробимо підстановку заданих величин: =

3.57.

Дано

σ1 = 2σ σ2 = - σ σ = 20 нКл/м2

= ?, = ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок:

Електростатичне поле поза двома різнойменно зарядженими паралельними нескінченними площинами дорівнює:

. (1)

Зробимо підстановку заданих величин у системі СІ: =

=

3.58.

Дано

= 10 нКл/м2 а = 10 см

= ?,

Розв’язок.

Зробимо малюнок:

Зв’язок між напруженістю та потенціалом поля:

. (1)

Звідки різниця потенціалів двох точок поля дорівнює

, (2)

де - відстань від точки поля до площини.

Електростатичне поле рівномірно зарядженої нескінченної площини дорівнює:

. (3)

Підставимо (3) у (2) і виконаємо інтегрування

Зробимо підстановку заданих величин у системі СІ: =

Рис. 1

3.59.

Дано

σ1 = - 2σ = 50 нКл/м2

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок, на якому зображені два коаксіальних нескінченних циліндра радіусом R і 2R, по поверхні яких рівномірно розподілені заряди з поверхневою густиною σ₁ і σ₂.

Застосуємо теорему Гауса до вектора напруженості електричного поля, тоді її записують так:

1. Для

(1)

2. Для

. (2)

3. Для

. (3)

4. Для , але з внутрішньої сторони другого циліндра

. (4)

5. Для , але з зовнішньої сторони другого циліндра

. (5)

6

Рис. 2

. Для отримаємо такий же результат.

Будуємо графік залежності Е(r) (див. рис. 2), використовуючи отримані вирази (1) - (5).

=

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3.60.

Дано

σ1 = σ = 60 нКл/м2

= ?

Рис. 1

Розв’язок.

Зробимо малюнок, на якому зображені два коаксіальних нескінченних циліндра радіусом R і 2R, по поверхні яких рівномірно розподілені заряди з поверхневою густиною σ₁ і σ₂.

Застосуємо теорему Гауса до вектора напруженості електричного поля, тоді для даного випадку її записують так:

1. Для

(1)

2. Для

. (2)

3. Для

. (3)

4. Для , але з внутрішньої сторони другого циліндра

. (4)

5. Для , але з зовнішньої сторони другого циліндра

. (5)

4

Рис. 2

. Для

. (6)

Будуємо графік залежності Е(r) (див. рис. 2), використовуючи отримані вирази (1) - (5).

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (6):

=

3.61.

Дано

V = 8 Мм/с

= ?

Розв’язок.

Електричне поле перемішуючі електричний заряд виконує роботу:

, (1)

де - заряд електрона, який дорівнює ………

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії цього заряду:

, (2)

де - маса електрона, яка дорівнює ……..

Вважаючи початкову швидкість електрона рівною нулю, порівняємо рівняння (1) та (2) і отримаємо розрахункову формулу:

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3.62.

Дано

= 40 мг q = 1 нКл V = 10 см/с q0 = 1,33 нКл

= ?

Розв’язок.

Будемо вважати, що позитивний точковий заряд q₀ створює електричне поле, в якому рухається кулька втрачаючи свою кінетичну енергію, тобто електричне поле, гальмуючі кульку, виконує роботу:

. (1)

Різниця потенціалів поля, створеного зарядом кульки, дорівнює

, (2)

де - коефіцієнт пропорційності, який дорівнює м/Ф; а .

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії цього заряду:

, (3)

вважаючи кінцеву швидкість кульки рівною нулю( = 0), порівняємо рівняння (1) та (3) і отримаємо розрахункову формулу:

. (4)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (4):

=

3.63.

Дано

= 9,1∙10-31 кг q = 1,6-10-19 Кл V = 106 м/с

= ?

Розв’язок.

Будемо вважати, що один електрон створює електричне поле, в якому рухається другий з початковою швидкістю втрачаючи свою кінетичну енергію, тобто електричне поле, гальмуючі електрон, виконує роботу:

. (1)

Різниця потенціалів поля, створеного зарядом першого електрон, дорівнює

, (2)

де - коефіцієнт пропорційності, який дорівнює м/Ф; а .

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії електрона:

, (3)

вважаючи кінцеву швидкість електрона рівною нулю( = 0), порівняємо рівняння (1) та (3) і отримаємо розрахункову формулу:

. (4)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (4):

=

3.64.

Дано

q1 = 6,66 нКл q2 = 13,33 нКл q = 1,6-10-19 Кл d = 40 см D = 25 см

А = ?

Розв’язок.

Будемо вважати, що одна кулька створює електричне поле, в якому рухатиметься друга, тоді виконана робота дорівнює:

. (1)

Різниця потенціалів поля, створеного зарядом першої кульки, дорівнює

, (2)

де - коефіцієнт пропорційності, який дорівнює м/Ф; а .

Тоді робота дорівнює:

, (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

А =

3.65.

Дано

q = 20 нКл d = 1 см = 1 см σ = 10 мкКл/м2

А = ?

Розв’язок.

З

робимо малюнок:

Потенціал у даній точці електричного поля

. (1)

де - робота по переміщенню пробного заряду із нескінченності у дану точку полю; - заряд, який переміщають.

З формули (1) робота, яка здійснюється при перенесенні точкового заряду q, дорівнює:

. (2)

Потенціал кулі в точці А знаходимо по формулі для точкового заряду:

, (3)

де - заряд кулі, - відстань від центра кулі, куди ми умовно поміщаємо її заряд, до т. А.

Тоді робота дорівнює:

. (4)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (4):

А =

3.66.

Дано

= 1 г q = 10 нКл φ1 = 600 В φ2 = 0 V2 = 20 см/с

= ?

Розв’язок.

Будемо вважати, що куля рухається з початковою швидкістю , при цьому збільшує свою кінетичну енергію, тобто електричне поле виконує роботу:

, (1)

де - різниця потенціалів

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії кулі:

, (2)

З рівнянь (1) та (2) отримаємо

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3.67.

Дано

d1 = 4 см q = 0,66 нКл d2 = 2 см А = 5 10-6 Дж

= ?

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу проти змінної сили:

, (1)

де - різниця потенціалів двох точок поля, яку визначаємо за формулою:

, (2)

де напруженість поля, яке створює заряджена нитка в точці простору дорівнює

. (3)

Підставимо вираз (3) у формулу (2) і виконавши інтегрування отримаємо

. (4)

Тоді робота дорівнюватиме:

, (5)

З рівняння (5) отримаємо формулу для розрахунку лінійної густини заряду на нитці:

. (6)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (6):

=

3.68.

Дано

L1 = 1 см L2 = 4 см q = 3,2∙10-19 Кл V1 = 2 105 м/с V2 = 3 106 м/с

= ?

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу проти змінної сили:

, (1)

де - різниця потенціалів двох точок поля, яку визначаємо за формулою:

, (2)

де напруженість поля, яке створює заряджена нитка в точці простору дорівнює

. (3)

Підставимо вираз (3) у формулу (2) і виконавши інтегрування отримаємо

. (4)

Тоді робота дорівнюватиме:

, (5)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії кулі:

, (6)

де - маса -частинки.

З рівнянь (5) та (6) отримаємо

. (7)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (7):

=

3.69.

Дано

τ = 0,2 мкКл/м L1 = 1 см L2 = 0,5 см q = - 1,6∙10-19 Кл V1 = 0

V2 = ?

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу проти змінної сили:

, (1)

де - різниця потенціалів двох точок поля, яку визначаємо за формулою:

, (2)

де напруженість поля, яке створює заряджена нитка в точці простору, дорівнює

. (3)

Підставимо вираз (3) у формулу (2) і виконавши інтегрування отримаємо

. (4)

Тоді робота дорівнюватиме:

, (5)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

, де - маса електрона. (6)

З рівнянь (5) та (6) отримаємо

. (7)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (7):

V₂ =

3.70.

Дано

q = 0,66 нКл d = 2 см А = 5 10-6 Дж

= ?

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу проти змінної сили:

, (1)

де - різниця потенціалів двох точок поля, яку визначаємо за формулою:

, (2)

де напруженість поля, яке створює заряджена нескінченна площина в точці простору, дорівнює

. (3)

Підставимо вираз (3) у формулу (2) і виконавши інтегрування отримаємо

. (4)

Тоді робота дорівнюватиме:

, (5)

З рівнянь (5) отримаємо

. (6)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (6):

=

3.71.

Дано

d = 4 см = = = =

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок:

Вважаючи поле в конденсаторі однорідним, запишемо шлях, який пройдуть частинки до зустрічі, рухаючись з постійним прискоренням без початкової швидкості:

(1)

З відношення рівнянь цієї системи отримаємо

. (2)

Розв’язуємо останнє рівняння відносно :

= (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3.72.

