2 Метод анализа иерархий

2.1Цель работы

Практическое изучение метода анализа иерархий

2.2Теоретические сведения

Метод анализа иерархий, разработанный и опубли­ко­ванный в 1970 году аме­ри­канским ма­те­матиком Саати [3], относится к классу критериальных. Он по­лу­­чил очень ши­ро­кое распро­странение и в настоящее время продолжает ак­ти­в­но применяться - см., например, [6] (задача составления оптимального про­изводственного плана нефтепереработки), [7] (задача оценки недвижимости).

На первом этапе применения метода предусматривается структу­рирование про­­блемы в ви­де иерархии или сети. Иерархия строится с вершины (целей — с точки зрения управ­ле­ния), через промежуточные уровни (критерии, от которых зависят последующие уровни) к самому низкому уровню (который обычно является пе­речнем вариантов выбора).

Иерархия считается полной, если каждый элемент заданного уровня функци­о­нирует как критерий для всех эле­мен­тов нижестоя­щего уровня. В против­ном случае иерархия — не­полная. Нетрудно понять процесс определения ве­сов в случае не­полной иерархии, так как используются приоритеты соотве­тс­т­ву­ю­щего элемента, по отношению к которому произ­во­дится оценка, т. е. ие­рархия может быть разделена на подиерархии, имеющие общим са­мый вер­хний элемент.

Для объяснения метода анализа иерархий рассмотрим пример, ил­люстриру­ю­щий иерар­хи­ческое пре­дставление задачи. Предположим, что перед нами сто­­­ит задача выбора авто­мо­биля из со­вокупности, члены которой (модели ав­то­мобилей) обозначаются как А, Б, В и Г.

Определив на первом (высшем) уровне общую цель — «Автомобиль» - н­а вто­ром уровне на­хо­дя­т­ся пять факторов или критериев, уточ­няю­щих цель, и на третьем (нижнем) уровне нахо­дятся четыре автомобиля - кан­ди­дата, кото­рые должны быть оценены по отношению к критериям вто­рого уровня.

В качестве критериев, определяющих наш выбор, используются такие критерии:

1. Вместительность салона и багажника

2. Экономичность (расход горючего)

3. Ходовые качества

4. Дизайн

5. Стоимость

Следующим шагом метода после выполнения шага иерархического или сете­во­го во­спро­изведения проблемы производится установление приоритетов кри­­териев и оценка каждого вариантов альтернативы по критериям. В методе анализа иерархий элементы задачи срав­ниваются попарно по отношению к их воздействию («весу», или «интенсивности») на об­щую для них характе­ри­стику. Проведем парные сравнения, приводящие к мат­ричной фор­ме. Сра­в­ни­вая набор составляющих проблемы друг с другом, полу­чаем следующую ква­д­­ра­т­­ную матрицу:

Очевидно, что эта матрица имеет свойства обратной симметрич­ности, т. е.

где индексы i и j относятся к строке и столбцу соответственно.

Пусть А₁, А₂, А_з, ..., А_n — множество из n элементов и w₁, w₂ w₃, ..., w_n — со­от­ветственно их веса, или интен­сив­ности. С исполь­зованием метода анализа ие­рархий вес, или интенси­в­ность, каждого элемента сравниваются с весом, или интенсивностью, любого другого эле­­мента множества по отношению к об­щему для них свойству или цели. Сравнение весов можно представить ква­дратной таблицей, в которой числа могут быть расположены сле­дующим образом

Если w₁, w₂, w₃ ..., w_n неизвестны заранее, то попарные сравнения элементов про­из­во­дя­тся с ис­пользованием субъективных суждений, оцениваемых чи­сле­нно по некоторой шка­ле, а вслед за чем решается проблема нахождения ком­понент w.

Для фиксации результата сравнения пары альтернатив может использоваться, в частности, шкала, предложенная автором метода:

1  - равноценность

3 - умеренное превосходство

5 - сильное превосходство

7 - очень сильное превосходство

9 - высшее (крайнее) превосходство

Значения 2,4,6,8 используются для обозначения промежуточной между пере­численными значениями степени превосходства.

Если элемент i важ­нее элемента j, то в клетку заносится положительное це­лое (от 1 до 9); в противном случае — обратное число (дробь). Относи­тель­ная важность любого элемента, сра­вниваемого с самим собой, равна 1; поэ­то­му диагональ матрицы (элементы от ле­вого верхнего угла до нижнего пра­вого) содержит только единицы. Симметричные клет­ки за­по­лняются обрат­ны­ми величинами, т. е. если элемент А воспринимается как «слегка более ва­жный» (3 на шкале) относительно элемента Б, то считаем, что элемент Б «сле­­г­ка менее важен» (1/3 на шкале) относительно элемента А.

