Математические модели микроэкономики - Карелина И.Г
.pdf
Лекция 4 Задача потребительского выбора для некоторых функций полез-
ности
4.1. Модель Стоуна
Пусть ai минимально необходимое количество i¡го блага, которое приоб-
ретается потребителем и не является предметом выбора. Поэтому при заданных ценах p = (p1; p2; : : : ; pn) доход b должен быть больше количества денег
b0 = Pn
i=1
a = (a1; a2; : : : ; an):
Пусть числа ®i > 0 характеризуют ценность i¡го блага для потребителя. Тогда функция полезности может быть записана в виде
n |
|
Yi |
|
u(x) = (xi ¡ ai)®i ; ai; ®i > 0; i = 1; : : : ; n: |
(1) |
=1 |
|
Задачу потребительского выбора для функции полезности (1), то есть
n |
|
|
|
|
Yi |
¡ |
ai)®i |
|
|
u(x) = (xi |
max; |
(2) |
||
|
|
7!x=b |
|
|
=1 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
называют моделью Стоуна.
Найдем функции спроса для модели Стоуна. Для этого вычислим частные производные функции u(x)
|
|
|
¡ |
n |
|
|
¡ |
|
@u |
|
|
Yi |
|
|
|
||
|
= |
|
j |
|
(xi ¡ ai)®i = |
|
j |
¢ u(x): |
@xj |
xj |
aj |
=1 |
xj |
aj |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся равенствами (7) из п.2 лекции 3, получим систему
® |
|
|
( xj ¡j aj |
¢ u(x) ¡ ¸pj = 0; j = 1; 2; : : : ; n; |
(3) |
p1x1 + p2x2 + ¢ ¢ ¢ + pnxn = b:
Система (3) определяет функции спроса xj как функции цен pi и дохода b: Выразим из первых n уравнений системы (3) функции xj; получим равенство
xj = aj + |
®j |
¢ |
u(x) |
; j = 1; 2; : : : ; n: |
(4) |
|
pj |
|
¸ |
||||
21
Умножив каждое из равенств (4) на ¸pj и просуммировав их по j = 1; 2; : : : ; n; получим равенство
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
X |
|
Xj |
pjaj ¡ u(x) |
X |
|
|||
¸ |
pjxj ¡ ¸ |
|
®j = 0; |
|||||
j=1 |
=1 |
|
|
|
j=1 |
|
||
ношению |
|
|
|
|
n |
|
jP |
|
из которого, с учетом бюджетного ограничения |
=1n |
pjxj = b; приходим к соот- |
||||||
|
|
u(x) |
|
|
b ¡ pjaj |
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
||
|
|
= |
|
P |
: |
(5) |
||
|
|
n |
||||||
|
¸ |
|
|
jP |
®j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
=1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим полученное в (5) соотношение для |
u(x) |
|
|
|||||
|
|
|||||||
тогда функции спроса в модели Стоуна примут вид ¸ в функции спроса (4), |
||||||||
|
®j ¢ |
µb ¡ i=1 piai |
¶ |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
xj = aj + |
|
P |
|
; j = 1; 2; : : : ; n: |
(6) |
|||
|
n |
|
||||||
|
|
iP |
|
|
|
|
|
|
|
|
pj ¢ |
®i |
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
Функции спроса в модели Стоуна имеют следующую экономическу интерпретацию. Вначале приобретается минимально необходимое количество каждого блага aj; затем оставшаяся часть дохода, то есть b0 = b ¡ Pn piai; распре-
i=1
деляется пропорционально "коэффициентам ценности"j¡го товара ®j= Pn ®i:
i=1
Разделив оставшееся количество денег на его цену с учетом "коэффициентам ценности"j¡го товара, получим дополнительное количество j¡го блага, при-
обретаемое сверх необходимого минимума. В частном случае, когда все товары имеют равную ценность для потребителя, то есть ®i = ®j; äëÿ âñåõ
i; j = 1; 2; : : : ; n; ai = 0; то функции спроса будут иметь вид
|
xi(p; b) = |
b |
: |
(7) |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
npi |
|
|
Вычислим эластичность спроса на i¡тый товар по цене j¡того товара |
|||||||
|
@xi |
|
xi |
0; |
|
i = j; |
|
Eij = |
|
: |
|
= ½ |
¡1; i = j; |
||
@pj |
pj |
||||||
то есть спрос на i¡тое благо падает с ростом цены на него с эластичностью, равной -1 и не зависит от роста цен на другие товары.