Дано

d = 1 см = = = =

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок:

Вважаючи поле в конденсаторі однорідним, запишемо шлях, який пройдуть частинки до зустрічі, рухаючись з постійним прискоренням без початкової швидкості:

(1)

З відношення рівнянь цієї системи отримаємо

. (2)

Розв’язуємо останнє рівняння відносно :

= (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3

Дано

d = 5,3 мм = = V = 108 м/с

= ? = ?

.73.

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу по переміщенні електрона:

, (1)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

, де - маса електрона, а = 0 (2)

З рівнянь (1) і (2) отримаємо

. (3)

Напруженість поля в конденсаторі визначається формулою:

. (4)

З (4) визначаємо поверхневу густину заряду на пластинах конденсатора

. (5)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вирази (3) і (5):

=

=

3.74.

Дано

d = 2 см U = 120 В = = h = 3 мм

= ?

Розв’язок.

Однорідне електричне поле виконує роботу по переміщенні електрона:

, (1)

де напруженість поля в конденсаторі пов’язана з різницею потенціалів на його пластинах рівнянням:

. (2)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

, (3)

де - маса електрона, а = 0.

З рівнянь (1), (2) і (3) отримаємо

. (4)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (4):

=

3.75.

Дано

V0 = 9 106 м/с d = 1 см U = 100 В = = = 10 нс

= ? = ? = ?

Розв’язок.

З

робимо малюнок:

Повне прискорення електрона визначаємо з формули закону Ньютона:

. (1)

Вертикальну складову швидкості електрона знаходимо з формули:

. (2)

Повна швидкість електрона дорівнює

. (3)

Тоді тангенціальне прискорення знаходимо за формулою:

. (4)

Тоді нормальне прискорення знаходимо за формулою:

. (5)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вирази (1), (4) і (5): =

=

=

3.76.

Дано

V0 = 9 106 м/с Е = 10 кВ/м = 5 см = =

= ?

Розв’язок.

З

робимо малюнок:

Вертикальну складову швидкості електрона знаходимо з формули:

. (1)

Повна швидкість електрона дорівнює

. (2)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (2):

=

3.77.

Дано

φ = 300 В Q = 0,2 мкКл

А = ?

Розв’язок.

З

Рис. 1

робимо малюнок:

Електричне поле виконує роботу по переміщенні заряду:

, (1)

Різницю потенціалів поля, яке створюється кулею, визначаємо за формулою:

, (2)

де = 2 , а = 4 ; - заряд кулі.

Тоді робота дорівнює

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

А =

3.78.

Дано

р = 100 пКл∙м Е = 200 кв/м α = 180°

А = ?

Розв’язок.

З

робимо малюнок:

Елементарна робота під час повороту диполя на кут виражається формулою

, (1)

де - механічний момент пари сил Кулона.

Повна робота при повороті від 0 до кута

. (2)

Виконавши інтегрування, отримаємо

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

А =

3.79.

Дано

m = 200 мкг Q = 40 нКл = 200 В V2 = 10 м/с

= ?

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу по переміщенню порошини:

, (1)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

. (2)

Початкову швидкість порошини визначаємо з рівнянь (1) і (2):

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3. 80.

Дано

Q1 = 2 мкКл Q2 = - 2 мкКл = 10 см Q = 0,5 мкКл

= ?

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу проти змінної сили:

, (1)

де - різниця потенціалів двох точок поля, які визначаємо за формулами:

. (2)

Вирази (2) підставляємо в(1)

. (3)

Підставимо вираз (3) у формулу (1) і зробимо підстановку заданих величин у системі СІ в отриманий вираз:

=

=

3

Дано

Т = 10 еВ U = 8 В = =

= ?

.81.

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу по переміщенні електрона:

, (1)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

, (2)

де - маса електрона; - заряд електрона.

З рівнянь (1) і (2) отримаємо

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3.82.

Дано

V = 105 м/с d = 8 мм U = 120 В = =

= ?, = ?

Розв’язок.

Однорідне електричне поле виконує роботу по переміщенні електрона:

. (1)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

, (2)

де - маса електрона, а = 0.

З рівнянь (1) і (2) отримаємо

. (3)

Напруженість поля в конденсаторі пов’язана з різницею потенціалів на його пластинах рівнянням:

. (4)

З теореми Гауса випливає, що напруженість поля між двома різнойменно зарядженими паралельними нескінченними площинами:

. (5)

З рівнянь (4) і (5) отримаємо

. (6)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вирази (3) і (6):

=

=

3.83.

Дано

m = 5 нг = 10 = 1 MB = =

= ?, = ?

Розв’язок.

Електричне поле виконує роботу по переміщенню порошини:

. (1)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

. (2)

З рівнянь (1) і (2) отримаємо зміну кінетичної енергії порошини:

, (3)

а також швидкість V, яку набула порошина

. (4)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ в вирази (3) і (4):

=

=

3.84.

Дано

m = 5 нг = 10 φ1 = 400 В = =

= ?

Розв’язок.

З

Рис. 3.84

робимо малюнок:

Електричне поле виконує роботу по гальмуванню протона:

, (1)

де різниця потенціалів дорівнює

. (2)

Потенціал точки поля , створеного металевою кулею дорівнює

, (3)

де - заряд кулі, який дорівнює

. (4)

Підставляємо вираз (4) у (3)

,

а отримане значення формулу (2):

. (5)

Робота, що визначається формулою (1), йде на зменшення кінетичної енергії протона до нуля:

. (6)

З рівнянь (1) і (6) отримаємо мінімальну швидкість, яку повинен мати протон, щоб він міг досягти поверхні зарядженої кулі:

. (7)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ в вираз (7):

=

3.85.

Дано

Е = 200 В/м V0 = 2 Мм/с = =

= ?,

Розв’язок.

Однорідне електричне поле виконує роботу по гальмуванню електрона:

. (1)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

, (2)

де - маса електрона.

З рівнянь (1) і (2) отримаємо

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3.86.

Дано

φ1 = 100 В V1 = 6 Мм/с = =

= ?,

Розв’язок.

Однорідне електричне поле виконує роботу по гальмуванню електрона:

. (1)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

, (2)

де - маса електрона.

З рівнянь (1) і (2) отримаємо

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3. 87.

Дано

Q1 = 6 нКл Q2 = 3 нКл Q2 = - 2 мкКл = 60 см = 0,5

= ?

Розв’язок.

Будемо вважати, що перший заряд створює електричне поле, в якому рухається другий заряд, тобто електричне поле виконує роботу:

. (1)

Різниця потенціалів поля, створеного першим зарядом, дорівнює

, (2)

де - коефіцієнт пропорційності, який дорівнює м/Ф; а .

Підставимо вираз (2) у формулу (1) і зробимо підстановку заданих величин у системі СІ в отриманий вираз:

=

=

3.88.

Розв’язок.

Дано

τ = 10 нКл/м Т1 = 200 еВ =

= ?,

Зробимо малюнок:

Електричне поле виконує роботу по переміщенню електрона:

. (1)

Зв’язок між напруженістю та потенціалом поля:

. (2)

Звідки різниця потенціалів двох точок поля дорівнює

. (3)

Теорему Гауса можна застосувати і до вектора напруженості електричного поля, тоді ЇЇ для нескінченно довгої зарядженої нитки записують так:

. (4)

З виразу (4) отримаємо

. (5)

Підставляємо вираз (5) у вираз (3) і інтегрування:

. (6)

Ця робота йде на зміну кінетичної енергії:

, (7)

З рівнянь (1), (6) і (7) отримаємо

. (8)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (8):

=

3.89.

Дано

V0 = 3 Мм/с Е = 150 В/м = 0,1 мкс = =

= ?, = ?

Розв’язок.

Завдяки силі Кулона, яка перпендикулярна до швидкості електрона, він рухатиметься по колу з постійною швидкістю і нормальним прискоренням, яке можна визначити із другого закону Ньютона:

, (1)

звідки

. (2)

Швидкість знаходимо згідно з формулою:

. (3)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вирази (2) і (3):

=

=

3.90.

Дано

U = 90 В = 60 см2 = 1 нКл

= ?,

Розв’язок.

Ємність плоского конденсатора дорівнює

. (1)

З визначення ємності маємо

. (2)

Завдяки силі Кулона, яка перпендикулярна до швидкості електрона, він рухатиметься по колу з постійною швидкістю і нормальним прискоренням, яке можна визначити із другого закону Ньютона:

, (3)

звідки

. (4)

Для одержання відповіді, прирівняємо праві частини рівнянь (1) і (2), визначимо з цього виразу відстань між пластинами конденсатора і зробимо підстановку заданих величин у системі СІ в отриманий вираз: =

=

3.91.

