Механизмы страхования в социально-экономических системах - Бурков В.Н., Заложнев А.Ю

2.1. Модели страхования и перестрахования

Рассмотрим следующую модель страхования1. Пусть ожидае- мое значение целевой функции страхователя имеет вид (см. описа- ние отношения к риску в разделе 1.5):

(1) Ef = H – c – v – r + p [(1 + x) h – Q],

где H – доход от хозяйственной деятельности страхователя, c – его затраты на эту деятельность, v – затраты на проведение предупре- дительных мероприятий, r – страховой взнос, h – страховое возме- щение, p – вероятность наступления страхового случая, x - коэффи- циент, отражающий отношение страхователя к риску, Q – потери при наступлении страхового случая.

Пусть ожидаемое значение целевой функции страховщика имеет вид: EF = r – p h, а страховой тариф определяется как сумма нетто-ставки (равной в силу принципа эквивалентности – см. выше

– вероятности наступления страхового случая p) и нагрузки к нет- то-ставке, которую мы обозначим x0 (напомним, что нагрузка к нетто-ставке включает рисковую надбавку, коммерческую надбав- ку и предупредительную надбавку – см. главу 1), то есть

(2) r = (p + x0) h.

Условие выгодности страхования для страхователя имеет вид:

(3)r £ p (1 + x) h,

для страховщика:

(4)r ³ p h,

условие «морального риска» (отражающее непобуждение страхова- теля к заинтересованности в наступлении страхового случая):

(5) (1 + x) h £ Q.

Объединяя условия (2)-(4), получим

(6) 0 £ x0 £ p x.

Содержательно, условие (6) означает, что коммерческая эф-

фективность страхования с точки зрения страховщика ограничена отношением страхователя к риску. Чем выше вероятность наступ-

1 Рассматриваемая в настоящем разделе модель страхования является базовой для всей второй главы – в последующих разделах изучаются модификации (усложнения) этой модели, учитывающие те или иные характерные свойства исследуемых классов механизмов страхования.

52

Сумма (EF + DEf), которую мы обозначим D может рассмат- риваться как «мера» взаимовыгодности страхового контракта:

В предельном случае – при нейтральном к риску страхователе (чему соответствует x = 0) из (4) следует, что страховой взнос равен ожидаемому страховому возмещению, из (6) следует, что x0 = 0 (коммерческое страхование невыгодно1, то есть D = 0 и EF = 0 – см. выражения (10) и (12), а ожидаемая полезность стра- хователя (9) одинакова как при заключении страхового контракта, так и при его незаключении).

Рассмотрев страховой контракт между страховщиком и одним страхователем, перейдем к описанию моделей взаимодействия между одним страховщиком и несколькими страхователями, харак- теризуемыми отношением к риску {xi} и потерями {Qi}, i Î I = {1, 2, ..., n}, где n – число страхователей.

Предположим, что страховщик фиксирует нагрузку x0 к нетто- ставке. Тогда при различных вероятностях наступления страхового случая страховые тарифы p0i для различных страхователей также будут различны: p0i = pi + x0. По аналогии с одноэлементной сис-

Пусть страхователи упорядочены по неприятию риска в сле- дующем смысле:

(14) p1 x1 £ p2 x2 £ ... £ pn xn,

тогда из (10), (13) и (14) следует, что ожидаемая полезность стра-

ховщика равна

(16) m(x0) = min {i Î I | pi xi ³ x0}.

1 Невыгодность понимается в том смысле, что ни один из участников не получает при заключении страхового контракта строго большей полез- ности, чем при его незаключении.

54

Содержательно, при заданном едином страховом тарифе π0 в страховании будут участвовать те агенты, для которых величина (ξi + 1) pi превышает этот тариф, то есть те агенты, у которых веро- ятность наступления страхового случая и/или степень несклонно- сти к риску велика относительно тарифа.

Задачу

(23)EΦ(π0) → max

π0 ³0

определения страхового тарифа, который максимизирует ожидае-

мую полезность страховщика при условии добровольного участия в страховании страхователей, назовем задачей определения страхо-

вого тарифа.

Выбор страховщиком принципа страхования – с единым тари- фом или с единой нагрузкой – будем называть стратегией страхо- вания в рассматриваемой модели.

Отметим, что величина , определяемая выражениями (15) или (17), может интерпретироваться как величина «суммарной прибы- ли», которую делят между собой стороны, участвующие в контрак- те. Интересно, что абсолютная величина этой суммарной прибыли не зависит от тарифов и нагрузок, а определяется только парамет- рами страхователя. Поэтому задачи определения страховых тари-

фов и нагрузок могут рассматриваться как задачи распределения прибыли [12, 43] (см. также раздел 2.3.). Нагрузка ξ0 [0; p ξ] или тариф π0 [0; p (1 + ξ)] при этом есть ни что иное, как «доля» этой

Как следует из результатов, приведенных в [33] (см. описание области компромисса и интерпретации процесса заключения тру- дового контракта как торга между центром и агентом1), выигрыши страховщика и страхователя существенно зависят от последова-

1 Общие результаты исследования влияния информированности и после- довательности ходов на выигрыши игроков получены в теории иерархиче- ских игр [27].

56

тельности их функционирования в процессе заключения страхового контракта. Поясним последнее утверждение. Рассмотрим два «пре- дельных» случая, соответствующих различной последовательности

выбора стратегий при заключении страхового контракта между страховщиком и одним страхователем, параметры которого досто- верно известны страховщику. В первом случае первый «ход» дела- ет страховщик, назначая ξ0 = p ξ (или π0 = (1 + ξ) p). Тем самым он забирает всю прибыль себе, вынуждая страхователя согласиться с нулевой «прибылью». Во втором случае первый ход делает страхо- ватель, сообщая страховщику, что он готов заключить страховой контракт только при условии, что нагрузка к нетто ставке будет равна нулю (страховой тариф равен вероятности наступления страхового случая). При этом уже страхователь забирает всю при- быль себе, вынуждая страховщика согласиться с нулевой «прибы- лью». Все случаи (в том числе – все промежуточные между рас- смотренными) являются Парето-эффективными по критериям выигрыша страховщика и страхователя, поэтому заключение стра-

хового контракта может рассматриваться как процесс торгов или процесс заключения сделок [12, 43, 104].

Обсудив существенность порядка функционирования, вернем- ся к рассмотрению задач (18) и (23). Алгоритм их решения тривиа- лен: заметим, что страховщику достаточно ограничиться рассмот- рением n возможных значений нагрузки (соответственно – тарифа), равных pi ξi (соответственно - pi (1 + ξi)), i I, следовательно, ему достаточно сравнить n значений своего ожидаемого дохода и вы- брать управляющий параметр, при котором это значение макси- мально (в силу отмеченной выше дискретности задачи такой пара- метр всегда существует). Следующий пример иллюстрирует использование описанного алгоритма решения (таблицы 1, 2 и 3 реализованы в Excel) для пяти страхователей.

Пример 3. Параметры страхователей и ожидаемые значения целевой функции центра при различных нагрузках и тарифах пере- числены в таблице 1. Предполагается, что все страхователи одина- ково относятся к риску и характеризуются одинаковыми вероятно- стями наступления страхового случая1, но различными величинами

1Понятно, что при этом в соответствии с выражениями (18) и (22)

оптимальным для страховщика является участие в страховании всех

57

Таблица 1. Пример решения задач (18) и (23)

В таблице 2 рассмотрена ситуация, в которой вероятности на- ступления страхового случая у различных страхователей различны. При этом оказывается, что значение выражения (18) не меньше значения выражения (23), причем при некоторых тарифах ожидае- мая полезность страховщика отрицательна. Из таблицы 2 также видно, что в общем случае оптимальное число страхователей зави- сит от стратегии центра – при одном и том же наборе потенциаль-

ных страхователей при назначении единых страховых тарифов это множество не шире, чем при назначении единой нагрузки к нетто- ставке.

Таблица 2. Пример решения задач (18) и (23)

В таблице 3 рассмотрена ситуация, в которой последователь- ности pi ξi и pi (1+ ξi) различаются. При этом также как и в случае,

потенциальных страхователей. Различие эффективностей в строках таблицы 1 объясняется последовательным включением страхователей в число участников страхового взаимодействия.

58