Когда проблемы представлены иерархически, матрица состав­ляется для сра­в­не­ния от­но­сительной важности кри­териев на вто­ром уровне по отношению к общей цели на первом уровне. Подоб­ные матрицы должны быть по­ст­ро­ены для парных сравнений каж­дого ва­рианта альтернативы на третьем уровне по отношению к критериям второго уро­вня. Ма­трица составляется, если запи­сать сравнивае­мую цель (или критерий) вверху и пере­чи­слить сравни­вае­мые эле­менты слева и сверху.

В примере потребуется построить шесть таких матриц.

Одна матрица создается для второго уровня иерархии, например,

	Кр1	Кр2	Кр3	Кр4	Кр5
Кр1	1	5	3	7	6
Кр2	1/5	1	1/3	5	3
Кр3	1/3	3	1	6	3
Кр4	1/7	1/5	1/6	1	1/3
Кр5	1/6	1/3	1/3	3	1

и пять матриц — для третьего уровня, например,

Вместительность:

	А	Б	В	Г
А	1	1	2	4
Б	1	1	4	3
В	1/2	1/4	1	3
Г	1/4	1/3	1/3	1

Экономичность:

	А	Б	В	Г
А	1	3	5	7
Б	1/3	1	3	2
В	1/5	1/3	1	3
Г	1/7	1/2	1/3	1

Ходовые качества:

	А	Б	В	Г
А	1	3	5	7
Б	1/3	1	3	2
В	1/5	1/3	1	3
Г	1/7	1/2	1/3	1

Дизайн:

	А	Б	В	Г
А	1	2	4	8
Б	1/2	1	3	2
В	1/4	1/3	1	2
Г	1/8	1/2	1/2	1

Стоимость:

	А	Б	В	Г
А	1	1	3	2
Б	1	1	1	2
В	1/3	1	1	1/2
Г	1/2	1/2	2	1

Сравниваемые попарно элементы — это воз­можные варианты выбора авто­мо­биля. Срав­ни­вается, насколько более жела­телен или хорош тот или иной ав­томобиль для удов­ле­т­во­рения каж­дого критерия второго уровня. Получаем пять мат­риц суждений размерностью 4х4, по­ско­льку имеется пять критериев на вто­ром уровне и четыре автомобиля, которые по­парно сра­вниваются по каждо­му из критериев.

Из группы матриц парных сравнений формируется набор ло­кальных при­о­ри­те­тов, ко­то­рые выражают относи­те­льное влияние множества элементов на эле­мент примыкающего сверху уровня. Находим относительную силу, ве­ли­чину, ценность, желательность или ве­ро­ят­ность каждого отдельного объекта че­рез «решение» мат­риц, каждая из которых об­ла­дает обратно­сим­мет­рич­ны­ми свойст­вами. Для этого нужно вычислить множество собст­ве­н­ных ве­к­то­­ров для каждой матрицы, а затем нормализовать результат к еди­нице, по­лу­чая тем самым вектор приоритетов. Вычисление собственных векторов за­ме­ня­ется более про­стым приближенным вычислением прио­ритетов каждого критерия в виде сред­него геомет­ри­че­с­кого. Для этого элементы в каждой стр­оке перемножаются и из каждого произве­де­ния изв­ле­­­кается корень n-й степени, где n — число элементов (вариантов альте­рна­тивы). Полу­че­н­ный та­ким образом столбец чисел нормализуется деле­нием каждого числа на сум­му всех чисел. Таким образом, можно определить не только порядок приори­те­тов каждого отдель­ного элемента, но и величину его приоритета. Для нашего примера имеем:

	Кр1	Кр2	Кр3	Кр4	Кр5	П		P
Кр1	1	5	3	7	6	630.00	3.63	0.50
Кр2	1/5	1	1/3	5	3	1.00	1.00	0.14
Кр3	1/3	3	1	6	3	18.00	1.78	0.25
Кр4	1/7	1/5	1/6	1	1/3	0.00	0.28	0.04
Кр5	1/6	1/3	1/3	3	1	0.06	0.56	0.08

Для матриц третьего уровня:

Вместительность:

	А	Б	В	Г	П		X
А	1	1	2	4	8.00	1.68	0.36
Б	1	1	4	3	12.00	1.86	0.39
В	1/2	1/4	1	3	0.38	0.78	0.17
Г	1/4	1/3	1/3	1	0.03	0.41	0.09

Экономичность:

	А	Б	В	Г	П		X
А	1	1	2	4	105.00	3.20	0.59
Б	1	1	4	3	2.00	1.19	0.22
В	1/2	1/4	1	3	0.20	0.67	0.12
Г	1/4	1/3	1/3	1	0.02	0.39	0.07

Ходовые качества:

	А	Б	В	Г	П		X
А	1	1	2	4	189.00	3.71	0.60
Б	1	1	4	3	6.67	1.61	0.26
В	1/2	1/4	1	3	0.09	0.54	0.09
Г	1/4	1/3	1/3	1	0.01	0.31	0.05

Дизайн:

	А	Б	В	Г	П		X
А	1	1	2	4	64.00	2.83	0.54
Б	1	1	4	3	3.00	1.32	0.25
В	1/2	1/4	1	3	0.17	0.64	0.12
Г	1/4	1/3	1/3	1	0.03	0.42	0.08

Стоимость:

	А	Б	В	Г	П		X
А	1	1	3	2	6.00	1.57	0.37
Б	1	1	1	2	2.00	1.19	0.28
В	1/3	1	1	1/2	0.17	0.64	0.15
Г	1/2	1/2	2	1	0.50	0.84	0.20

Приоритеты синтезируют­ся, начиная со второго уровня вниз. Локальные при­­­о­ритеты пе­ре­­множаются на приоритет соответствующего критерия на вы­ше­стоя­щем уровне и сум­ми­руются по каждому элементу в соответствии с кри­териями, на которые воздействует этот элемент. Это дает составной, или гло­бальный, приоритет того элемента, который затем ис­пользуется для взве­ши­вания локальных приоритетов элементов, сравниваемых по отно­ше­нию к нему как, к критерию и расположенных уровнем ниже. Таким образом, для вы­чи­сле­­­ния веса каждого варианта на третьем уровне необходимо найти сум­му произ­ве­дений веса каждого варианта по каждому критерию на величину приоритета данного критерия:

В условиях рассматриваемого примера имеем:

Весьма важным является так на­зываемый индекс согласованности, который дает ин­фор­ма­цию о степени нарушения численной (кардинальной, ) и тран­зити­вной (поряд­ковой) согласованности. Для улучше­ния согла­сованности рекомендуется произве­сти по­иск дополнительной ин­фо­р­ма­ции и пересмотр данных, использованных при пост­ро­ении шка­лы. В дру­гих процедурах построения шкал отношения нет структурно порож­ден­ного ин­де­к­са. Вместо традиционно исполь­зуемых при построении ординальных шкал ( при использовании значений 0,1,2 для выражения предпоч­те­ний), как уже было отмечено выше, в матрицах парных сравнений метода ис­поль­зуются обратные величины .

Индекс согласованности в каждой матрице и для всей иерархии может быть при­­ближенно получен вычислениями вручную. Сначала суммируются эле­ме­н­­ты каждого столбца суж­дений, затем сумма первого столбца умножается на ве­личину первой компоненты нор­ма­лизо­ванного ве­­ктора приоритетов, сум­ма второго столбца — на вторую компоненту и т. д. Затем по­лу­ченные чи­сла суммируются. Если обозначить эту сумму как , то для ин­дек­са со­гла­со­ва­нности (ИС) имеем:

,

где n — число срав­ниваемых элементов.

Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном вы­­боре коли­че­с­твенных суждений из шкалы 1/9, 1/8, 1/7,..., 1,2, ...,9. Средние со­гласованности для слу­чай­ных матриц (CC - случайная согласованность) имеют такие значения:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
СС	0	0	0,58	0,9	1,12	1,24	1,32	0,41	0,45	1,49

Отношение согла­сованности (ОС) получим, разделив ИС на число, соответ­с­т­­вующее случайной согла­сованности матрицы того же порядка.

Для матрицы первого уровня данного примера имеем:

ИС=(5,29-5)/4=0,07

ОС=0,07/1,12=0,066

Для матриц третьего уровня:

ОС₁=0,06

ОС₂=0,04

ОС₃=0,05

ОС₄=0,03

ОС₅=0,07

Приемлемой считается величина ОС порядка 10% или менее. В некоторых слу­чаях можно допус­тить 20%, но не более. Если ОС выходит из этих преде­лов, то нужно повторно ис­сле­довать задачу и проверить свои суждения.