Дано

S = 0,01 м2 d = 5 мм U0 = 300 В

U = ?,

Розв’язок.

Ємність плоского конденсатора повітряного і з заповненням ебонітом дорівнює

. (1)

З (1) визначаємо різницю потенціалів, яка при цьому встановиться між пластинами

. (2)

Робимо розрахунок: U =

3.92.

Дано

ε = 3,2 r = 1 см R = 3,0 см.

С1 = ?,

Розв’язок.

Ємність конденсатора дорівнює

. (1)

Різниця потенціалів двох точок поля дорівнює

. (2)

Модуль напруженості поля, створеного нескінченно довгого прямого рівномірно зарядженого циліндра:

. (3)

Вираз (3) підставляємо в (2) і виконуємо інтегрування:

. (4)

З (1) і (4) визначаємо ємність С₁ одиниці довжини такого кабелю:

. (5)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (5):

С₁ =

3.93.

Дано

r = 10 см R = 10,5 см ε =

С1 = ?, R0 = ?

Розв’язок.

Ємність конденсатора дорівнює

. (1)

Різниця потенціалів двох точок поля дорівнює

. (2)

Модуль напруженості поля, створеного зарядженою сферою:

. (3)

Вираз (3) підставляємо в (2) і виконуємо інтегрування:

. (4)

З (1) і (4) визначаємо ємність С₁:

. (5)

Куля, занурена в масло, матиме таку ємність

. (6)

З виразів (5) і (6) визначаємо радіус кулі

. (7)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вирази (5) і (7):

С₁ = R₀ =

3.94.

Дано

r = 1 см R = 4 см ε = 1 U = 3 кВ L = 3 см

Е = ?

Розв’язок.

Ємність конденсатора дорівнює

. (1)

Різниця потенціалів двох точок поля дорівнює

. (2)

Модуль напруженості поля, створеного зарядженою сферою:

. (3)

Вираз (3) підставляємо в (2) і виконуємо інтегрування:

. (4)

З (1) і (4) визначаємо ємність С:

. (5)

З формул (1) і (5) визначаємо заряд конденсатора

. (6)

Тоді з формул (3) і (5) отримаємо

. (6)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (6):

Е =

3.95.

Дано

r = 1 см R = 4 см ε = 1 U = 3 кВ L1 = 3 см L2 = 2 см = =

= ?

Розв’язок.

Неоднорідне електричне поле виконує роботу по переміщенню електрона:

. (1)

Яка піде на зміну кінетичної енергії електрона ( = 0 згідно з умовою задачі):

. (2)

Різниця потенціалів двох точок поля дорівнює

. (3)

Модуль напруженості поля, створеного зарядом сфери:

. (4)

Вираз (4) підставляємо в (3) і виконуємо інтегрування:

. (5)

Ємність конденсатора дорівнює

. (6)

З (5) і (6) визначаємо ємність конденсатора:

. (7)

З формул (6) і (7) визначаємо заряд конденсатора

. (8)

Тоді з формул (5) і (8) визначаємо різницю потенціалів кінцевих точок руху електрона:

. (9)

А з формул (1), (2) і (9) визначаємо швидкість електрона:

. (10)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (10):

=

3.96.

Дано

U = 6 В C1 = 2 мкФ С2 = 4 мкФ

= ?, = ?

Розв’язок.

З

робимо малюнок:

При послідовному з’єднанні конденсаторів заряд на пластинах однаковий, а ємність дорівнює

. (1)

Ємність конденсатора дорівнює

. (2)

Тоді заряд на пластинах конденсаторів дорівнює

. (3)

З формули (2) визначаємо різницю потенціалу на обкладках другого конденсатора:

. (4)

Зробимо підстановку заданих величин у системі СІ в отримані вирази (3) і (4):

=

=

3.97.

Дано

= 2 см = 3 см W2 = 10 Дж

= ?

Розв’язок.

Заряд, який був на першій кулі до її зіткнення з другою кулею дорівнює заряду обох куль після зіткнення:

. (1)

Заряд другої кульки визначимо з формули енергії:

. (2)

Тобто з (2) маємо

. (3)

Враховуючі, що потенціали обох куль після зіткнення будуть однаковими, то знайдемо відношення їхніх енергій:

. (4)

З останнього рівняння визначаємо енергію першої кулі після зіткнення:

. (5)

Користуючись формулою енергії зарядженої кулі (2) і виразом (5), визначимо заряд першої куль після зіткнення:

. (6)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку (3) і(6) у вираз (1) та підставимо задані в задачі величини у системі СІ в отриманий вираз:

=

=

3.98.

Дано

S = 0,01 м2 F = 30 мН ε = 6

= ?, Е = ?, = ?

Розв’язок.

Робота при незначному зміщенні пластин конденсатора дорівнює

. (1)

Звідкіля отримаємо вираз для сили взаємодії пластин конденсатора:

. (2)

З (2) можна визначити заряд, що знаходяться на пластинах:

. (3)

Напруженість Е поля між пластинами визначаємо за формулою, користуючись виразом (3):

. (4)

Об'ємну густину енергії всередині конденсатора визначаємо за відомою формулою, та користуючись виразом (3):

. (5)

Для отримання відповіді, зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вирази (3), (4) і (5): = Е = =

3.99. Між пластинами плоского конденсатора вкладена тонка слюдяна пластинка. Який тиск р діє на цю пластинку при напруженості електричного поля Е = 1 МВ/м?

3.99.

Дано

Е = 1 МВ/м

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок, на якому зображена тонка слюдяна пластинка, яка розміщена між пластинами зарядженого плоского конденсатора. Вважаємо, що пластини нескінченно великі і одна з них створює електричне поле напруженістю

, (1)

де - поверхнева густина заряду на пластині; = 8,85∙10^-12 Ф/м – електрична стала; - діелектрична проникність речовини ( = 1 для вакууму).

Друга пластина знаходиться в цьому полі і на неї діє сила

. (2)

Як відомо, тиск, створений силою, дорівнює:

. (3)

В вираз (3) підставляємо силу з виразу (2) і отримаємо розрахункову формулу:

= (4)

Зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (4):

=

3.100. Площа пластин плоского повітряного конденсатора S = 0,01 м², відстань між ними d =5 мм. Яка різниця потенціалів була прикладена до пластин конденсатора, якщо відомо, що при розряді конденсатора виділилося = 4,19 мДж теплоти?

3.100.

Дано

S = 0,01 м2 d =5 мм = 4,19 мДж

= ?

Розв’язок.

Вважаємо, що в тепло перетворюється вся енергія зарядженого конденсатора, тобто

, (1)

де ємність плоского конденсатора дорівнює

, (2)

= 8,85∙10^-12 Ф/м – електрична стала; - діелектрична проникність речовини ( = 1 для вакууму).

З виразів (1) і (2) отримаємо розрахункову формулу:

= (3)

Зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вираз (3):

=

3.101. Площа пластин плоского повітряного конденсатора S = 0,01 м², відстань між ними = 2 см. До пластин конденсатора прикладена різниця потенціалів = 3 кВ. Яка буде напруженість поля конденсатора, якщо, не відключаючи його від джерела напруги, розсунути пластини до відстані = 5 см? Знайти енергію конденсатора після розсунення пластин.

3.101.

Дано

S = 0,01 м2 d1 =2 см = = 3 кВ = 5 см

= ? = ?

Розв’язок.

Якщо конденсатор не відключаючи від джерела напруги то можна стверджувати, що

, (1)

Електрична енергія відокремленого зарядженого провідника дорівнює

. (2)

Для плоского конденсатора

, (3)

де — об'єм, обмежений пластинами конденсатора.

Тоді після розсунення пластин конденсатора будемо мати

, (3)

= 8,85∙10^-12 Ф/м – електрична стала; - діелектрична проникність речовини ( = 1 для вакууму).

Зробимо підстановку заданих величин у системі СІ у вирази (1) і (3) та отримаємо відповіді:

= =

3.102. Розв'язати попередню задачу при умові, що спочатку конденсатор відключається від джерела напруги, а потім розсовуються пластини конденсатора.

3.102.

Дано

S = 0,01 м2 d1 =2 см = 3 кВ = 5 см

= ? = ?

Розв’язок.

Якщо конденсатор відключити від джерела напруги то можна стверджувати, що

. (1)

Ємність плоского конденсатора дорівнює

, (2)

де = 8,85∙10^-12 Ф/м – електрична стала; - діелектрична проникність речовини ( = 1 для вакууму).

