Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1269 вузов, 4660 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского
Предмет:
Микроэкономика
Файл:

Математические модели микроэкономики - Карелина И.Г

.pdf
Скачиваний:
52
Добавлен:
24.05.2014
Размер:
331.31 Кб
Скачать
☆

(б) степенная мультипликативная

n

n

 

Yi

X

 

u(x) = xi®i; ®i > 0;

®i < 1;

(6)

=1

i=1

 

(в) логарифмическая

n

 

u(x) = ai ln (1 + bixi); ai > 0; bi > 0;

(7)

=1

 

Xi

 

(г) постоянной эластичности замещения

u(x) = Ã n

¯ixi¡½!¡¹=½ ; ¯i > 0; 0 < ¹ < 1; ¡1 < ½ 6= 0;

(8)

=1

 

 

Xi

 

 

(д) пропорциональная

 

 

xi

 

 

 

x

 

; ki > 0:

(9)

 

 

 

u( ) = min

ki

 

i

 

 

 

Пример. Проверим, что функция полезности

 

 

n

 

 

n

 

u(x) =

xi®i;

®i > 0;

®i < 1

 

=1

 

 

i=1

 

 

Yi

 

 

X

 

обладает свойствами 1± ¡ 4±:

Решение. 1±: Найдем вектор предельных полезностей, для этого вычислим частные производные функции u(x)

@u (x) = ®jxj®j¡1

xi®i =

®j

n

xi®i; i = 1; 2; : : : ; n:

 

 

Y

 

Y

 

@xj

i6=j

xj

i=1

 

 

 

 

 

 

Так как по условию ®i > 0; xi

 

> 0 ïðè âñåõ i = 1; 2; : : : ; n; òî

> 0:

@x(x) = Ãx1

n

xi®i; x2

n

xi®i; : : : ; xn

n

xi®i!

@u

 

 

 

 

®1

 

 

®2

 

 

®n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Yi

 

 

 

 

Y

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

i=1

 

 

 

i=1

 

 

2±: Вычислим для каждого j = 1; 2; : : : ; n

 

 

 

 

 

 

 

 

@u

 

 

 

®

n

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

Y

 

 

®jxj®j¡1

 

 

xlimj 0

 

@x

j

(x) = xlimj 0

 

x

 

xi®i = xlimj 0

 

xi®i

= 1;

!

 

 

 

 

!

 

j

i=1

 

!

 

 

 

i6=j

 

 

 

 

 

 

iP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так как по условию

n

®i < 1; откуда ®j ¡ 1 < 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

3±: Вычислим для каждого j = 1; 2; : : : ; n

 

@u

x

®j¡1

Y

®i

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

xi = 0;

@xj

( ) = lim ®jxj

 

xj!1

 

xj!1

i6=j

 

 

 

 

 

 

так как по условию i=1n

®i < 1; откуда ®j ¡ 1 < 0:

 

 

4±: Найдем

частные производные второго порядка

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@2u

(x) =

®j(®j ¡ 1)

n

 

x®i < 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x2

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

j

 

 

 

=1

 

 

 

òàê êàê ®j ¡ 1 < 0 ïðè âñåõ i = 1; 2; : : : ; n:

Yi

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица Гессе в данном случае имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

®1(®1 ¡ 1)

n

x®i

 

®1®2

 

n

x®i

: : :

 

 

 

 

 

x12

i=1

i

 

 

 

x1x2

 

i=1

i

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

®2®1

n

®i

®2(®2

 

 

 

1)

 

n

®i

 

 

2

u

 

B

 

 

 

 

 

 

xi

 

 

¡

 

 

 

xi

: : :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U =

@

 

B

 

 

x2x1

i=1

 

 

 

x2

 

 

i=1

 

 

 

 

2

(x) = B

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

@x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: : :

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

®n®1

n

 

 

 

 

®n®2

 

n

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

®

 

 

 

 

®

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

x

i

 

 

 

 

 

 

 

x i

: : :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

xnx1 i=1

i

 

 

xnx2

 

i=1

i

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®1®n

n

 

1

 

 

 

 

Y

 

 

x1xn

i=1 xi®i

 

®2®n

n

®i

C

 

 

 

 

 

xi

C

 

x2xn

 

 

 

 

 

Y

 

C

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

n

 

C

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

i=1

 

C

®n(®n

¡

1)

 

®

C

 

 

 

Y

x i

C

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

A

x2

 

 

 

i

C

n

 

 

i=1

 

 

2.4. Товары-заменители

Поверхностью (линией) безразличия называют множество наборов x; äëÿ

которых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x) = const;

 

 

 

 

 

 

 

или в дифференциальной форме

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

@u

 

 

 

 

 

 

 

Xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@xi dxi = 0:

 

 

 

 

 

(10)

 

du =

 

 

 

 

 

 

=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поверхность безразличия есть не что иное, как поверхность уровня для функ-

 

öèè u(x): Множество линий безразличия называют картой предпочтений.

