2.3.3 Частотные и временные характеристики типовых звеньев

а) Безынерционное звено: W(p)=K.

Частотные характеристики: W(j)=Ke^j0; M( (;L()=20lgK. Частотный годограф – это точка на комплексной плоскости c координатами (K; 0).

Временные характеристики: w(t)=£^–1{K}=K(t); h(t)=£^–1{K/p}=K1(t).

Уравнение вход – выход: y(t)=Ku(t).

Ввиду тривиальности характеристик этого звена, его можно объединять с другими множителями стандартного вида. Оно изменяет значение M( в К раз и не вносит искажений по фазе на любой частоте.

б) Дифференцирующее звено: W(p)=Kp.

Частотные характеристики: W(j)= KjM((=/2;

L()=20lgK+20lg . Частотный годограф – прямая линия, совпадающая с положительной частью мнимой оси. При возрастании  точка годографа удаляется от начала координат вверх. ЛАХ звена – это прямая линия с наклоном +20 дБ/дек, проходящая через точку 20lg K на оси ординат.

Временные характеристики: w(t)=£^–1{Kp}=K⁽¹⁾(t); h(t)=£^–1{K}=K(t).

Уравнение вход – выход: y(t)=K u(t).

в) Интегрирующее звено: W(p)=K/p.

Частотные характеристики: W(j)= K/jM(/(=–/2;

L()=20lgK–20lg. Частотный годограф – прямая линия, совпадающая с отрицательной частью мнимой оси. При возрастании частоты  точка годографа приближается к началу координат.

Временные характеристики: w(t)=£^–1{K/p}=K1(t); h(t)=£^–1{K/p²}=Kt1(t).

Уравнение вход – выход: y(t)=Ku(t).

г) Форсирующее звено 1-го порядка: W(p)=K(1pT).

Частотные характеристики: W(j)= K(1jM( 

(= arctg ; L()=20lgK+20lg . Частотный годограф – прямая линия, параллельная положительной (если знак «+») или отрицательной (если знак «–») части мнимой оси. Соответственно этому при возрастании  точка годографа удаляется от вещественной оси вверх (или вниз). Асимптотическая ЛАХ: до частоты сопряжения _c=1/T – прямая с наклоном 0 дБ/дек на расстоянии 20lgK от оси абсцисс, а правее ее – прямая с наклоном +20 дБ/дек. При 0 фазовая характеристика (ЛФХ) (0, а при   (/2 (знак «+» для минимально-фазового звена). При этом (_с)=/4, а график (lg ) оказывается симметричным относительно точки на частоте сопряжения.

Временные характеристики: w(t)=£^–1{K (1 pT)}=K((t)  T⁽¹⁾(t));

h(t)= =K(1(t)  T⁽¹⁾(t)).

Уравнение вход – выход: y(t)=K(u(t)  T u(t)).

д) Апериодическое звено первого порядка: W(p)=K/(1 pT).

Частотные характеристики: W(j)=K/(1 jT); M( 

( arctg T; L()=20lgK –20lg ;

Частотный годограф – для устойчивого звена (верхний знак) – нижняя половина окружности, радиусом R=K/2 с центром в точке (K/2; j0), а для неустойчивого звена – верхняя половина окружности. При возрастании частоты  точка годографа стремится по дуге окружности в начало координат. Асимптотическая ЛАХ: до частоты сопряжения _c=1/T – прямая линия с наклоном 0 дБ/дек на расстоянии 20lgK от оси абсцисс, а правее ее – прямая с наклоном –20 дБ/дек.

Временные характеристики: w(t)=£^–1{K/(1pT)}= ; h(t)= .

Уравнение вход – выход:  T y(t)+ y(t)=Ku(t).

По графику h(t) для устойчивого звена (верхний знак в формулах) можно определить приближенные значения параметров K и T: K= h(); Tt_п/3, где t_п – время, за которое процесс входит в зону (10.05) h() и далее не выходит из нее.

Полученные выше результаты можно применить для исследования других звеньев первого порядка, для которых передаточные функции отличаются от рассмотренных выше, или содержат их в качестве сомножителей. Например, это могут быть следующие часто встречающиеся ЛДЗ:

а) – реальное дифференцирующее звено;

б) – инерционно-форсирующее звено;

в) – фазовращатель;

г) – апериодическое неустойчивое звено (II).

Поясним кратко особенности исследования свойств каждого из этих звеньев.

а) W(p)=W₁(p)W₂(p), где . Следовательно

L() = L₁()+L₂(); ()=₁()+₂(), а h(p)= =  h(t) = .

Весовую функцию этого звена можно найти как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:

.

б) W(p)=W₁(p)W₂(p), где .

Следовательно, L() = L₁() + L₂(); ()=₁() +₂().

Кроме того, можно записать W(p) и при этом h(t)= . Отсюда следует, что при T₁>T₂ переходная функция h(t) убывает (преобладают свойства форсирующего звена), а при T₁<T₂ она монотонно нарастает (преобладают инерционные свойства).

в) формально этот случай сводится к предыдущему, если считать, что T₁= –T, а T₂=T. Но тогда h(t)= , а W(j) = K(1–jT)/(1+jT)=Ke^{–2arctg T}. При этом L()=20lg K; ()=–2arctg T; (_c)= – /2. Ординаты АЧХ такого звена не зависят от частоты  и постоянны, а фазовый сдвиг, вносимый звеном, всегда отрицательный и изменяется при возрастании частоты от нуля до –.

г) в этом случае , т.е. отличие от ранее рассмотренного варианта передаточной функции неустойчивого апериодического звена только в знаке «» перед дробью. Поэтому их временные характеристики будут отличаться тоже только знаком «минус», а фазовые характеристики – смещением на , так как e^j = 1:

w(t)=£^–1{K/(1+pT)}= ; h(t)= ;

(arctg T ; L()=20lgK – 20lg .

е) Форсирующее звено второго порядка: W(p)=K(1+2Tp+T²p²).

Частотные характеристики: W(j)= K{(1²T²)+j2T}=M()e^j(),

где M( 

L()=20lgK+20lg ; (_с=+/2.

Вид и расположение частотного годографа существенно зависит от величины и знака параметра .

Так, например, если =0, то W(j)=K(1²T²)=K|(1²T²)|e^j(). При этом ()=0, если <_c, и ()= , если >_c. Значение (_c)= 90.

Частотный годограф при >0 (минимально-фазовое звено) начинается при =0 на вещественной оси в точке (K; j0). С возрастанием  точка годографа проходит в положительном направлении (против часовой стрелки) через два квадранта, приближаясь к вещественной оси. На частоте сопряжения _с=T^1 годограф пересекает мнимую ось в точке (0; 2K), где фазовый угол (_с = +90. Каждому новому значению параметра =_i соответствует свой частотный годограф. При <0 (неминимальнофазовое звено) АФЧХ симметричным образом располагается в нижней полуплоскости, проходя через четвертый и третий квадранты.

Амплитудно-частотная характеристика M(= при значениях ||  /2 будет иметь точку минимума на частоте резонанса , а M(_р=2 .

Если =0, то _р=_с, M(_р=0; (_р)=  90.

Если ||> /2, то резонанс отсутствует и АЧХ монотонно возрастает с увеличением частоты. Фазовая частотная характеристика является нечетной функцией параметра  и при  = _с= T^1 (_с)=sign()/2. Различным значениям =_i соответствует семейство АЧХ и ФЧХ, причем крутизна графиков ФЧХ (угол наклона касательных) в окрестности частоты _с возрастает при уменьшении величины .

Если ||1, то W(p)=K(1pT₁)(1pT₂), где нижний знак соответствует <0, а . При этом ЛДЗ эквивалентно двум последовательно соединенным форсирующим звеньям первого порядка. В частности, если =1, T₁=T₂=T, то W(p)= K(1+pT)². Для этих случаев, очевидно, что

L() = L₁() + L₂(); ()=₁() +₂().

Асимптотическая ЛАХ при ||>1, когда T₁T₂, будет иметь три асимптоты с наклонами 0; +20 и +40 дБ/дек и с частотами сопряжения линейных участков _с1=1/T₁ и _с2=1/T₂.

При ||<1 точная ЛАХ L()=20lg M()=20lg+20lg . На частоте сопряжения L(_с)= 20 lg 2, а на частоте резонанса (если ||  /2) L(_р)=20lg2 . Для построения асимптотической ЛАХ при ||<1 используют формулы для низкочастотной и высокочастотной асимптот: до частоты сопряжения _с=T^1 ЛАХ горизонтальна на уровне 20lg , а правее _с – прямая линия с наклоном +40 дБ/дек. Для ФЧХ (_с)=sign()/2, а график ЛФХ (lg ) будет симметричным относительно точки на частоте сопряжения.

Для этого звена не удовлетворяется условие физической осуществимости и рассматривать его временные характеристики не имеет практического смысла.

Уравнение вход – выход: y(t)=K(u+2T u+T² u).

ж) Инерционное звено второго порядка: W(p) = .

Частотные характеристики: W(j)= K{(1²T²)+j2T}^1=M() e^j(),

где M( 

L()=20lgK20lg ; (_с)=– sign()/2.

Частотный годограф при >0 (устойчивое звено) начинается при =0 на вещественной оси в точке (K; j0). При возрастании  точка годографа проходит в направлении по часовой стрелки через четвертый и третий квадранты, приближаясь к началу координат. На частоте сопряжения _с=T^1 годограф пересекает мнимую ось в точке (0; jK/2), где фазовый угол (_с) = 90. Каждому новому значению параметра =_i будет соответствовать свой частотный годограф. При <0 (неустойчивое звено) АФЧХ симметричным образом располагается в верхней полуплоскости, последовательно проходя через первый и второй квадранты.

При =0 (консервативное звено), частотный годограф совпадает с частями вещественной оси: [K; ) при 0<_с и (–; 0) при _с < < , а на частоте сопряжения будет разрыв второго рода в направлении вещественной оси.

Амплитудно-частотная характеристика M(= . Если ||  /2, то АЧХ будет иметь точку максимума на частоте резонанса , где M(_р= . Если || > /2, то резонанс АЧХ отсутствует и M() монотонно убывает с увеличением частоты.

Фазовая частотная характеристика является нечетной функцией параметра  и при =_с=T^1 принимает значение (_с)=sign()/2. Различным значениям =_i соответствует семейство АЧХ и ФЧХ, причем крутизна графиков ФЧХ (угол наклона касательных) в окрестности частоты _с возрастает при уменьшении ||.

В тех случаях, когда ||1, то , где .

При этом ЛДЗ эквивалентно двум последовательно соединенным инерционным звеньям первого порядка, а если =1, то T₁=T₂=T и W(p)= K/(1+pT)². Для этих случаев, очевидно, что L() = L₁() + L₂(), а ()=₁()+₂().

Асимптотическая ЛАХ при ||>1 (T₁T₂) состоит из 3-х асимптот с наклонами 0; 20 и 40 дБ/дек и с частотами сопряжения _с1=1/T₁ и _с2=1/T₂.

При ||<1 точная ЛАХ L()=20lg M()= 20lg20lg . На частоте сопряжения L(_с)= 20 lg /2, а на частоте резонанса (если || /2) значение L(_р)=20lg/2 . Асимптотическая ЛАХ при ||1 представлена низкочастотной и высокочастотной асимптотами. При этом до частоты =_с ЛАХ горизонтальная прямая на уровне 20lg , а правее _с – это прямая линия с наклоном 40 дБ/дек.

Для ФЧХ (_с)=sign()/2, а график (lg ) будет симметричным относительно точки на частоте сопряжения.

Временные характеристики: Для удобства изучения будем рассматривать следующие частные случаи:

1. =0 – консервативное звено (полюсы p_1,2 = j_с= j1/T):

w(t)= £^–1 ; h(t)= ;

Очевидно, что весовая w(t) и переходная h(t) функции такого звена имеют незатухающий колебательный характер, что соответствует колебательной границе устойчивости.

2. ||=1 (полюсы p_1,2=–1/T; –1/T или p_1,2=1/T; 1/T):

w(t)= £^–1 ; ;

Для устойчивого апериодического звена (верхние знаки в формулах) w(t)0, а h(t)K по неколебательному (апериодическому) закону. При этом время переходного процесса t_п(45)T. Для неустойчивого апериодического звена (нижние знаки в формулах) обе эти функции неограниченно возрастают во времени.

3. ||>1; w(t)= £^–1 ;

; полюсы p_1,2=–1/T₁;–1/T₂ или p_1,2=1/T₁; 1/T₂;

Общий вид графиков временных характеристик в этом случае аналогичен предыдущему случаю (верхний знак в формулах соответствует устойчивому звену, когда >1, а нижний знак – неустойчивому, когда <–1). Для устойчивого звена по графику h(t) можно приближенно определить значения K, T₁, T₂: K=h(); касательная в точке перегиба А_x пересекает уровни h(0) и h(), соответственно при значениях t =T₁ и t = T_x+T₁+T₂. При этом время переходного процесса t_п3(T₁+T₂).

4. 0<||<1 – колебательное звено; полюсы p_1,2=–j; :

w(t)= £^–1 ;

.

Для устойчивого колебательного звена, когда 0<<1, весовая функция w(t) затухает до нуля по колебательному закону с периодом T_к=2^–1, а график переходной функции h(t) совершает затухающие колебания относительно уровня h().

Для неустойчивого колебательного звена, когда –1<<0, весовая функция w(t) нарастает во времени по колебательному закону, а график переходной функции h(t) имеет вид расходящихся колебаний с периодом T_к=2^–1.

Для устойчивого колебательного звена по графику h(t) можно приближенно оценить значения параметров его передаточной функции.

Пусть h() – установившееся значение переходной функции; T_к – период затухающих колебаний; A₁ и A₂ – величины первого и второго выбросов переходной функции за уровень h().

Тогда K=h(); , где =2/T_к,  = ln(A₁/A₂)/T_к; =T;

Кроме того, зная параметры передаточной функции T и  этого звена, можно приближенно оценить время затухания колебаний переходной функции t_п и перерегулирование % (относительную величину ее первого выброса):

t_п 3T/; %= 100exp(–/), где = .