Підставляємо ємності конденсаторів з виразу (2) у формулу (1) і отримаємо

. (3)

Електрична енергія відокремленого зарядженого провідника дорівнює

. (4)

Для плоского конденсатора

, (5)

де — об'єм, обмежений пластинами конденсатора.

Тоді після розсунення пластин конденсатора будемо мати

, (6)

= 8,85∙10^-12 Ф/м – електрична стала; - діелектрична проникність речовини ( = 1 для вакууму).

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вирази (3) і (6) та отримаємо відповіді:

= =

3.103. Плоский конденсатор заповнений діелектриком і на його пластини подана деяка різниця потенціалів. Його енергія при цьому складає = 20 мкДж. Після того, як конденсатор відключили від джерела живлення, діелектрик вийняли з конденсатора. Робота, яку треба було здійснити, щоб вийняти діелектрик склала = 70 мкДж. Знайти діелектричну проникність ε діелектрика.

3.103.

Дано

= 20 мкДж = 70 мкДж

= ?

Розв’язок.

Робота, яку треба здійснити, щоб вийняти діелектрик з конденсатора, дорівнює зміні його енергії:

. (1)

Ємність плоского конденсатора дорівнює

, (2)

де = 8,85∙10^-12 Ф/м – електрична стала; - діелектрична проникність речовини ( = 1 для вакууму).

Для плоского конденсатора енергія електричного поля дорівнює

. (3)

Тоді для двох конденсаторів, з урахуванням виразу (2), будемо мати

, (4)

де - діелектрична проникність речовини ( = 1 для вакууму).

Підставляємо енергію з виразів (4) у формулу (1) і отримаємо:

. (5)

Звідки можна получити вираз для розрахунку діелектричної проникності ε діелектрика:

= (6)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (6) та отримаємо відповідь:

=

3.104. Простір між пластинами плоского конденсатора заповнений діелектриком, діелектрична сприйнятливість якого χ = 0,08. Відстань між пластинами = 5 мм. На пластини конденсатора подана різниця потенціалів = 4 кВ. Знайти поверхневу густина зв'язаних зарядів на діелектрику.

3.104.

Дано

χ = 0,08 = 5 мм = 4 кВ

= ?

Розв’язок.

Д

Рис. 3.104

іелектрична сприйнятливість речовини зв’язана з діелектричною проникністю рівнянням

. (1)

Позначимо через , - поверхневу густину заряду на пластинах конденсатора в відсутності діелектрика, в присутності діелектрика; - поверхневу густину зв’язаних (поляризованих) зарядів.

Спільна дія зарядів густиною і така, якби на межі провідник – діелектрик існує заряд, розподілений з густиною

. (2)

Таким чином, - поверхнева густина «ефективних» зарядів, які визначають сумарне, результуюче поле в діелектрику.

Як відомо, поверхнева густина заряду пов’язана з відповідними полями такими співвідношеннями:

• поле в відсутності діелектрика

; (3)

• результуюче поле в діелектрику

. (4)

З виразів (2) та (4) отримуємо

. (5)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (5) та отримаємо відповідь:

=

3.105. Простір між пластинами плоского конденсатора заповнений склом. Площа пластин конденсатора S = 0,01 м². Пластини конденсатора притягуються одна до одної з силою F = 4,9 мН. Знайти поверхневу густина зв'язаних зарядів на склі.

Рис. 3.105

3.105.

Дано

= 6 S = 0,01 м2 F = 4,9 мН

= ?

Розв’язок.

Сила притягання пластин плоского конденсатора: а) конденсатор від’єднали від джерела струму; б) приєднаний до джерела струму;

а) . (1)

б) . (2)

Вважаємо, що маємо справу з першим випадком, тобто конденсатор від’єднали від джерела струму. Тоді маємо

. (3)

Позначимо через , - поверхневу густину заряду на пластинах конденсатора в відсутності діелектрика, в присутності діелектрика; - поверхневу густину зв’язаних (поляризованих) зарядів.

Спільна дія зарядів густиною і така, якби на межі провідник – діелектрик існує заряд, розподілений з густиною

. (4)

Таким чином, - поверхнева густина «ефективних» зарядів, які визначають сумарне, результуюче поле в діелектрику.

Як відомо, поверхнева густина заряду пов’язана з відповідними полями такими співвідношеннями:

• поле в відсутності діелектрика

; (5)

• результуюче поле в діелектрику

. (6)

З виразів (4) та (6) отримуємо

. (7)

Підставляємо в вираз (7) значення напруженості поля з (6) та густини заряду з виразу (3) і отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

. (7)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (7) та отримаємо відповідь:

=

3.106. До батареї з е.р.с у = 300 В включені два плоских конденсатори ємностями С₁ = 2 пФ і С₂ = 3 пФ. Визначити заряд Q і напругу U на конденсаторах при їх послідовному з'єднанні.

3.106.

Дано

= 300 В С1 = 2 пФ С2 = 3 пФ

Q = ? U1 = ? U2 = ?

Рис. 3.106

Розв’язок.

При паралельному з'єднанні конденсаторів ємність батареї дорівнює

, (1)

при послідовному з'єднанні

. (2)

Тобто електрична ємність заданої батареї конденсаторів визначається за формулою:

. (3)

Для кожного відокремленого провідника відношення заряду до потенціалу провідника є величина стала

, (4)

де — електрична ємність батареї конденсаторів.

Напругу U на конденсаторах визначаємо за формулами:

(5)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вирази (4) і (5) та отримаємо відповіді:

Q = U₁ = U₂ =

3.107. До батареї з е.р.с у = 300 В включені два плоских конденсатори ємностями С₁ = 2 пФ і С₂ = 3 пф. Визначити заряд Q і напругу U на конденсаторах при їх паралельному з'єднанні.

3.107.

Дано

= 300 В С1 = 2 пФ С2 = 3 пФ

Q1 = ? U = ? Q2 = ?

Рис. 3.107

Розв’язок.

При паралельному з'єднанні конденсаторів ємність батареї дорівнює

, (1)

при послідовному з'єднанні

. (2)

Тобто електрична ємність заданої батареї конденсаторів визначається за формулою:

. (3)

Загальний заряд на батареї конденсаторів можна знайти за формулою

, (4)

де — електрична ємність батареї конденсаторів.

Заряд на конденсаторах визначаємо за формулами, а перевірку можна виконати за формулою (4):

(5)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (5) та отримаємо відповіді:

Q₁ = Q₂ = U = = 300 В

3.108. Конденсатор ємністю С₁ = 600 пФ зарядили до різниці потенціалів U₁ = 1,5 кВ і відключили від джерела напруги, Потім до нього паралельно приєднали незаряджений конденсатор ємністю С₂ = 400 пФ. Визначити енергію, витрачену на утворення іскри, що проскочила при з'єднанні конденсаторів.

3.108.

Дано

U1 = 1,5 кВ С1 = 600 пФ С2 = 400 пФ

= ?

Рис. 3.108

Розв’язок.

При паралельному з'єднанні конденсаторів ємність батареї дорівнює

, (1)

при послідовному з'єднанні

. (2)

Тобто електрична ємність заданої батареї конденсаторів визначається за формулою:

. (3)

Загальний заряд на батареї конденсаторів дорівнюватиме заряду на першому конденсаторі

. (4)

Визначаємо енергію, витрачену на утворення іскри, що проскочила при з'єднанні конденсаторів з закону збереження енергії:

, (5)

де - енергія електричного поля в першому конденсаторі і в паралельному з’єднанні конденсаторів.

Підставляємо заряд з виразу (4) у формулу (5) і отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

= (6)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (6) та отримаємо відповідь:

=

3.109. Конденсатори ємністю С₁ = 5 мкФ і С₂ = 10 мкФ заряджені до напруги U₁ = 60 В и U₂ = 100 В, відповідно. Визначити напругу на обкладках конденсаторів після їхнього з'єднання обкладками, що мають однойменні заряди.

3.109.

Дано

U1 = 60 В U2 = 100 В С1 = 5 мкФ С2 = 10 мкФ

= ?

Рис. 3.109

Розв’язок.

Згідно закону збереження кількості заряду можна стверджувати, що заряд на батареї конденсаторів дорівнює сумі зарядів на кожному з них

. (1)

Визначити напругу на обкладках конденсаторів після їхнього з'єднання обкладками, що мають однойменні заряди, можна за формулою

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.110. Конденсатор ємністю С₁ = 10 мкФ заряджений до напруги U = 10 В. Визначити заряд на обкладках цього конденсатора після того, як паралельно йому був підключений інший, незаряджений, конденсатор ємністю С₂ = 20 мкФ.

3.110.

Дано

U1 = 10 В U2 = 0 С1 = 10 мкФ С2 = 20 мкФ

= ?