22
Вычислим эластичность спроса на i¡тый товар по доходу
E |
j |
= |
@xi |
: |
xi |
= |
1 |
: |
b |
= 1; |
|
i |
@b |
b |
npi |
b ¢ npi |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
то есть спрос на i¡тый товар с увеличением дохода растет с эластичностью, равной 1.
4.2. Функции Торнквиста
Рассмотрим в пространстве двух товаров следующую задачу потребительского выбора
u x |
; x |
2) = |
x®x¯¡® |
x |
+ |
¯ |
¡ |
® |
¡¯ |
max ; |
(10) |
( 1 |
|
1 2 |
( 1 |
|
) |
|
7!p1x1+p2x2=b |
|
ãäå ®; ¯ -некоторые параметры.
Для нахождения функций спроса воспользуемся законом Джевонса и бюд- |
|||||||||||||||||
жетным ограничением, получим систему двух уравнений |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
@u(x1; x2) |
1 |
|
@u(x1; x2) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
8 |
|
¢ |
|
= |
|
¢ |
|
|
; |
(11) |
|||
Найдем частные |
|
p1 |
@x1 |
p2 |
@x2 |
|
|||||||||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
< p1x1 |
+ p2x2 = b: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
@x1 |
производные функции полезности, определенной в (10), |
|||||||||||||||
|
|
µx1 ¡ x1 + ¯ ¡ ® |
¶ |
|
|
@x2 |
|
|
x2 |
||||||||
|
@u(x1; x2) |
= |
® |
|
|
|
¯ |
u(x); |
@u(x1 |
; x2) |
= |
¯ ¡ ® |
u(x) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и подставим полученные выражения в первое уравнение системы (11), а из вто- |
|||||||||||||||||||||
рого уравнения выразим сначала x1 |
через x2; придем к системе уравнений |
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
® |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
= |
1 |
|
¯ ¡ ® |
; |
|
|
|
8 p1 ¢ |
|
|
|
|
|
¡ x1 |
|
¡ |
|
|
p2 ¢ |
|
|||||||
(I) |
|
x1 |
|
|
+ ¯ |
® |
|
|
|
x2 |
|||||||||||
|
|
> |
|
|
µ1 |
|
|
|
|
|
¶ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
> x2 = |
|
|
|
|
(b p1x1) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
p2 |
¢ |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
решив которую, |
получим функцию спроса на первый товар |
||||||||||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1(p1; b) = |
|
®b |
|
: |
|
|
(12) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b + ¯p1 |
|
|
||||||||||||
Если считать цены фиксированными (в общем случае параметры ®; ¯ могут
зависеть от цен), то графиком зависимости спроса от дохода будет часть ветви
®¯p1
(ïðè b ¸ 0) гиперболы x1 = ® ¡ b + ¯p1 ; имеющей горизонтальную асимптоту
x1 = ®:
23
Естественно интерпретировать зависимость (12) как спрос на "товары первой необходимости", например, дешевые продукты питания, спрос на которые растет с ростом дохода и не зависит от
Рисунок 4 |
цен на другие товары. |
|
Теперь выразим во втором уравнении системы (11) x2 через x1; получим
систему |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|||
|
(II) |
> |
1 |
µ |
® |
|
|
|
¯ |
¡ |
|
|
¯ ¡ ®; |
|
|||||||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< x1 = |
|
|
|
|
|
(b p2x2) ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из которой |
|
> |
|
|
p1 |
¢ ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
находим функцию спроса на второй товар |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x2(p1 |
; p2; b) = |
|
b (b + p1(¯ ¡ ®)) |
: |
|
(13) |
||||||||||||
|
|
|
|
p2 (b + p1 ¯) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Будем, как и выше, считать цены фиксированными. Поскольку функция |
|||||||||||||
спроса может принимать лишь неотрицательные значения, естественно пред- |
|||||||||||||
положить, что функция спроса на второй товар будет иметь вид |
|||||||||||||
|
|
0; |
|
|
0 |
|
b |
|
p |
(® |
|
¯); |
|
x2(p1; p2; b) = |
8 b (b + p1(¯ |
|
®)) |
|
· |
|
· |
1 |
|
¡ |
(14) |
||
|
> |
|
p |
¡ |
|
; p1(® ¯) < b: |
|
||||||
|
< |
p2 (b + |
1 ¯) |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратим внимание на то, что если доход b меньше некоторой фиксированной
величины, пропорциональной цене на товар первой необходимости, то второй товар не приобретается. Поэтому спрос на такой товар интерпретируют как спрос на предметы роскоши.
Так как предел функции
y(b) = b ¢ |
b + °1 |
; |
°2(b + °3) |
ãäå °1 = p1(¯ ¡ ®); °2 = p2; °3 = p1¯; равен +1 ïðè b ! +1; то она имеет
24
наклонную асимптоту, уравнение которой y = kb + m; ãäå
k = |
|
lim |
y(b) |
= lim |
b + °1 |
|
|
= |
|
1 |
> 5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
b |
|
°2(b + °3) |
°2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
b!+1 |
¡ |
b!+1 |
|
|
|
|
¡ °2 |
¢ |
|
|
¸ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
b!+1 |
|
|
|
|
|
|
b!+1 · |
¢ °2(b + °3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
m = |
|
lim [y(b) |
|
|
kb] = |
lim |
b |
|
|
|
b + °1 |
1 |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
¸ |
|
|
b!+1 · |
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
b!+1 |
°2 |
|
¢ ·°2(b + °2) |
¡ |
|
|
°2 |
|
|
|
¢ b + °3 |
|
|
|
°2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
= lim |
b |
|
|
|
b + °1 |
1 |
= |
|
|
lim |
°1 ¡ °3 |
|
|
b |
= |
°1 |
¡ °3 |
< 0; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
òàê êàê |
|
°1 ¡ °3 |
= |
p1¯ ¡ p1® ¡ p1 ¯ |
= |
|
|
|
p1 |
< 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
°2 |
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
¡p2 |
Таким образом, уравнение асим- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
птоты к графику функции x2 |
(b) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
p1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет вид x(b) = |
|
b ¡ |
|
®: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
p2 |
|
|||||||||||
|
График зависимости (14) пред- |
|
|
ставлен на рисунке. |
|
|
Функции, определяющие спрос |
|
|
на товары первой необходимости |
|
Рисунок 5 |
(12) и предметы роскоши (14) на- |
|
зывают функциями Торнквиста. |
||
|
4.3. Задача потребления с линейно однородной функцией полезности
Пусть функция полезности u(x) обладает свойством линейной однородности,
òî åñòü |
(8) |
u(tx) = tu(x) 8t > 0: |
Продифференцировав равенство (8) по t в точке t = 1; получим равенство
Эйлера |
n |
@u(x) |
|
|
|
|
Xi |
|
|
xi = u(x): |
(9) |
|
@xi |
||||
|
=1 |
||||
|
|
|
|
|
|
Линейно однородная функция полезности не является строго выпуклой, ее матрица Гессе вырождена. Исследование задачи потребления для линейно однородной функции полезности проводится методами выпуклого программирования и актуально для современной теории спроса. Свойство линейной однородности (8) обеспечивает пропорциональность значений функции полезности масштабу потребления, и это позволяет считать его скалярным измерителем количества потребляемых продуктов x = (x1; x2; : : : ; xn):
25
Лекция 5 Уравнение Слуцкого
5.1. Исследование зависимости спроса от дохода
Исследуем зависимость решения задачи потребительского выбора от ее параметров путем сравнения положения оптимума до и после изменения ее параметров.
Рассмотрим систему уравнений (см. формулу (3.7)), которая неявно определяет функции спроса x¤(p; b) и оптимальный множитель Лагранжа ¸¤(p; b)
8 |
|
@u |
(x¤(p; b)) ¡ pi¸¤(p; b) = 0; i = 1; 2; : : : ; n; |
|
||
|
|
|
||||
@xi |
(1) |
|||||
: |
|
|
|
¢ ¢ ¢ |
+ pnxn¤(p; b) = b: |
|
< p1x1¤(p; B) + p2x2¤(p; b) + |
|
|
||||
Рассмотрим влияние изменения дохода на спрос, для этого продифференци- |
|||||||||||||||||||||||
руем каждое из уравнений системы по параметру b; получим систему |
|
||||||||||||||||||||||
|
n |
|
@2u |
@x¤ |
|
@¸ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8 j=1 |
|
|
|
(x¤(p; b)) |
j |
(p; b) ¡ pi |
¤ |
(p; b) = 0; i = 1; 2; : : : ; n; |
|
||||||||||||||
@xi@xj |
@b |
@b |
(2) |
||||||||||||||||||||
> P |
|
|
@x |
j¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> jP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
pj @b = 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
< |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@xj¤ |
@¸¤ |
|
|||
Перепишем эту систему уравнений относительно производных |
|
|
; |
|
â ìàò- |
||||||||||||||||||
@b |
|
@b |
|||||||||||||||||||||
ричном виде, используя прежние обозначения (см. п.3 в лекции 3), |
|
(3) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 U |
|
|
@@b¤ |
¡ p0 |
|
@b¤ = 0; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
> p |
|
|
x |
|
@¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
@ x¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Матрица этой системы |
> |
|
@b |
J; обратная ей матрица J¡ |
1 существует |
||||||||||||||||||
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
= 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
есть матрица (см. п.3 в лекции 3), поэтому решение системы (3) можно записать в виде
8 |
|
x |
|
|
|
|
|
@ ¤ |
(p; b) = ¹U¡1 p0; |
|
|||
@b |
(4) |
|||||
> |
@¸¤ |
|
p |
|
|
|
< |
|
|
( |
; b) = ¹: |
|
|
|
@b |
|
||||
> |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
Первое равенство определяет чувствительность спроса x на все товары к изменению бюджета b: Второе равенство, если вспомнить, что множитель Лагранжа
26
интерпретируется как предельная полезность денег и равен du=db (см. форму-
лу (3.6)) позволяет представить параметр ¹ как скорость убывания предельной полезности денег.
|
@¸ |
|
@ |
µ |
@u |
¶ = |
@2u |
|
|
¹ = |
|
¤ |
= |
|
|
|
(x¤(p; b)) : |
||
|
@b |
@b |
@b |
@b2 |
|||||
5.2. Исследование зависимости спроса от цен
Исследуем влияние изменения цены k-того товара на спрос, для этого про-
дифференцируем каждое из уравнений системы (1) по параметру pk; получим систему
|
n |
2 |
u |
|
@x¤ |
@¸¤ |
|
|
||||||
> P |
|
@ |
|
j |
|
|
||||||||
|
|
@x |
j¤ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
> |
|
|
|
|
|
(x¤(p; b))@pk (p; b) ¡ pi @pk (p; b) = ¸¤(p; b)±ik; i = 1; 2; : : : ; n; |
(5) |
|||||||
8 j=1 @xi@xj |
||||||||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> jP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
pj @p |
|
|
|
обозначен символ Кронекера. |
|
|||||||
< |
=1 |
|
= ¡xk¤(p; b); |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||
здесь через |
±ik |
|
|
|
|
|
|
|||||||
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Перепишем систему (3) в матричном виде, используя прежние обозначения, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 U |
@ p¤ |
¡ p0 |
@ p¤ |
= ¸¤In; |
(6) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
> p |
@ x |
|
|
|
@¸ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
@ x¤ |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Используя обратную |
|
|
|
J¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
: |
@ p |
= ¡ x( ; b): |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
матрицу |
|
|
|
1, как и в предыдущем случае, получаем |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
решение системы в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
@ x¤ |
|
¸ |
|
U¡1 |
I |
|
|
|
|
¹ p0 p U |
¡1 |
¤ |
|
¹U¡1p0 x¤; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
то есть матрицу ½ |
@ p = |
¤ |
n |
£ |
|
n |
¡ |
|
|
|
|
¡ |
|
(7) |
|||||||
@pi |
k |
|
¾i;k=1 ; определяющую чувствительность спроса на |
||||||||||||||||||
|
|
@x¤(p; b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
каждый товар xi(p; b) к ценам всех товаров pk:
5.3. Изменение спроса при изменении цены с компенсацией
Для экономического анализа представляет интерес такой режим изменения цен, при котором одновременно меняется бюджет потребителя так, что уровень потребления сохраняется (не меняется полезность), то есть происходит компенсированное изменение цен. При этом бюджет b(p); определяемый постоянством
27
достижимого уровня потребления, называют компенсирующим бюджетом, а соответствующий ему спрос компенсированным спросом.