 

Условие (10) означает, что касательная к поверхности безразличия перпенди-

:

кулярна вектору предельных полезностей @x(x) =

µ@x1

(x);

@x2

(x); : : : ;

@xn (x)

 

 

@u

 

@u

 

@u

 

@u

 

12

С точки зрения потребителя наличие множества наборов товаров, обладающих одинаковой полезностью, означает возможность замены одного товара другим.

Пусть в пространстве двух товаров функция полезности потребителя имеет вид u(x1; x2) = x1x2: Зафиксируем линию безразличия MN: Пусть потребитель

имеет набор товаров x0 = (x01; x02): Если первый товар уменьшился на x1 åäè- ниц, то его можно компенсировать увеличением второго товара на x2 единиц

так, чтобы полезность набора не изменилась. Компенсация означает, что новый набор x1 = (x11; x12) = (x01 + x1; x02 + x2) имеет ту же ценность, что и набор

x0 :

Рисунок 1

Отношение j x2= x1j показывает, сколько единиц второго товара добавочно

могут компенсировать уменьшение первого товара на единицу. Из равенства (10) имеем

¡dx2 = @u=@x1 : dx1 @u=@x2

Отношение M2 = ¡dx2 называют предельной нормой замены первого товара вторым. 1 dx1

Таким образом, предельная норма замещения Mik i¡го товара k¡тым равна

отношению предельных полезностей этих товаров

 

 

dxk

 

@u=@xi

 

 

Mik = ¡

 

=

 

:

(11)

dxi

@u=@xk

Эластичностью (или коэффициентом) замещения Eik

товара xi товаром xk

называют величину

 

 

 

 

 

 

xk=xk

 

 

Ek =

lim

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µ¡

 

xi=xi

 

i

xi!0

 

 

 

èëè

 

 

 

 

Mk

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

E

=

 

i

 

:

 

 

(12)

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

=xi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

Таким образом, 1% уменьшения товара xi компенсируется увеличением на

Ek

процентов товара xk:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

Пример. Для степенной мультипликативной функции полезности (см. п.3)

найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(а) предельные нормы замещения Mik; i; k = 1; 2;

 

 

 

 

 

 

 

 

(б) эластичность замещения Eik;

 

i; k = 1; 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i-го товара k-ûì âîñ-

 

(а) Для нахождения предельной нормы замещения Mk

 

пользуемся формулой (11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@u=@x

 

 

®

 

 

 

n

®

 

n

 

 

®

 

x

 

 

 

i

 

 

 

 

i

 

Yj

 

 

k

Y

®

 

 

i

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

®

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mik =

@u=@xk

=

Ã

xi

 

 

=1 xj j !

:

 

xk

j=1 xj j =

®k

¢

xi

:

 

(б) Для нахождения предельной нормы замещения Ek

i-го товара k-ûì âîñ-

пользуемся формулой (12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

: µ

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eik = Mik

xk

®i

¢

xk

:

xi

=

®i

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

®k

xi

xk

®k

 

 

 

Наличие для товара xi товаров-заменителей (например, товара xk; ïî êîòî-

рому предельная норма замещения Mik не столь мала) очень существенно, поскольку при повышении цены на него потребитель уменьшит его потребление и увеличит потребление товаров-заменителей. Например, хорошим заменителем кофе является чай или какао. В то время как на бензин хороших заменителей нет.

Вопросы для самоконтроля

1.Сформулировать аксиомы слабого предпочтения. Пусть Ix - множество безразличия, y 2 Ix: Покажите, что Ix = Iy è x » y :

2.Дать определение функции полезности. Привести экономическую интерпретацию свойств функции полезности. Проверить выполнение этих свойств для функции u(x) = p x = p1x1 + p2x2 + ¢ ¢ ¢ + pnxn: Найти нормы замещения и

эластичность замещения.