Рис. 3.110

Розв’язок.

Згідно закону збереження кількості заряду можна стверджувати, що заряд на першому конденсаторі дорівнюватиме сумі зарядів на кожному з них після з’єднання

. (1)

Визначити напругу на обкладках конденсаторів після їхнього з'єднання обкладками, що мають однойменні заряди, можна за формулою

. (2)

Тоді заряд на першому конденсаторі після з’єднання його з другим дорівнюватиме

. (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (3) та отримаємо відповідь:

=

3.111. Конденсатори ємностями С₁ = 2 мкФ, С₂ = 5 мкФ і С₃ = 10 мкФ з'єднані послідовно і знаходяться під напругою U = 850 В. Визначити напругу і заряд на першому з конденсаторів.

3.111.

Дано

U = 850 В С1 = 2 мкФ С2 = 5 мкФ С3 = 10 мкФ

= ? = ?

Рис. 3.111

Розв’язок.

При послідовному з’єднанні конденсаторів заряд на кожному з них буде однаковий

, (1)

де при послідовному з'єднанні загальна ємність дорівнює

. (2)

Підставляємо загальну ємність з виразу (2) у формулу (1) і отримаємо заряд на першому конденсаторі:

. (3)

Напруга на першому конденсаторі визначаємо за формулою:

. (4)

Заряд з виразу (3) підставляємо у формулу (4) і отримаємо вираз для розрахунку напруги:

= (5)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вирази (3) та (5) і отримаємо відповідь:

= =

3.112. Два конденсатори ємностями С₁ = 2 мкФ і С₂ = 5 мкФ заряджені до напруги U₁ = 100 В та U₂ = 150 В, відповідно. Визначити напругу на обкладках конденсаторів після їхнього з'єднання обкладками, що мають різнойменні заряди.

3.112.

Дано

U1 = 100 В U2 = 150 В С1 = 2 мкФ С2 = 5 мкФ

= ?

Рис. 3.112

Розв’язок.

Після з'єднання конденсаторів обкладками, що мають різнойменні заряди, частина зарядів нейтралізується і на батареї залишиться заряд:

. (1)

Тоді напруга на обкладках конденсаторів після їхнього з'єднання обкладками, що мають різнойменні заряди, дорівнюватиме

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.113. Два однакових плоских повітряних конденсатори ємністю 100 пФ кожний з'єднані в батарею послідовно. Визначити, на скільки зміниться ємність цієї батареї, якщо простір між пластинами одного з конденсаторів заповнити парафіном.

3.113.

Дано

С1 = С2 = 100 пФ = 2

= ?

Розв’язок.

Зміну електричної ємності батареї, якщо простір між пластинами одного з конденсаторів, наприклад, другого, заповнити парафіном визначаємо за формулою:

, (1)

де , - ємності батарей конденсаторів до і після заповнення парафіном простору між пластинами другого конденсатора.

При послідовному з'єднанні загальна ємність дорівнює

. (2)

Запишемо вирази ємностей отриманих батарей конденсаторів:

(3)

Підставляємо загальні ємності з виразу (3) у формулу (1) і отримаємо вираз для розрахунку зміни ємності цієї батареї:

= . (4)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (4) і отримаємо відповідь:

=

3.114. Два конденсатори ємностями С₁ = 5 мкФ і С₂ = 8 мкФ з'єднані послідовно і приєднані до батареї з е.р.с. у = 80 В. Визначити заряд та різницю потенціалів на першому з конденсаторів.

3.114.

Дано

= 80 В С1 = 5 мкФ С2 = 8 мкФ

= ? = ?

Рис. 3.114

Розв’язок.

При послідовному з’єднанні конденсаторів заряд на кожному з них буде однаковий

, (1)

де при послідовному з'єднанні загальна ємність дорівнює

. (2)

Підставляємо загальну ємність з виразу (2) у формулу (1) і отримаємо заряд на першому конденсаторі:

. (3)

Напруга на першому конденсаторі визначаємо за формулою:

. (4)

Заряд з виразу (3) підставляємо у формулу (4) і отримаємо вираз для розрахунку напруги:

= (5)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вирази (3) та (5) і отримаємо відповідь:

= =

3.115. Плоский конденсатор складається з двох круглих пластин радіусом R = 10 см кожна. Відстань між пластинами = 2 мм. Конденсатор приєднаний до джерела напруги = 80 В. Визначити заряд Q та напруженість Е поля всередині конденсатора, коли він заповнений склом.

3.115.

Дано

R = 10 см = 80 В = 2 мм = 6

Q = ? Е = ?

Розв’язок.

Ємність плоского конденсатора:

(1)

де = — площа кожної пластини; - відстань між пластинами.

Для кожного відокремленого провідника відношення заряду до потенціалу провідника є величина стала

, (2)

де — електрична ємність провідника.

З формул (2) та (1) отримуємо заряд конденсатора

, (3)

Для однорідного поля (поля плоского конденсатора) напруженість дорівнює

, (4)

де — різниця потенціалів між пластинами конденсатора; d — відстань між ними.

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вирази (3) та (4) і отримаємо відповідь:

Q = Е =

3.116. Дві металеві кульки радіусами R₁ = 5 см і R₂ = 10 см мають заряди Q₁ = 40 нКл і Q₂ = - 20 нКл, відповідно. Знайти енергію W яка виділиться при з'єднанні куль провідником.

3.116.

Дано

R1 = 5 см R2 = 10 см Q1 = 40 нКл Q2 = - 20 нКл

= ?

Розв’язок.

Енергію W яка виділиться при з'єднанні куль провідником дорівнюватиме різниці енергій куль до і після з’єднання їх провідником:

. (1)

Електрична енергія відокремленого зарядженого провідника

. (2)

Ємність провідної кулі радіуса г

. (3)

Тоді енергія куль до з’єднання дорівнює

. (4)

При з’єднанні куль провідником заряди будуть переміщатися доки потенціали куль не зрівняються, тоді нові заряди куль можна визначити за формулами:

. (5)

А сумарний заряд куль після з’єднання дорівнюватиме

. (6)

З рівнянь (5) та (6) можна визначити заряди куль після їхнього з’єднання:

(7)

тоді енергія електричного поля куль після їхнього з’єднання дорівнюватиме

. (8)

Енергії з виразів (4) та (8) підставляємо в формулу (1) і отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

. (8)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (8) і отримаємо відповідь:

=

3.117. Простір між пластинами плоского конденсатора заповнено двома шарами діелектрика: скла ( = 6) товщиною d₁ = 0,2 см і шаром парафіну ( = 2) товщиною d₂ = 0,3 см. Різниця потенціалів між обкладками = 300 В. Визначити напруженість Е поля і падіння потенціалу в кожному із шарів.

3.117.

Дано

d1 = 0,2 см = 6 d2 = 0,3 см = 2 = 300 В

= ? = ? = ? = ?

Розв’язок.

Щоб знайти величини , , з'ясуємо зв'язок, що існує між ними і різницею потенціалів . Скористаємося формулою зв’язку між потенціалом і напруженістю поля. Тобто градієнт потенціалу дорівнює напруженості поля

. (1)

Зв’язок між напруженістю та потенціалом поля:

. (2)

Звідки різниця потенціалів двох точок поля дорівнює

. (3)

Для однорідного поля (поля плоского конденсатора) напруженість

, (4)

де U — різниця потенціалів між пластинами конденсатора; d — відстань між ними.

Розбивши весь шлях інтегрування на дві частини, які відповідні товщині двох шарів діелектриків (товщиною зазору нехтуємо), і враховуючи, що в межах кожного шару поле однорідне, отримаємо

. (5)

Так як електричний зсув в обох шарах діелектриків має одне і те ж значення, то скорочуючи на запишемо:

. (6)

Вирішуючи спільно рівняння (5) і (6), одержимо:

; . (7)

З формули (5) можна отримати падіння потенціалу в кожному із шарів:

. (8)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вирази (7) та (8) і отримаємо відповіді:

= = = =

` 3.118. Плоский конденсатор з площею пластин S = 200 см² кожна, заряджений до різниці потенціалів = 2 кВ. Відстань між пластинами d = 2 см. Діелектрик – скло ( = 6). Визначити енергію W конденсатора та її густину ω.

3.118.

Дано

S = 200 см2 = 2 кВ = 2 см = 6

W = ? ω = ?

Розв’язок.

Електрична енергія відокремленого зарядженого провідника ємністю і потенціалом дорівнює

. (1)

Для плоского конденсатора електрична ємність дорівнює

(2)

тоді енергію можна визначити за формулами:

, (3)

Об'ємна густина енергії електричного поля

, (4)

де - електричне зміщення, Кл/м². — об'єм, обмежений пластинами конденсатора.