Поскольку полезность при компенсированном изменении цен остается неизменной, то
du(x¤(p)) = 0; поэтому
Xi |
|
@x¤ |
|
|
||
n |
@u(x¤(p)) |
|
|
|
||
|
|
¢ |
|
i |
= 0: |
(8) |
=1 |
@xi |
|
@pk |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Ïàðà (x¤(p); ¸¤(p)) удовлетворяет системе (1), поэтому
@u(x¤(p)) |
¡ pi¸¤(p) = 0; i = 1; 2; : : : ; n: |
@xi |
Подставим |
@u(x¤(p)) |
из (9) в уравнение (8), получим |
|||||||||
|
@xi |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
¸¤ |
|
|
@x¤ |
|
|
|
|
|
|
|
p |
p |
) ¢ |
|
i |
|
: |
|
|
|
|
|
|
@pk |
|
|||||
|
|
|
|
i |
( |
|
|
= 0 |
|
||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
(9)
(10)
В силу положительности ¸¤(p) из уравнения (10) получим уравнение для
произвольного pk |
n |
|
|
|
|
Xi |
@xi¤ |
|
|
|
pi ¢ |
@pk |
= 0; |
(11) |
|
=1 |
|
|
|
называемое условием постоянства полезности. |
|
|
|||||||||||||||
Продифференцируем равенства (9) по pk |
; |
(k = 1; 2; : : : ; n); получим |
|
||||||||||||||
Xi |
|
|
|
|
@x¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
@ |
2 |
u(x¤) |
|
@¸¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
j |
= ¸¤±ik; |
|
|
|
||||||||||
=1 |
@xi@xj |
|
@pk |
¡ |
@pk |
i; k = 1; 2; : : : ; n; |
(12) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå ±ik¡ символ Кронекера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Уравнения (11), (12) объединяются в систему |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
8 U @ p¤ ¡ p0 |
@ p¤ |
= ¸¤In; |
|
||||||||||
|
|
|
|
> |
|
@x |
|
|
|
@¸ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
> |
|
@ p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или в матричном виде |
> |
|
@x¤(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
= 0; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
< p |
|
|
|
|
|
|
|
¶ |
|
||||
|
|
|
|
|
µ p |
0 |
¶ |
µ |
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
U |
¡ p0 |
|
|
|
= |
|
¸¤In |
: |
(13) |
|||
Решение последней системы можно выписать, используя матрицу J¡1; â âèäå
28
· @ p¤ ¸comp = ¸U¡1 ¡In ¡ ¹ p0 p U¡1¢ |
: |
(14) |
|
|
@x |
|
|
Здесь характеризует изменение спроса, если увеличение цены k-
comp
того товара на dpk компенсируется увеличением дохода на db = x¤kdpk:
5.4. Уравнение Слуцкого
Для экономического анализа представляет интерес такой режим изменения цен, при котором одновременно меняется бюджет потребителя так, что уровень потребления сохраняется (не меняется полезность), то есть происходит компенсированное изменение цен. При этом бюджет b(p); определяемый постоянством
достижимого уровня потребления, называют компенсирующим бюджетом, а соответствующий ему спрос компенсированным спросом.
