2) Изометрическая проекция

Во многих случаях используется изометрическая проекция: в компьютерных играх для трёхмерных объектов и панорам, в рисовании схем проезда и т.д. Рассмотрим, как можно рисовать изометрическую проекцию в Inkscape.

Для начала немного теории. Начнем с Википедии: Изометрическая проекция — это разновидность аксонометрической проекции, при которой в отображении трёхмерного объекта на плоскость коэффициент искажения (отношение длины спроектированного на плоскость отрезка, параллельного координатной оси, к действительной длине отрезка) по всем трём осям один и тот же. Слово «изометрическая» в названии проекции пришло из греческого языка и означает «равный размер», отражая тот факт, что в этой проекции масштабы по всем осям равны. По западным стандартам изометрическая проекция, помимо равенства масштабов по осям, включает условие равенства 120° углов между проекциями любой пары осей.

В прямоугольной изометрической проекции аксонометрические оси образуют между собой углы в 120°, ось Z' направлена вертикально. Коэффициенты искажения (kx,ky,kz) имеют числовое значение  . Как правило, для упрощения построений изометрическую проекцию выполняют без искажений по осям, то есть коэффициент искажения принимают равным 1, в этом случае получают увеличение линейных размеров в   раза.

Изометрический вид объекта можно получить, выбрав направление обзора таким образом, чтобы углы между проекцией осей x, y, и z были одинаковы и равны 120°. К примеру, если взять куб, это можно выполнить направив взгляд на одну из граней куба, после чего повернув куб на ±45° вокруг вертикальной оси и на ±arcsin (tan 30°) = 35.264° вокруг горизонтальной оси. Обратите внимание: при изометрической проекции куба контур проекции образует правильный шестиугольник — все рёбра равной длины и все грани равной площади.

Подобным же образом изометрический вид может быть получен, к примеру, в редакторе трёхмерных сцен: начав с камерой, выровненной параллельно полу и координатным осям, её нужно повернуть вниз на =35.264° вокруг горизонтальной оси и на ±45° вокруг вертикальной оси.

6 Геоцентрическая, сферическая и локальная системы координат в гис

7. Определение картографических проекций, их взаимосвязь с геодезической системой

Так как Земля имеет сферическую форму, ее поверхность невозможно изобразить на плоскости без искажений. Если разрезать любую сферическую поверхность на части (по меридианам) и наложить эти части на плоскость, то изображение этой поверхности на ней получилось бы искаженной и с разрывами. В экваториальной части были бы складки, а у полюсов — разрывы. Для решения навигационных задач пользуются искаженными, плоскими изображениями земной поверхности — картами, в которых искажения обусловлены и соответствуют определенным математическим законам.  Математически определенные условные способы изображения на плоскости всей или части поверхности шара или эллипсоида вращения с малым сжатием называются картографической проекцией, а принятая при данной картографической проекции система изображения сети меридианов и параллелей — картографической сеткой. 

Картографическая проекция - математически определенный способ отображения поверхности эллипсоида на плоскости устанавливает аналитическую зависимость (соответствие) между географическими координатами, точек земного эллипсоида и прямоугольными координатами тех же точек на плоскости.

Поверхность эллипсоида (или шара) нельзя развернуть на плоскости подобно поверхности конуса или цилиндра. Поэтому непрерывность и однозначность изображения достигаются как бы за счет неравномерного растяжения (или сжатия), т. е. деформации поверхности эллипсоида при совмещении ее с плоскостью.

Все существующие картографические проекции могут быть подразделены на классы по двум признакам: по характеру искажений и по способу построения картографической сетки. Эта зависимость может быть выражена двумя уравнениями вида:

х=f1(В,L), у=f2(В, L) называемыми уравнениями картографических проекций.

Они позволяют вычислять прямоугольные координаты х, у изображаемой точки по географическим координатам В и L. .Число возможных функциональных зависимостей и, следовательно, проекций неограниченно. Необходимо лишь, чтобы каждая точка B, L эллипсоида изображалась на плоскости однозначно соответствующей точкой х, у и чтобы изображение было непрерывным.

По характеру искажений проекции разделяются на равноугольные (или конформные), равновеликие (или эквивалентные) и произвольные. 

Для пересчета координат из одной геодезической системы в другую используются семь параметров преобразования:

• T_x, T_y, T_z - линейные параметры;

• ω_x, ω_y, ω_z - угловые параметры;

• m - масштабный коэффициент.

Переход от пространственных прямоугольных координат исходной геодезической системы (1) к определяемой (2) осуществляется следующим образом:

X₂ = X₁ + T_x – ω_yZ₁ + ω_zY₁ + mX₁; Y₂ = Y₁ + T_y + ω_xZ₁ - ω_zX₁ + mY₁; Z₂ = Z₁ + T_z – ω_xY₁ + ω_yX₁ + mZ₁

В Таблице 1 приведены значения параметров преобразования геодезических систем координат, наиболее часто используемых в Российской Федерации.

Таблица 1

Направление преобразования	Параметры преобразования
	Tx	Ty	Tz	ωx	ωy	ωz	m
от СК-42 к ПЗ-90	+25	-141	-80	0	-0,35	-0,66	1
от ПЗ-90 к СК-95	-25,90	+130,94	+81,76	0	0	0	1
от ПЗ-90 к WGS-84	-1,10	-0,30	-0,90	0	0	-0,20	1-0,12·10-6

Математическая связь пространственных прямоугольных и сфероидальных геодезических координат определяется блоком формул (1.2) и (1.3)

X = (N + H) · cosB · cosL, Y = (N + H) · cosB · sinL, Z = [N · (1 - e²) + H] · sinB;

где N = a · (1 - e² · sin²B)^-0,5 - радиус кривизны эллипсоида в первом вертикале, a – большая полуось эллипсоида, e – эксцентриситет эллипсоида.

H = Z / sinB - N · (1 - e²), L = arctg(Y / X), B⁽ⁱ⁾ = arctg[(Z + N^(i-1) · e² · sinB^(i-1)) · (X² + Y²)^-0.5];

где I – номер итерации, повторяющейся пока |B⁽ⁱ⁾ - B^(i-1)| > ε (ε-требуемая точность)