3. Что означает термин "линии безразличия"? Построить карту предпочтений для функции u(x) = minf2x1; x2g: Найти предельные полезности и нормы

замещения в точках (1;5), (3;2), (1;2).

14

Ip;b; ãäå

Лекция 3 Модель поведения потребителя

3.1. Постановка задачи рационального поведения потребителя

Потребитель, имея некоторый фиксированный доход b; желает его потратить

и, естественно, с максимальной пользой с точки зрения его предпочтений (или функции полезности).

Задача рационального поведения потребителя (или задача потребительского выбора) заключается в выборе такого набора x¤ из бюджетного множества

Bp;b; ÷òî

x¤ º x; 8 x 2 Bp;b;

или в отыскании такого набора товаров x¤; на котором функция полезности достигает своего наибольшего значения на бюджетном множестве Bp;b; òî åñòü

x¤ 7!max u(x):

(1)

x2Bp;b

Набор x¤ = (x¤1; x¤2; : : : ; x¤n); который дает максимум функции полезности при заданных ограничениях, называют локальным рыночным равновесием потребителя.

Утверждение 1. Если функция полезности u(x) потребителя непрерывна, то решение x¤ задачи рационального поведения потребителя (1) существует и лежит на границе бюджетного множества

Ip;b = f

x

2 M j

p x

= bg :

(2)

 

 

Множество Ip;b называют бюджетной линией.

. Доказательство.

Бюджетное множество Bp;b ограничено и замкнуто (см. утверждение 2 лекции 1), функция полезности u(x) непрерывна, поэтому и в силу теоремы Вей-

ерштрасса функция u(x) достигает на множестве Bp;b своего наибольшего зна- чения, поэтому решение x¤ задачи (1) существует.

Покажем, что x¤ 2 Ip;b: В предположении противного x¤ 2= Ip;b; íî x¤ 2 Bp;b; поэтому p x¤ < b; а, значит, потребитель имеет неиспользованное количество

денег b ¡ p x и может приобрести на них дополнительный набор товаров y; а в предположении безграничной делимости товаров имеем y > 0: Рассмотрим

набор z = x¤ + y : Òàê êàê p y · b; òî y 2 Bp;b; причем в силу аксиомы ненасыщения u(y) > u(x¤); что противоречит оптимальности точки x¤ : J

15

Рисунок 2

Напомним, что функция u(x) называют строго выпуклой, если

u(¸

x

+(1 ¡ ¸)

y

y

); 0 < ¸ < 1:

 

 

) > ¸u(x) + (1 ¡ ¸)u(

Утверждение 2. Если функция u(x) строго выпуклая, то решение задачи

(1) единственно.

. Доказательство.

В предположении противного существуют два оптимальных набора x; y 2

Bp;b; причем u(x) = u(y); то есть оба набора принадлежат одной кривой безразличия. В силу утверждения 1 имеем равенство p x = p y = b: Пусть набор

z = 12 x +12 y; тогда p z = p(12 x +12 y) = b; то есть набор z также принадлежит множеству Ip;b: В силу строгой выпуклости функции полезности имеем

u(z) > 12u(x) + 12u(y) = u(x) = u(y); что противоречит предположению об оптимальности точек x; y : J

Итак, если функция полезности непрерывна и строго выпукла, то задача по-

требительского выбора сводится к исследованию на условный экстремум функ-

ции полезности

(3)

u(x) max :

7!x=b

 

p

 

3.2. Решение задачи потребительского выбора

Рассмотрим задачу (3) рационального поведения потребителя, который имеет дифференцируемую функцию полезности u(x): Для ее решения задачи вос-

пользуемся методом Лагранжа исследования дифференцируемой функции на условный экстремум.

Составим функцию Лагранжа

L(x1; x2; : : : ; xn; ¸) = u(x1; x2; : : : ; xn) ¡ ¸(p1x1 + p2x2 + ¢ ¢ ¢ + pnxn ¡ b):

16

Воспользуемся необходимым условием существования экстремума функции многих переменных: если (x¤; ¸¤) - оптимальная точка, то в ней все частные

производные функции L равны нулю. Далее, не оговаривая это особо, с целью упрощения записи точку (x¤; ¸¤) будем опускать. Найдем частные производные функции L и приравняем их нулю

@L

=

@u

¡

¸p

= 0; i = 1; 2; : : : ; n;

 

@xi

@xi

i

(4)

 

 

n

 

 

@L X

@¸ = pixi ¡ b = 0:

i=1

Получили систему (n + 1) уравнений с (n + 1) неизвестными. Исключая неизвестный параметр ¸ из первых n уравнений, получаем соотношения

@u

(x¤) :

@u

(x¤) = pi : pj; i; j = 1; 2; : : : ; n:

(5)

 

 

@xi

@xj

 

Соотношение (5) называют законом Джевонса. Оно означает, что потребитель, стремясь максимизировать полезность доступных ему наборов товаров, приобретает такой набор, для которого отношение предельных полезностей отдельных товаров пропорционально отношению их рыночных цен.

