2.1.2 Задание оператора преобразования уравнением «вход-выход»

Рассмотрим одномерное, непрерывное, стационарное ЛДЗ с оператором преобразования A_t, который задан неявно линейным дифференциальным уравнением

A(D)y(t)=B(D)u(t),

где A(D) = a₀+a₁D+a₂D²+…+a_nDⁿ, B(D) = b₀+b₁D+b₂D² +…+b_mD^m , D=d/dt.

Общее решение этого уравнения имеет две составляющих: y(t)=y₁(t)+y₂(t), где y₂(t) – некоторое частное решение, а y₁(t) – свободная составляющая решения.

Если частное решение y₂(t) записывается в форме вынуждающей функции u(t), то в теории управления его называют вынужденной (установившейся) составляющей y₂(t)=y_в(t) выходного сигнала. При этом y₁(t)=y_п(t) называют переходной составляющей процесса на выходе ЛДЗ.

Если y_п(t)0 при t∞, то ЛДЗ называется устойчивым (асимптотически). В противном случае ЛДЗ либо неустойчиво (y_п(t) не затухает, а возрастает по величине), либо находится на границе устойчивости. При этом может быть два вида границы устойчивости: а) колебательная, когда y_п(t) имеет вид гармонических колебаний и б) апериодическая, когда y_п(t)=const.

Для выяснения математических условий устойчивости, рассмотрим выражение для переходной составляющей процесса

,

где p_i – корни характеристического полинома A(p) =A(D) при D=p. В таком виде формула для y_п(t) справедлива, когда все характеристические корни различны. В случае кратного корня p_i, соответствующий ему коэффициент C_i в формуле будет полиномиальной функцией времени (степень полинома меньше коэффициента кратности корня на единицу).

В общем случае эти корни будут комплексными (p_i= α_i+j_i), а общее их число (с учетом кратности) равно n. При этом парциальная составляющая для корня p_i имеет вид . Она будет затухать во времени только при α_i = Re p_i < 0 («левый» корень). Если хотя бы для одного корня α_i>0 («правый» корень), то соответствующая ему парциальная составляющая процесса со временем увеличивает свои значения и ЛДЗ будет неустойчивым. При отсутствии правых корней, но при наличии пары сопряженных корней на мнимой оси (p_i,i+1= j_i), ЛДЗ будет находиться на колебательной границе устойчивости. Если один корень нулевой (p_i = 0), а остальные – «левые», то ЛДЗ находится на апериодической границе устойчивости.

Таким образом, для устойчивости ЛДЗ необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения A(p)=0 были «левыми», т.е. имели отрицательные вещественные части и принадлежали левой полуплоскости.

Устойчивость является важным свойством динамических систем и понимается, как их способность возвращаться в первоначальное (невозмущенное) состояние после прекращения действия возмущений. Таким невозмущенным состоянием может быть, например, некоторый установившийся (вынужденный) режим, описываемый каким-либо частным решением уравнений динамики системы. В частности, это может быть статический (опорный) режим, относительно которого производилась линеаризация.

Характеристические корни {p_i} определяют свойство устойчивости (или неустойчивости), но зависят они сложным образом от значений коэффициентов полинома A(p). Аналитический вид этих зависимостей можно найти только в простейших случаях для полиномов не выше второго порядка. В более сложных случаях численные значения корней можно определить численными методами. Но для исследования устойчивости нужно знать не значения корней, а их положение относительно мнимой оси комплексной плоскости. В математике известны правила и условия, позволяющие судить о «левом» расположении корней полиномов непосредственно по их коэффициентам. Их называют алгебраическими критериями устойчивости.

Наиболее известными из них являются: а) необходимый критерий устойчивости Стодолы; б) критерий Рауса; в) критерий Гурвица и критерий Льенара-Шипара.

а) критерий Стодолы устанавливает необходимое условие устойчивости в виде требования положительности (или отрицательности) всех коэффициентов полинома A(p). При невыполнении условий этого критерия, ЛДЗ либо неустойчиво, либо находится на границе устойчивости.

б) критерий Рауса имеет табличную форму: по специальному алгоритму заполняются клетки таблицы Рауса и проверяются знаки элементов ее первого столбца. Положительность всех этих элементов гарантирует «левое» расположение всех корней полинома и, следовательно, и устойчивость ЛДЗ.

в) критерий Гурвица имеет аналитическую форму и более удобен в применении. Здесь предварительно составляется матрица Гурвица размером nxn по следующему правилу: вектор коэффициентов (a_n–1, a_n–2,…, a₁, a₀) располагается по главной диагонали, а затем заполняется нижний треугольник матрицы по столбцам (вниз от диагонального элемента) в порядке возрастания индексов коэффициентов. Верхний треугольник заполняется так же, но вверх от диагонали и в порядке убывания индексов. Элементы с несуществующими индексами равны нулю.

Затем для полученной матрицы записываются и вычисляются все главные диагональные миноры ₁, ₂, ₃, …, _n1, _n. Если все эти миноры (определители Гурвица) положительны, то ЛДЗ устойчиво. В противном случае оно либо неустойчиво, либо на границе устойчивости. Колебательной границе соответствует, при всех a_i>0 и положительных минорах ₁, ₂, ₃, …, _n2 , условие _n1=0.

Апериодической границе устойчивости соответствует, при положительных минорах ₁, ₂, ₃, …, _n1, условие a₀=0.

Эти граничные условия удобно использовать при определении областей устойчивости замкнутых САР в плоскости каких-либо двух параметров системы ₁ и ₂.

Критерий Льенара-Шипара, по сути, является модификацией критерия Гурвица: при a_i>0 (i=0, 1, …, n) для устойчивости ЛДЗ c четным n требуется положительность определителей Гурвица нечетных порядков, а для нечетного n, положительность определителей четных порядков.

Исследование ЛДЗ на устойчивость, например по критерию при n=1 и n=2 показывают, что условие положительности коэффициентов (необходимое условие), в этих простых случаях является и достаточным для «левого» расположения корней. Если n >2, то для устойчивости обязательно выполнение дополнительных условий в виде неравенств на соотношение коэффициентов.

Так, например, при n=3 A(p)=a₀+a₁p+a₂p²+a₃p³ кроме a_i>0 еще необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство a₁a₂a₀a₃>0. Случай равенства в этом выражении соответствует колебательной границе.

При n=4 A(p)=a₀+a₁p+a₂p²+a₃p³+a₄p⁴ и для «левого» расположения корней необходимо и достаточно, чтобы a₁(a₂ a₃a₁ a₄) a₀a >0. Случай равенства нулю в этом выражении соответствует колебательной границе устойчивости.