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вирази (3) та (4) і отримаємо відповіді:

W = ω =

3.119. Конденсатори ємністю С₁ = 5 мкФ і С₂ = 10 мкФ заряджені до напруги U₁ = 60 В и U₂ = 100 В, відповідно. Визначити напругу на обкладках конденсаторів після їхнього з'єднання обкладками; що мають однойменні заряди.

3.119.

Дано

U1 = 60 В U2 = 100 В С1 = 5 мкФ С2 = 10 мкФ

= ?

Рис. 3.119

Розв’язок.

Згідно закону збереження кількості заряду можна стверджувати, що заряд на батареї конденсаторів дорівнює сумі зарядів на кожному з них

. (1)

Визначити напругу на обкладках конденсаторів після їхнього з'єднання обкладками, що мають однойменні заряди, можна за формулою

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.120. Скільки витків ніхромового дроту діаметром = 1 мм треба навити на фарфоровий циліндр радіусом = 2,5 см, щоб отримати опір у = 40 Ом?

3.120.

Дано

= 1 мм = 2,5 см = 40 Ом

= ?

Розв’язок.

Кількість витків визначимо як відношення довжин дроту та одного витка:

. (1)

Опір циліндричного провідника довжиною та площею поперечного перерізу

, (2)

де — питомий опір.

Довжину дроту визначаємо з формули (2) та підставляємо у (1) і получаємо вираз для розрахунку кількості витків:

= (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (3) та отримаємо відповідь:

=

3.121. Резистор з опором R₁ = 5 Ом, вольтметр і джерело струму з'єднані паралельно. Вольтметр показує напруга U₁ = 10 В. Якщо замінити резистор іншим з опором R₂ = 12 Ом, то вольтметр покаже напруга U₂ = 12 В: Визначити е.р.с. і внутрішній опір джерела струму.

3.121.

Рис. 3.121

Дано

R1 = 5 Ом U1 = 10 В R2 = 120 Ом U2 = 12 В

= ? = ?

Розв’язок.

Закон Ома для повного електричного кола має вигляд:

, (1)

де — зовнішній опір; — внутрішній опір кола.

Запишемо формулу цього закону для двох випадків підключення опорів:

. (2)

Знаходимо відношення першого рівняння системи (2) до другого і отримаємо вираз для розрахунку внутрішнього опору джерела струму:

, (3)

З любого рівняння системи (3), наприклад, другого, визначаємо електрорушійну силу джерела струму і підставляємо в одержану формулу значення внутрішнього опору джерела струму :

= (4)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вирази (3) та (4) отримаємо відповіді:

= =

3.122. Визначити електричний заряд, що пройшов за = 20 секунд крізь поперечний переріз проводу з опором R = 3 Ом при рівномірному наростанні напруги на його кінцях від U₁ = 2 В до U₂ = 4 В.

3.122.

Дано

= 20 с R = 3 Ом U1 = 2 В U2 = 4 В

= ?

Розв’язок.

Сила електричного струму чисельно дорівнює зміні заряду, перенесеного через поперечний переріз провідника, залежно від часу

. (1)

Звідки можна отримати вираз для визначення електричного заряду, що проходить через перетин провідника за заданий час:

Рис. 3.122

. (2)

Для визначення рівняння зміни напруги на кінцях проводу, побудуємо графік цієї залежності (див рис. 3.122):

. (2)

Підставляємо рівняння напруги з (2) під знак інтеграла

. (3)

. (4)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі СІ у вираз (4) та отримаємо відповідь:

=

3.123. Визначити силу струму в електричному колі, що складається з двох джерел живлення з'єднаних однойменними полюсами, з е.р.с. = 1,6 В та = 1,2 В. їх внутрішній опір r₁ = 0,6 Ом, r₂ = 0,4 Ом.

3.123.

Дано

= 1,6 В = 1,2 В r1 = 0,6 Ом r2 = 0,4 Ом

= ?

Рис. 3.123

Розв’язок.

Зробимо малюнок, на який наносимо напрямок току та електрорушійної сили в кожному джерелі струму. Вибираємо обхід контуру проти годинникової стрілки і записуємо формулу другого закону Кірхгофа:

. (1)

З рівняння (1) отримаємо вираз для розрахунку силу струму в електричному колі:

= (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.124. Гальванічний елемент дає на зовнішній опір у = 0,5 Ом силу струму = 0,2 А. Якщо зовнішній опір замінити на R₂ = 0,8 Ом, то елемент дає силу струму І₂ = 0,15 А. Визначити силу струму короткого замикання.

3.124.

Рис. 3.124

Дано

= 0,5 Ом = 0,2 А R2 = 0,8 Ом І2 = 0,15 А

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Закон Ома для повного кола має вигляд:

, (1)

де — зовнішній опір; — внутрішній опір.

З рівняння (1) можна зробити висновок, що струм короткого замикання отримаємо, якщо зовнішній опір кола дорівнюватиме нулю:

, (2)

Для визначення параметрів джерела струму: електрорушійної сили і внутрішнього опору, складемо систему рівнянь з формули закону Ома для двох випадків підключення зовнішнього опору:

, (3)

Для визначення внутрішнього опору джерела струму, знайдемо відношення першого рівняння системи (1) до другого:

. (4)

Значення опору підставляємо в одне із рівнянь системи (3) і отримаємо е.р.с. джерела струму:

. (5)

Підставляємо з рівняння (4) та з рівняння (5) в рівняння (2) і отримаємо вираз для розрахунку :

= (6)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (6) та отримаємо відповідь:

=

3.125. До джерела струму з е.р.с. = 12 В приєднали зовнішнє навантаження. Напруга на клемах джерела стала при цьому рівною U = 8 В. Визначити у відсотках к.к.д. джерела струму.

3.125.

Дано

= 12 В U = 8 В

= ?

Розв’язок.

Відношення корисної потужності до загальної потужності визначає ККД джерела струму

. (1)

Помножимо чисельник і знаменник рівняння (1) на струм і, користуючісь формулою закону Ома отримаємо вираз для розрахунку к.к.д.:

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.126. Зовнішня ділянка електричного кола споживає потужність Р = 0,75 Вт. Визначити силу струму в мережі, якщо е.р.с. джерела струму становить = 2 В, а його внутрішній опір r = 1 Ом.

3.126.

Дано

= 2 В r = 1 Ом Р = 0,75 Вт

= ?

Розв’язок.

З закону Ома для повного кола можна отримати

, (1)

де — зовнішній опір; — внутрішній опір.

Потужність чисельно дорівнює роботі постійного струму за одиницю часу, тому отримаємо з формули потужності зовнішній опір:

. (2)

З рівнянь (1) та (2) отримаємо квадратне рівняння

, (3)

Розв’язок якого і є виразом для розрахунку струму:

= (4)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (4) та отримаємо відповідь:

=

3.127. Сила струму в провіднику змінюється з часом за законом І = 4 + 2t². Який заряд проходить через поперечний перетин провідника за проміжок часу від t₁ = 2 с до t₂ = 6 с?

3.127.

Дано

І = 4 + 2t2 t1 = 2 с t2 = 6 с

= ?

Розв’язок.

Сила електричного струму чисельно дорівнює зміні заряду, перенесеного через поперечний переріз провідника, залежно від часу

. (1)

Звідки можна отримати вираз для визначення електричного заряду, що проходить через перетин провідника за заданий час:

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.128. Сила струму в провіднику з опором R = 10 Ом за час t = 50 с рівномірно наростає від I₁ = 5 А до І₂ = 10 А. Визначити кількість теплоти Q, що виділилося за цей час у провіднику.

3.128.

Дано

R = 10 Ом t = 50 с I1 = 5 А І2 = 10 А

= ?

Рис. 3.128

Розв’язок.

Кількість теплоти , що виділяється в провіднику при проходженні в ньому постійного струму (закон Джоуля — Ленца),

. (1)

З рис. 3.128 видно, що рівняння цього графіку буде пряма

. (2)

З виразу (1) інтегруванням можна отримати вираз для визначення кількості теплоти, що виділиться в провіднику за заданий час:

.

. (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (3) та отримаємо відповідь:

=

3.129. При рівномірному зростанні сили струму у провіднику від I₁ = 1 А до І₂ = 2 А за t = 10 секунд виділилася кількість теплоти Q = 5 кДж. Знайти опір R провідника.

3.129.

Дано

I1 = 1 А І2 = 2 А t = 10 с Q = 5 кДж

= ?

Рис. 3.129

Розв’язок.

Кількість теплоти , що виділяється в провіднику при проходженні в ньому постійного струму (закон Джоуля — Ленца),

. (1)

З рис. 3.129 видно, що рівняння цього графіку буде пряма

. (2)

З виразу (1) інтегруванням можна отримати вираз для визначення кількості теплоти, що виділиться в провіднику за заданий час:

.

. (3)

Звідки отримаємо вираз для розрахунку опору

. (4)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (4) та отримаємо відповідь:

=

3.130. Який об'єм води можна закип'ятити, затративши електричну енергію Q = 3 ГВт-г? Початкова температура води = 10°С.

3.130.

Дано

Q = 3∙3600∙109 Дж = 10°С = 1000 кг/м3 = 4190 Дж/(кг∙К)

= ?

Розв’язок.

Енергія, яка необхідна для нагрівання води визначається за формулою

, (1)

де - питома теплоємність.

З формули (1) знаходимо який об'єм води можна закип'ятити

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.131. На плитці потужністю = 0,5 кВт стоїть чайник, в який налитий = 1 літр води при температурі = 16°С. Вода в чайнику закипіла через =20 хвилин після вмикання плитки. Яка кількість теплоти Q при цьому втрачена на нагрівання повітря.

3.131.

Дано

= 0,5 кВт = 1 л = 16°С =20 хв = 1000 кг/м3 = 4190 Дж/(кг∙К)

= ?

Розв’язок.

Енергія, яка необхідна для нагрівання води визначається за формулою

, (1)

де - питома теплоємність.

Витрачена електрична енергія дорівнює

. (2)

Кількість теплоти, яка при цьому втрачена на нагрівання повітря

. (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі одиниць СІ у вираз (3) та отримаємо відповідь:

=

3.132. = 4,5 літра води можна закип'ятити, затративши електричну енергію Q = 0,5 кВт-г. Початкова температура води = 23°С. Знайти к.к.д. нагрівника.

3.132.

Дано

Q = 0,5 кВт-г = 4,5 л = 23°С = 1000 кг/м3 = 4190 Дж/(кг∙К)

= ?

Розв’язок.

Енергія, яка необхідна для нагрівання води визначається за формулою

, (1)

де - питома теплоємність.

Тоді к.к.д. дорівнює

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі одиниць СІ у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.133. Температура водяного термостата об'ємом = 1 літр підтримується постійною за допомогою нагрівника потужністю = 26 Вт. На нагрівання води витрачається = 80% цієї потужності. На скільки знизиться температура води в термостаті за = 10 хвилин, якщо нагрівник вимкнути?

3.133.

Дано

= 1 л = 26 Вт = 80% = 10 хв = 1000 кг/м3 = 4190 Дж/(кг∙К)

= ?

Розв’язок.

Енергія, яка необхідна для нагрівання води визначається за формулою

, (1)

де - питома теплоємність.

Тоді к.к.д. дорівнює

. (2)

З формули (2) отримуємо

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі одиниць СІ у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.134. Вольфрамова нитка електричної лампочки при температурі = 20°С має опір R₁ = 35,8 Ом. Яка буде температура нитки, якщо при вмиканні лампочки в мережу напругою = 120 В по ній йде струм = 0,33 А? Температурний коефіцієнт опору вольфраму α =4,6 10^-3 К^-1.

3.134.

Дано

= 20°С R1 = 35,8 Ом = 120 В = 0,33 А α =4,6 10-3 К-1

= ?

Розв’язок.

Питомий опір провідника залежить від його температури

, (1)

де — питомий опір при 0°С; — температурний коефіцієнт опору.

Якщо знехтувати зміною розмірів провідника при зміні його температури, то можна записати, для двох температур провідника, значення їхніх опорів:

, (2)

де - опір провідника при 0°С.

Опір провідника в другому випадку знайдемо за законом Ома, тобто за формулою:

. (3)

Підставляємо опір з виразу (3) у систему рівнянь (2) і знайдемо з відношення цих рівнянь шукану температуру

, (4)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (4) та отримаємо відповідь:

=

3.135. Обмотка котушки з мідного дроту при температурі = 14°С має опір = 10 Ом. Після проходження струму, опір обмотки став рівним = 12,2 Ом. До якої температури нагрілася обмотка? Температурний коефіцієнт опору міді α = 4,15 10^-3 К^-1.

3.135.

Дано

= 14°С = 10 Ом = 12,2 Ом α = 4,15 10-3 К-1

= ?

Розв’язок.

Питомий опір провідника залежить від його температури

, (1)

де — питомий опір при 0°С; — температурний коефіцієнт опору.

Якщо знехтувати зміною розмірів провідника при зміні його температури, то можна записати, для двох температур провідника, значення їхніх опорів:

, (2)

де - опір провідника при 0°С.

З відношення рівнянь системи (2) знайдемо шукану температуру

, (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (3) та отримаємо відповідь:

=

3.136. Яку частку е.р.с. елемента живлення складає різниця потенціалів U на його клемах, якщо внутрішній опір елемента r в 10 разів менший зовнішнього опору R.

3.136.

Дано

= ?

Розв’язок.

Відношення корисної потужності до загальної потужності визначає ККД джерела струму

. (1)

Помножимо чисельник і знаменник рівняння (1) на струм і, користуючись формулою закону Ома отримаємо вираз для розрахунку к.к.д.:

. (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.137. Від батареї, е.р.с. якої = 600 В, потрібно передати енергію на відстань = 1 км. Потужність, що споживається = 5 кВт. Знайти мінімальні втрати потужності в мережі, якщо діаметр мідних проводів, що використовуються = 0,5 см.

3.137.

Дано

= 600 В = 1 км = 5 кВт = 0,5 см

= ?

Розв’язок.

Втрати потужності в мережі визначаємо за формулою

, (1)

де - повна потужність всієї мережі; - струм у мережі; опір двох провідної мережі; = 1,7∙10^-8 Ом∙м – питомий опір.

З рівняння (1) складемо квадратне рівняння

, (2)

Рішення якого матиме вигляд

, (3)

мінімальний струм знаходимо за формулою:

, (4)

У формулу втрати потужності в мережі підставляємо значення струму з формули (4):

, (5)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.138. При зовнішньому опорі R₁ = 8 Ом сила струму в електричному колі I₁ = 0,8 А, при опорі R₂ = 15 Ом сила струму І₂ = 0,5 А. Визначити силу струму короткого замикання.

3.138.

Рис. 3.138

Дано

= 8 Ом = 0,8 А R2 = 15 Ом І2 = 0,5 А

= ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Закон Ома для повного кола має вигляд:

, (1)

де — зовнішній опір; — внутрішній опір.

З рівняння (1) можна зробити висновок, що струм короткого замикання отримаємо, якщо зовнішній опір кола дорівнюватиме нулю:

, (2)

Для визначення параметрів джерела струму: електрорушійної сили і внутрішнього опору, складемо систему рівнянь з формули закону Ома для двох випадків підключення зовнішнього опору:

, (3)

Для визначення внутрішнього опору джерела струму, знайдемо відношення першого рівняння системи (1) до другого:

. (4)

Значення опору підставляємо в одне із рівнянь системи (3) і отримаємо е.р.с. джерела струму:

. (5)

Підставляємо з рівняння (4) та з рівняння (5) в рівняння (2) і отримаємо вираз для розрахунку :

= (6)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (6) та отримаємо відповідь:

=

3.139. Два паралельно з'єднаних елемента живлення з однаковими е.р.с. у = 2 В і внутрішніми опорами r₁ = 1 Ом та r₂ = 1,5 Ом, замкнені на зовнішній опір R = 1,4 Ом. Знайти струм І в кожному з елементів живлення.

Рис. 3.139

3.139.

Дано

= 2 В r1 = 1 Ом r2 = 1,5 Ом R = 1,4 Ом

= ? = ?

Розв’язок.

Правила Кірхгофа для розгалужених кіл

1. Алгебраїчна сума всіх сил струмів, що сходяться у вузлі розгалуженого кола, дорівнює нулю:

. (1)

Струми, що входять у вузол, вважають додатними, які виходять — від'ємними, або навпаки.

2. У будь-якому простому замкненому контурі, довільно обраному у розгалуженому електричному колі, алгебраїчна сума добутків сил струмів на опори відповідних ділянок цього контуру дорівнює алгебраїчній сумі електрорушійних сил, що діють у ньому

. (2)

Для вузла та для замкнених контурів і запишемо правила Кірхгофа:

(3)

Рішення знаходимо за формулами (метод Крамера):

, , , (4)

де детермінанти дорівнюють:

системи ; (5)

невідомого ; (6)

невідомого ; (7)

невідомого . (8)

Тоді струми та , знайдемо за формулами (4):

= =

140. Напруга на клемах елемента живлення = 2,1 В, опори R₁ = 5 Ом, R₂ = 6 Ом, R₃ = 3 Ом (див. рис, 3.140). Який струм І показує амперметр?

3.140.

Рис. 3.140

Дано

= 2,1 В = 5 Ом R2 = 6 Ом R3 = 3 Ом

= ?

Розв’язок.

За законом Ома для повного кола, нехтуючи внутрішнім опором джерела струму, можна записати рівняння:

. (1)

Тоді напруга на опорах та дорівнюватиме

. (2)

Визначаємо струм, який показує амперметр

. (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (3) та отримаємо відповідь:

=

3.141. Елемент живлення, опір і амперметр з'єднані послідовно. Елемент має е.р.с. = 2 В і внутрішній опір = 0,4 Ом. Амперметр показує струм І = 1 А. З яким к.к.д. працює елемент?

3.141.

Дано

= 2 В = 0,4 Ом І = 1 А

= ?

Розв’язок.

Відношення корисної потужності до загальної потужності визначає ККД джерела струму

. (1)

За законом Ома для повного кода можна отримати зовнішній опір:

. (2)

Отриманий опір з рівняння (2) підставляємо в формулу (1) і отримаємо вираз для росрахунку к.к.д.:

= (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (3) та отримаємо відповідь:

=

142. Е.р.с. батареї живлення = 100 В, опори R₁ = R₂ = 40 Ом, R₃ = 80 Ом і R₄ = 34 Ом. (див. рис. 3.142). Знайти струм I₂ що йде через опір R₂ і падіння потенціалу U₂ на ньому.

3.142.

Рис. 3.142

Дано

= 100 В R1 = R2 = 40 Ом R3 = 80 Ом R4 = 34 Ом

= ? U2 = ?

Розв’язок.

За законом Ома для повного кола, нехтуючи внутрішнім опором джерела струму, можна записати рівняння:

. (1)

Тоді напруга на опорах , та дорівнюватиме

. (2)

Визначаємо струм, який йде через другий опір

. (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вирази (3) та (2) і отримаємо відповіді:

= U₂ =

142. Е.р.с. батареї живлення = 120 В, опори R₃ = 20 Ом, R₄ = 25 Ом (див. рис.3.143). Падіння потенціалу на опорі R₁ дорівнює = 40 В. Амперметр показує струм = 2 А. Знайти опір R₂.

3.143.

Рис. 3.143

Дано

= 100 В R3 = 20 Ом, R4 = 25 Ом = 40 В = 2 А

= ?

Розв’язок.

За законом Ома для повного кола, нехтуючи внутрішнім опором джерела струму, можна записати рівняння:

. (1)

З рівняння (1) визначаємо невідомий опір

. (2)

де опір знаходимо за формулою:

. (3)

Тоді опор з виразу (3) підставляємо в формулу (2) і отримаємо розрахунковий вираз:

=. (4)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (4) і отримаємо відповіді:

=

142. Батарея з е.р.с. = 10 В і внутрішнім опором = 1 Ом має к.к.д. η = 0,8 (див. рис. 3.144). Падіння потенціалу на опорах R₁ і R₄ рівні U₁ = 4 В і U₄ = 2 В. Яку силу струму показує амперметр? Знайти падіння потенціалу на опорі R₂.

3.144.

Рис. 3.144

Дано

= 10 В = 1 Ом η = 0,8 U1 = 4 В U4 = 2 В

= ? = ?

Розв’язок.

Відношення корисної потужності до загальної потужності визначає ККД джерела струму

, (1)

де - загальний опір зовнішнього кола; - падіння напруги на зовнішньому опорі.

З формули (1) отримуємо

, (2)

де - напруга на другому та третьому опорах.

За законом Ома для повного кола та за формулою к.к.д. можна записати систему рівнянь:

. (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вирази (3) та (2) і отримаємо відповіді:

= =

` 3.145. Е.р.с. батареї = 100 В, опори R₁ = 100 Ом, R₂ = 200 Ом і R₃ = 300 Ом, опір вольтметра R_V = 2 кОм (див. рис. 3.145). Яку різницю потенціалів U показує вольтметр?

Рис. 3.145

3.145.

Дано

= 100 В R1 = 100 Ом, R2 = 200 Ом R3 = 300 Ом, RV = 2 кОм

= ?

Розв’язок.

За законом Ома для повного кола, нехтуючи внутрішнім опором джерела струму, можна записати рівняння:

. (1)

Тоді вольтметр показує напругу

. (2)

Струм з формули (1) підставляємо у формулу (2) і отримаємо вираз для розрахунку різниці потенціалів U, яку показує вольтметр:

= (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (3) і отримаємо відповіді:

=

146. Опори R₁ = R₂ = R₃ = 200 Ом, опір вольтметра R_V = 2 кОм (див рис. 3.146). Вольтметр показує різницю потенціалів U = 100 В. Знайти е.р.с. батареї живлення.

3

Рис. 3.146

.146.

Дано

R1 = 200 Ом, R2 = 200 Ом R3 = 200 Ом, RV = 2 кОм U = 100 В

= ?

Розв’язок.

За законом Ома для повного кола, нехтуючи внутрішнім опором джерела струму, можна записати рівняння:

. (1)

З другого боку загальний струм дорівнює

. (2)

3 рівнянь (1) і (2) отримаємо вираз для розрахунку відповіді:

. (3)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (3) і отримаємо відповіді:

=

3.147. Є = 120-вольтова електрична лампочка потужністю = 40 Вт. Який додатковий опір R треба включити послідовно з лампочкою, щоб вона давала нормальне розжарення при напрузі в мережі U₀ = 220 В? Яку довжину ніхромового дроту діаметром = 0,3 мм треба взяти, щоб отримати такий опір?

3.147.

Дано

U = 120 В = 40 Вт U0 = 220 В = 0,3 мм

= ? =?

Рис. 3.147

Розв’язок.

Струм в мережі визначимо з потужності лампи:

. (1)

За законом Ома можна визначити додатковий опір:

. (2)

Опір циліндричного провідника довжиною та площею поперечного перерізу

, (3)

де = 1∙10^-6 Ом∙м — питомий опір ніхрому.

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вирази (2) та (3) і отримаємо відповіді:

= =

3.148. Від генератора з е.р.с. у = 110 В, потрібно передати енергію на відстань L = 250 м. Потужність, що споживається = 1 кВт. Знайти мінімальний перетин S мідних ( = 1,7∙10^-8 Ом∙м) проводів живлення, якщо втрати потужності в мережі не, повинні перевищувати = 1 %.

3.148.

Дано

= 110 В = 250 м = 1 кВт = / = 1 %

= ?

Розв’язок.

Втрати потужності в мережі можна визначити за формулами:

, (1)

де - повна потужність всієї мережі; - струм у мережі; опір двох провідної мережі.

З рівняння (1, б) визначаємо струм і підставляємо його в рівняння (1, а)

, (2)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у вираз (2) та отримаємо відповідь:

=

3.149. Елемент живлення замикають спочатку на зовнішній опір = 2 Ом, а потім на зовнішній опір = 0,5 Ом. Знайти е.р.с. елемента живлення і його внутрішній опір r, якщо відомо, що в кожному з цих випадків потужність, яка виділяється у зовнішньому колі, однакова і дорівнює = 2,54 Вт.

3.138.

Рис. 3.138

Дано

= 2 Ом = 0,5 Ом = 2,54 Вт

= ? = ?

Розв’язок.

Зробимо малюнок.

Потужність чисельно дорівнює роботі постійного струму за одиницю часу

. (1)

Користуючись виразом (1) і умовою задачі, складемо рівняння:

. (2)

Закон Ома для повного кола має вигляд:

, (3)

де — зовнішній опір; — внутрішній опір.

Для визначення параметрів джерела струму: електрорушійної сили і внутрішнього опору, складемо систему рівнянь з формули закону Ома для двох випадків підключення зовнішнього опору:

, (4)

Для визначення внутрішнього опору джерела струму, знайдемо відношення першого рівняння системи (4) до другого та використаємо формулу (2):

. (5)

Значення опору підставляємо в одне із рівнянь системи (3) і отримаємо е.р.с. джерела струму:

. (6)

Зробимо підстановку заданих в умові величин у системі одиниць СІ в вирази (6) та (5) і отримаємо відповіді:

= =

3.150. Батареї живлення мають е.р.с. = 2 В та = 4 В, опір R₁ = 0,5 Ом (див. рис. 3.150). Падіння потенціалу на опорі R₂ дорівнює = 1 В. Знайти, що показує амперметр.

3

3.150

.150.

Дано

= 2 В = 4 В R1 = 0,5 Ом = 1 В

= ?

Розв’язок.