Поскольку полезность при компенсированном изменении цен остается неизменной, то
du(x¤(p)) = 0; поэтому
Xi |
|
@x¤ |
|
|
||
n |
@u(x¤(p)) |
|
|
|
||
|
|
¢ |
|
i |
= 0: |
(8) |
=1 |
@xi |
|
@pk |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Ïàðà (x¤(p); ¸¤(p)) удовлетворяет системе (1), поэтому
@u(x¤(p)) |
¡ pi¸¤(p) = 0; i = 1; 2; : : : ; n: |
@xi |
Подставим |
@u(x¤(p)) |
из (9) в уравнение (8), получим |
|||||||||
|
@xi |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
¸¤ |
|
|
@x¤ |
|
|
|
|
|
|
|
p |
p |
) ¢ |
|
i |
|
: |
|
|
|
|
|
|
@pk |
|
|||||
|
|
|
|
i |
( |
|
|
= 0 |
|
||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
(9)
(10)
В силу положительности ¸¤(p) из уравнения (10) получим уравнение для
произвольного pk |
n |
|
|
|
|
Xi |
@xi¤ |
|
|
|
pi ¢ |
@pk |
= 0; |
(11) |
|
=1 |
|
|
|
называемое условием постоянства полезности. |
|
|||||||||
Продифференцируем равенства (9) по pk; |
(k = 1; 2; : : : ; n); получим |
|
||||||||
Xi |
|
|
|
|
@x¤ |
|
|
|
|
|
n |
@ |
2 |
u(x¤) |
|
@¸¤ |
|
|
|
||
|
|
|
j |
= ¸¤±ik; |
|
|
||||
=1 |
@xi@xj |
|
@pk |
¡ |
@pk |
i; k = 1; 2; : : : ; n: |
(12) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
Уравнения (11), (12) объединяются в систему
|
|
8 U |
@x |
|
|
|
|
@¸ |
|
|
|
|
|
|
|
¤ |
¡ p0 |
|
¤ |
|
= ¸¤In; |
|
|||||
|
|
@ p |
@ p |
|
|||||||||
|
|
> |
@x¤(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< p |
|
|
|
|
= 0; |
|
|
|
|
||
или в матричном виде |
@ p |
|
|
|
|
|
|
||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
¡ p0 |
¶ |
|
|
|
¸¤In |
|
|
|||
|
|
U |
= |
|
: |
(13) |
|||||||
|
|
µ p |
0 |
|
µ |
0 |
¶ |
|
|||||
Решение последней системы можно выписать, используя матрицу J¡1; â âèäå |
|||||||||||||
· |
@x |
¸comp = ¸U¡1 ¡In ¡ ¹ p0 p U¡1¢: |
|
||||||||||
¤ |
(14) |
||||||||||||
@ p |
|||||||||||||
Здесь · |
@x |
¸comp |
|
@ p¤ |
характеризует изменение спроса, если увеличение цены k- |
того товара на dpk компенсируется увеличением дохода на db = x¤kdpk:
5.5. Типы товаров
Рассмотрим равенство,Pn получаемое в результате дифференцирования бюд- жетного равенства i=1 pixi = b по доходу b;
n |
|
|
|
|
Xi |
@xi(p; b) |
|
|
|
pi |
|
|
= 1: |
(16) |
=1 |
@b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В теории потребительского спроса его называют условием агрегации Энге- |
||||||
ëÿ 1. Поясним его экономический смысл. |
|||||||
|
Товары, спрос на которые растет с ростом дохода потребителя, то есть |
||||||
|
@xi(p; b) |
> 0; называют ценными. Товары, спрос на которые падает с ростом |
|||||
|
@b |
|
|||||
|
|
@xi(p; b) |
|
||||
дохода потребителя, то есть |
< 0; называют малоценными. Примером |
||||||
@b |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
ценного товара может быть, например, сливочное масло, а малоценным мар- |
|||||||
гарин. |
|
|
|
|
|
||
|
Условие агрегации (16) показывает, что в любой системе предпочтений, опре- |
||||||
деляемой функцией полезности u(x) (или представляемым ею отношением пред- |
|||||||
почтения º) обязательно должны быть ценные товары. Этот факт был уста- новлен Энгелем на основе эмпирического анализа.
1Энгель Эрнст (1821-1896) немецкий экономист, статистик
30