Так как отношение (@u=@xi) : (@u=@xj) есть предельная норма замены i¡того товара j¡м в точке локального рыночного равновесия потребителя x¤; òî èç (5)

следует, что эта предельная норма замещения равна отношению рыночных цен на эти продукты.

Mij = µ

@u

(x¤)

: µ

@u

(x¤)= pi : pj; i; j = 1; 2; : : : ; n:

 

 

@xi

@xj

Оптимальный множитель Лагранжа ¸¤; равный отношению предельной по-

лезности к цене

@u

 

1

 

 

 

 

¸¤ = µ

 

(x¤):

µ

 

;

@xi

pi

измеряется в полезности единицы товара i; деленной на количество денежных единиц на единицу товара i; что означает полезность товара на одну денежную единицу (например, доллар, рубль). Поэтому множитель ¸¤ следует интерпре- тировать как предельную полезность добавочного дохода

¸¤ =

@u

(x¤);

(6)

@b

 

 

 

которую называют предельной полезностью денег.

17

Геометрически решение x¤ = (x1¤; x2¤)

 

 

 

задачи рационального поведения по-

 

 

 

требителя в случае двух товаров

 

 

 

можно интерпретировать как точку

 

 

 

касания линии безразличия функ-

 

 

 

ции полезности u(x1

; x2) с бюджет-

 

 

 

ной линией p1x1 + p2x2 = b; òàê êàê

 

 

 

касательная к кривой безразличия в

 

 

 

оптимальной точке имеет, согласно

 

 

 

закону Джевонса, тот же угол на-

 

 

 

клона ®; что и бюджетная линия

 

 

 

 

®

 

@u

 

x¤; x¤

 

@u

 

x¤; x¤

p1

:

Рисунок 3

 

= ¡@x1 (

 

@x2 (

 

tg

 

1 2) :

 

1 2) = ¡p2

 

В предположении отрицательной определенности матрицы Гессе для функции полезности условия второго порядка для данной задачи выполняются. По-

этому условия

8

 

@u

 

 

 

 

¡ ¸pi = 0; i = 1; 2; : : : ; n;

 

 

 

 

 

(7)

являются

@xi

:

 

 

 

+ p2x2 + ¢ ¢ ¢ + pnxn = b

 

 

< p1x1

 

необходимыми и достаточными.

3.3. Функции спроса

Из уравнения (7) согласно теореме о существовании неявной функции неизвестные x¤1; x¤2; : : : ; x¤n; ¸¤ можно разрешить относительно параметров p1; p2; : : : ;

pn; b; если матрица Якоби системы (7) имеет ненулевой определитель.

Матрица Якоби для системы (7) это матрица вида

1

 

 

 

 

 

 

0

 

@x12 (x)

@x1@x2 (x) : : :

@x1@xn (x) ¡p1

 

 

 

 

 

 

B

 

@2u

 

@2u

 

 

 

 

@2u

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

@2u

(x)

@2u

(x)

: : :

 

@2u

(x)

 

p2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

¡

 

 

J = B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

: : :

 

 

 

 

 

 

 

C

=

0

 

 

1

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡

C

 

0

 

B

@x2@x1

 

@x2

 

 

 

@x2@xn

C

 

p

0

 

B

 

 

 

 

C

 

U

 

 

 

B

2

u

 

2

u

 

 

 

2

u

 

 

C

 

@

 

 

 

A

B

@

(x)

@

 

(x) : : :

@

 

pn

C

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 (x)

 

C

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

B

 

 

p1

 

 

 

p2

: : :

 

 

pn

0

C

 

 

 

 

 

 

B

@xn@x1

 

@xn@x2

 

@xn

¡

 

C

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

18

Здесь через U обозначена матрица Гессе для функции u(x); через p вектор- строка цен, p0 вектор-столбец цен.

