Новые модели и методы прогнозирования фондовых индексов - Недосекин А. О

А. Недосекин. Новые модели и методы прогнозирования фондовых индексов

Фиксируются все стартовые значения прогнозируемых фондовых индексов (эти значения известны или формируются исследователем на основе дополнительных соображений);

Фаза 2. Анализируются экзогенные макроэкономические тенденции на всем интервале прогнозирования: валовый внутренний продукт, инфляция, соотношение национальной валюты к российскому рублю;

Фаза 3. Количественно определяются рациональные тенденции движения капиталов по табл. 2 в текущий момент прогноза:

Фаза 4. Прогнозируется расчетный коридор доходности по кумулятивным индексам, на основе следующих специализированных моделей:

-премии за риск для облигаций;

-эластичности доходности по фактору рентабельности капитала для акций и паев взаимных фондов;

-приводимости параметров – для акций второго эшелона (с низкой капитализацией);

Фаза 5. Оценивается доходность и риск индексных активов

Фаза 6. Моделируется прогнозное долевое соотношение в обобщенном инвестиционном портфеле (A - акции, B - облигации, N – нефондовые активы) на основе специализированных моделей ребалансинга;

Фаза 7. Прогнозируется значение индекса и уровня рентабельности инвестиционного капитала;

Фаза 8. Прогнозное дискретное время увеличивается на единицу, и процесс прогнозирования возобновляется, начиная с этапа количественного анализа тенденций по табл. 2 (фаза 3). Если прогноз завершен, переходим к следующей фазе;

2

А. Недосекин. Новые модели и методы прогнозирования фондовых индексов

Фаза 9. Проводится перевод индексов в национальной валюте к индексам в рублях (стандартный вид индекса);

Фаза 10. Оценивается расчетный коридор финальной доходности для индексов стандартного вида;

Фаза 11. Строится экспертная оценка финальной доходности и риска по индексам стандартного вида.

Теперь дело за тем, чтобы отлить выработанные принципы в математические модели и провести их аппробацию на расчетном примере. В качестве такого расчетного примера в нашей работе выступает фондовый рынок США, прогнозируемый на интервале 2002 – 2003 г.г.

1.Классификация экономических регионов и индексов. Обозначения

Все индексы, которые нам следует прогнозировать и наблюдать, подразделяются на три большие группы:

Индексы долговых обязательств (к ним относим государственные облигации, облигации субъектов региона, банковские депозиты, корпоративные обязательства и эмиссионные ипотечные ценные бумаги);

Индексы акций (к ним относим собственно акции с высокой и низкой капитализацией (1-ый и второй эшелоны соответственно), а также паи взаимных индексных фондов – разрешенные активы для пенсионных инвестиций по законодательству РФ);

Индексы макроэкономических факторов (к ним относим валовый внутренний продукт, инфлятор, кросс-курс валюты по отношению к рублю,

а также PE Ratio).

Также мы предполагаем, что существует взаимно однозначное соответствие между индексом и экономическим регионом, который мы далее будем называть держателем индекса. Предполагаем, что все бумаги или тенденции, участвующие в формировании того или иного индекса, выпущены или имеют место на географической территории региона – держателя индекса. Выделяем следующие регионы, представляющие интерес для исследований:

США и Канада (USA);

Россия (RU);

Европейский союз (EC);

Англия (GB);

Япония (JAP);

Регион развивающихся стран (EMM).

3

А. Недосекин. Новые модели и методы прогнозирования фондовых индексов

Внастоящее время мы проводим детальное моделирование только двух экономических регионов - USA и RU (в нашей статье приводится пример только USA). Другие регионы исследовать пока нецелесообразно, поскольку инвестирование накопительной составляющей пенсий от лица Пенсионного Фонда РФ в зарубежные активы начнется, согласно Федеральному Закону РФ «Об инвестировании ...» [3] не ранее 2005 года. Что же до USA, то эта страна была и остается мировым финансовым центром, и поэтому все, что происходит там, оказывает прямое влияние на другие рынки, и, в том числе, естественно, на российский.

Взависимости от типа индекса, варьируются применяемые модели и методики прогнозирования. Изложим эти модели и методики последовательно, от фазы к фазе процесса прогнозирования.

Впроцессе изложения математических соотношений будем применять следующие

обозначения. Точка после символа ( A ) означает, что рассматривается треугольное нечеткое число или нечеткая функция (последовательность) [4]. Во всех прочих случаях по умолчанию предполагаются действительные числа, функции,

параметры. Для треугольного числа A Аmin, Аav, Amax – минимальное, среднее и максимальное значения числа.

Также мы обозначаем:

t – дискретное прогнозное время (где каждый отсчет соответствует временному интервалу – кванту дискретизации), tнач – начальный отсчет

прогноза, tкон – конечный отсчет прогноза, T – размер кванта дискретизации (по умолчанию 1 квартал);

xA,B,N – доли активов акций облигаций и нефондовых активов в обобщенном инвестиционном портфеле соответственно; x – размер ребалансирования доли соответствующего актива при переходе к следующему временному

отсчету прогноза; K1 , K 2 - нечеткие параметры в модели инвестиционной динамики, при оценке прогноза по x;

r , σ - финальная (конечная) доходность по индексу и риск

(среднеквадратическое отклонение) – треугольные нечеткие числа; r \ , σ \ - то же, но то же, но в пересчете индекса с национальной валюты на рубли;

R (t) - расчетный коридор доходности по индексу – треугольная нечеткая последовательность;

аi, bij – параметры модели рациональной динамики инвестиций (таблицы 1 и 2);

∆r ij - матрица расчетных премий за риск по всем перечисленным видам долговых обязательств – матрица треугольных нечетких чисел;

P (t 1) - прогнозное значение индекса – треугольная нечеткая функция; P \ (t 1) - то же, но в пересчете индекса с национальной валюты на рубли;

4

А. Недосекин. Новые модели и методы прогнозирования фондовых индексов

E (t 1) - прогнозное значение темпов роста объемов корпоративной

прибыли из расчета на одну среднюю акцию, участвующую в формировании индекса акций первого эшелона (для США – S&P500, для России – RTS) – треугольная нечеткая функция;

GDP (t 1) - прогнозный размер темпа прироста валового внутреннего продукта – треугольная нечеткая функция;

I (t 1) - прогнозный размер темпа инфляции – треугольная нечеткая функция;

J (t 1) - прогнозный размер кросс-курса национальной валюты относительно рубля – треугольная нечеткая функция;

PE (t 1) - прогноз по индексу PE Ratio - треугольная нечеткая функция;

(t 1) - прогнозный множитель для фактора PE Ratio; PE уст - уставочное (рациональное) значение для индекса, определяемое по таблице 1;

α , β - нечеткие параметры в уравнении линейной регрессии f (t) α t β ;

γ , - нечеткие факторы эластичности одного параметра относительно другого;

Z - коэффициент приведения расчетной доходности инедса акций первого эшелона к тому же для второго эшелона – треугольное нечеткое число;

Sh (t 1) - прогнозное значение модифицированного показателя Шарпа по

обобщенному инвестиционному портфелю из акций и облигаций – треугольная нечеткая функция.

2. Модель и методика для фазы 1 (старт)

Для этой фазы мы устанавливаем начальное и конечное прогнозное время (tнач и tкон соответственно), фиксируются известные действительные значения I(tнач), GDP(tнач), PE(t нач ) , - и по таблице 1 принимается решение о стартовом

размещении капитала:

В ходе моделирования обнаружилось, что когда на рынке доминируют отзывные тенденции, стартовое размещение активов вырождено, и невозможно отследить динамику портфеля, чувствительность его долей к колебаниям экзогенных факторов. Поэтому в модели нагляднее в любом случае стартовать с контрольной портфельной точки (по 50% акций и облигаций в портфеле). Если отзывные тенденции перетока капитала сохранятся, то портфель быстро выродится, и это можно будет наблюдать в динамике.

Для всех индексов, отвечающих данному экономическому региону, устанавливается их стартовое значение P(tнач).

5

А. Недосекин. Новые модели и методы прогнозирования фондовых индексов

Привязка дискретного времени к непрерывному осушествляется таким образом, что значения индексов и параметров для дискретного времени соответствуют значениям последнего торгового дня соответствующего квартала.

По обобщенному инвестиционному портфелю устанавливаются текущие значения доходностей и рисков модельных классов акций и облигаций r(tнач) и (tнач), а также значение модифицированного показателя Шарпа Sh(tнач ) на основании анализа недавних исторических данных (достаточно последнего квартала истории перед прогнозом; оценка Sh(tнач ) берется тогда как среднее по трем месяцам предшествующей истории обобщенного инвестиционного портфеля).

Устанавливается текущее прогнозное время t = tнач , и процесс переходит на фазу 2

– анализ макроэкономических тенденций.

3.Модель и методика для фазы 2

Всилу существенной нестационарности макроэкономических процессов

(допущение экспертной модели) мы не беремся прогнозировать их с помощью известных методов авторегрессионного анализа, как, скажем, в моделях ALM [5]. Взамен мы предлагаем искать их в форме полосы с прямолинейными границами вида.

При этом α и β выбираются на основе дополнительных соображений экспертной модели. В частности, ожидаемый рост инфляции в США на среднесрочную перспективу означает, что β > (0, 0, 0). В России, наоборот, β = (0, 0, 0), т.к. не

ожидается роста темпов инфляции, но диапазон колебаний этих темпов достаточно широк.

По завершении этой фазы прогнозирования мы имеем оценки GDP (t) (ВВП), I (t) (инфляция), J (t) (валюта), t [tнач, tкон]. Также мы прогнозируем

E (t) (корпоративный доход) по известной формуле Фишера для связи процентных ставок:

и процесс переходит на фазу 3 – анализ ожидаемой инвестиционной динамики.

6

А. Недосекин. Новые модели и методы прогнозирования фондовых индексов

4. Модель и методика для фазы 3

Для шага прогнозирования (t+1) мы должны на шаге (t) оценить инвестиционные тенденции по таблице 2, чтобы правильно определить направления перетока капитала за время [t, t+1]. При этом входом в таблицу служат значения Iav(t) и PEav (t) . Таким образом, мы формируем упреждающее воздействие на

инвестиционный портфель с упреждением на один шаг относительно плановой макроэкономической динамики.

Так, для входной ситуации №4, которую мы распознаем как призывнопромежуточная при стартовом инвестировании и как призывную при перетоке капиталов, мы прогнозируем увеличение размера капиталов, инвестированных в акции и облигации, и соответствующий рост уровня кумулятивных индексов. Сразу же отметим, что уровень индекса облигаций является низкоэластичным фактором в отношении объемов операций, а уровень индекса акций – высокоэластичным фактором. Это обусловлено тем, что процентные ставки по облигациям колеблются в достаточно узких пределах; снизу они ограничены уровнем инфляции (или предельно приближены к ней), а сверху – уровнем прибыльности корпораций, позволяющим надежно обслуживать накопленную кредиторскую задолженность без существенного ухудшения своего финансового состояния (при минимальном уровне риска банкротства). Хотя для справедливости отметим, что резкое падение курсов акций вызвало настолько мощный переток денег в облигации США, что столь низкого уровня процентных ставок не отмечалось с 1960 года. Но эту тендженцию здесь мы рассматриваем как временную. Рано или поздно ставки выровняются, потому что большая часть капиталов, сейчас осевших в облигациях США, перетечет за рубеж.

Далее процесс прогнозирования переходит на фазу 4 – прогноз расчетного коридора доходности по индексу.

5.Модели и методики для фазы 4

Взависимости от типа индекса (индекс акций первого эшелона, акций второго эшелона или облигаций) мы избираем соответствующий набор моделей и методик. Рассмотрим по порядку.

5.1.Модель и методика оценки расчетного коридора доходности по индексу облигаций

Всилу низкой эластичности индекса облигаций к рыночным объемам торгов мы решаем пренебречь этой эластичностью в нашей модели и построить прогноз доходности по облигациям на базе матрицы премий за риск (таблица 3). Значения в

7

А. Недосекин. Новые модели и методы прогнозирования фондовых индексов

матрице определяются нами на основе дополнительных макроэкономических сооброжений экспертной модели.

Таблица 3. Премии за инвестиционный риск по облигациям

Приведенная модель премий за риск является стационарной и действует на всем интервале прогнозирования.

И расчетный коридор доходности по j-му типу обязательств, эмиттированных в i- ом экономическом регионе, определяется формулой:

5.2.Модель и методика оценки расчетного коридора доходности по индексу акций первого эшелона

Высокая эластичность фактора текущей доходности по акциям (на уровне торгового дня, недели итд) по фактору роста или спада объема торгов вызывает существенные ценовые колебания индекса. Однако при рассмотрении модели рационального поведения инвестора мы отмечаем, что бурная динамика котировок на уровне среднесрочной перспективе элиминируется тем, что вступает в действие фактор переоцененности/недооцененности акций. И, таки образом, индекс акций в среднесрочной перспективе формирует циклический тренд вокруг своих средних значений, обусловленных рациональным уровнем PE Ratio. Поэтому мы принимаем решение не моделировать объемную эластичность доходности индекса акций, а учесть ее в модели косвенно на уровне эластичности по фактору PE Ratio.

где

8

А. Недосекин. Новые модели и методы прогнозирования фондовых индексов

и эти параметры определяются на основе дополнительных соображений экспертной модели.

В том, что коэффициент эластичности скачкообразно изменяется при переходе PE через уставочное значение, мы отражаем ассиметричность инвестиционного выбора в преломлении на тип инвестора. Так, консервативный инвестор, почувствовав неладное и минимизируя риски, выводит активы быстрее, чем если бы он вводил их при улучшении инвестиционного климата. Наоборот, агресиивный инвестор будет быстрее покупать, чем продавать, т.е. не минимизировать риски, а максимизировать прибыль. В глазах же инвестора промежуточного типа рациональные темпы прилива-отлива капитала совпадают; из контрольной портфельной точки он побежит влево или вправо по линии эффективной границы с одной и той же скоростью, если текущее значение PE Ratio будет симметрично ложиться справа или слева от уставки, соответственно.

Линейный вид модели (6) по умолчанию предполагает отсутствие глубоких колебаний текущего PE Ratio от своего уставочного значения, т.к. при наличии эффективных средств распознавания рыночной ситуации (а у нас все эти средства описаны) инвестор будет оперативно корректировать свою инвестиционную стратегию, и колебания индекса PE Ratio не будут сильноволатильными.

То есть модель предполагает детальную настройку на инвестиционную ситуацию (инвестиционную тенденцию). Потому что в реальности рациональный инвестор очень пристально следит за макроэкономической ситуацией, и его решения по управлению фондовым капиталом являются точными (дифференцированными) и оперативными (алертными), что и отражено в модели.

Модель (6) предполагает механизм саморегуляции рынка в режиме отрицательной обратной связи. Согласно соотношениям, переоценка индекса влечет отрицательную доходность и спад уровня, что, в свою очередь, приводит к недооценке и возникновению положительной доходности. Все вместе это порождает цикличное поведение, цикличный тренд.

5.3.Модель и методика оценки расчетного коридора доходности по индексу акций второго эшелона

На фондовых рынках наблюдается тенденция, когда акции с низкой капитализацией ориентируются на тенденции акций с высокой капитализацией.

9

А. Недосекин. Новые модели и методы прогнозирования фондовых индексов

Особенно это справедливо для технически слабых фондовых рынков, когда обращающиеся на нем акции не имеют «собственного слова», то есть отвязаны от своих фундаментальных характеристик, и не существует на рынке игроков, которые могли бы привести в соответствие фундаментальные параметры акции и ее цену. Так, российский фондовый рынок живет и еще некоторое время будет жить с оглядкой на рынок американский, следуя в фарватере американской динамики, а акции, эмиттированные в российской глубинке, не отводят взора от акций гигантов отечественной индустрии.

Парадоксально, но в краткосрочной перспективе корреляция индексов акций первого и второго эшелона близка к нулю. Связано это с тем, что акции второго эшелона обращаются быстрее акций первого эшелона и также быстро изменяются в цене. Если рассмотреть корреляцию этих акций на долгосрочной основе, элиминировав низкопериодические колебания индексов, то такая корреляция будет стремиться к единице по тенденции.

Поэтому справедливо будет считать, что на уровне монотонного фондового портфеля в среднесрочной перспективе существует линейная зависимость между расчетной доходностью акций первого и второго эшелона:

Косвенно наш вывод подтверждают и результаты моделирования при помощи программы SBS Portfolio Optimization System, разработанной Siemens Business Servises [6] (рис. 1).

Рис. 1. Модельный портфель из акций первого и второго эшелонов

Видно, что кривизна параболы эффективной границы невилика (даже при нулевой корреляции), а по мере роста корреляции эта парабола будет только спрямляться.

10