Покажем, что матрица J имеет обратную, а значит ее определитель отличен от нуля. Матрица Гессе U отрицательно определена, и потому имеет ненулевой определитель, матрица J имеет блочный вид, поэтому обратную матрицу J¡1

будем искать в виде

J¡1 =

0

V

q0 1

:

 

 

 

 

 

@

¡ q

¹ A

 

через

q = (q1; q2

;

Здесь через V обозначена квадратная матрица порядка n £ n;

 

: : : ; qn) - вектор, через ¹ -скаляр.

Найдем V; q; ¹ из условия JJ¡1 = In+1; ãäå In+1 - единичная матрица по- рядка (n+1)£(n+1): Обозначим через In - единичную матрицу порядка n£n; µn = (0; 0; : : : ; 0) - нулевой n-мерный вектор, тогда

JJ¡1 =

0 U

¡ p0 10 V q0 1

=

0 In

µn0 1

:

 

@ p

0

A@ ¡ q ¹ A

 

@ µn

1 A

 

Это матричное уравнение

из которой находим

эквивалентно системе

8

> UV + p0 q = In;

>

< U q0 ¡ p0 ¹ = µn0 ;

>p V = µ ;

>n

: p q0 = 1;

 

V = U¡1(In

p0 q);

8 q = ¹ p U¡1;¡

(8)

<

¹ = 1=(p U¡1 p0);

:

 

 

где через U¡1 обозначена матрица, обратная матрице Гессе U: Таким образом,

матрица Якоби для системы (7) имеет ненулевой определитель, поэтому решение задачи потребительского выбора может быть получено в виде функций ее

параметров

½

x¤ = x¤(p; b);

 

 

(9)

 

¸¤ = ¸¤(p; b);

которые, в силу теоремы о существовании неявной функции, имеют непрерывные частные производные первого порядка.

Функции x¤(p; B) называют функциями спроса на каждый продукт, они ха-

рактеризуют количественные значения спроса как функцию от цен на все то-

вары и дохода x¤i = x¤i (p1; p2; : : : ; pn; b); i = 1; 2; : : : ; n:

19

Отметим одно важное свойство функций спроса однородность нулевой степени относительно всех цен и дохода. Поскольку пропорциональное изменение всех цен и дохода не влияет на бюджетное множество и значение функции полезности, поэтому удобно выбрать цену на какой-нибудь товар (или доход), например, p1 за единицу счета и ввести коэффициент пропорциональности ® = 1=p1

и рассматривать зависимость спроса x¤i = x¤i (1; p2=p1; : : : ; pn=p1; b=p1); i =

1; 2; : : : ; n от относительных цен p2=p1; : : : ; pn=p1 и реального дохода b=p1: В качестве ® иногда удобно выбирать величину, равную 1= Pn pi:

i=1

Пример. Найти функции спроса на товары x1; x2; если функция полезности потребителя u(x1; x2) = x1x2; вектор цен (p = p1; p2); а доход равен b единиц.

Решение. Воспользуемся законом Джевонса и бюджетным равенством (7),

получим

½ p1x1 + p2x = b;

 

откуда

½ p1x1

= p2x = b=2:

 

;

 

x2

: x1 = p1 : p2

 

x2p2

= x1p1;

Из первой строки системы получаем, что количество денег, затрачиваемых на оба блага, должно быть одинаково.

Найдем функции спроса

x1(p1; b) =

b

; x1(p2; b) =

b

:

 

 

2p1

2p2

Таким образом, расход на каждое благо составляет половину общего дохода потребителя. Функции спроса на каждый продукт в данном примере не зависят от цен на другой продукт.

Вопросы для самоконтроля

1. Что означают термины "бюджетное множество", "карта предпочтений",

"локальное рыночное равновесиеp потребителя"? Найти точку локального рыночного равновесия в задаче x1x2 7! max :

x1+2x2=6

2. Дать определение pфункций спроса. Найти функции спроса в задаче потребительского выбора x1x2 7! max :

p1x1+p2x2=b

3. Рассмотрим аддитивную функцию полезности, то есть функцию вида u(x1; x2) = u1(x1) + u2(x2): Найти спрос на каждый товар.

4.Докажите, что в точке локального рыночного равновесия бюджетное ограничение выполняется как равенство.

5.Приведите геометрическую интерпретацию решения задачи потребительского выбора.

20

Соседние файлы в предмете Микроэкономика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности