3. Теоремы подобия

Подобию во всех его видах свойственны некоторые общие закономерности, которые принято называть первой и второй теоре­мами подобия. Обе теоремы устанавливают соотношения между параметрами подобных явлений, не указывая способов реа­лизации подобия при построении моделей.

Опуская математические доказательства, ниже приводятся формулировки теорем.

Первая теорема выявляет достаточное условие существо­вания подобия и гласит: необходимым условием подобия двух систем является равенство соответствую­щих критериев подобия этих систем, составленных из параметров процесса и па­раметров систем.

Обозначая критерии подобия буквой π, можно дать краткую формулировку первой, теоремы: у всех подобных яв­лений π =idem.

Вторая теорема известная также под названием π-теоремы, гласит: всякое полное уравнение физического процесса, записанное в определённой системе единиц может быть представлено зависимостью между критериями подобия, т.е. уравнением, связывающим безразмерные величины полученные из участвующих в процессе параметров.

Как будет показано далее π–теорема позволяет произвести своего рода замену переменных, сократив их число с n размерных величин до n− r безразмерных величин и тем самым перейти к записи уравнений процессов в критериальной форме. При этом весьма упрощается обработка аналитических и экспериментальных исследований, так как связи между безразмерными критериями подобия, как правило, выявляются проще, чем связи между обычными именованными величинами.

В соответствии с теоремами подобия крите­рии подобия определяются в основном двумя способами.

Первый заключается в приведении уравнений физического процесса к безразмерному виду. Очевидно, чтобы применять этот способ, нужно иметь уравнения исследуемого процесса.

Второй способ базируется на применении π-теоремы. Им мож­но пользоваться и в случаях, когда известны только параметры, участвующие в исследуемом процессе, а уравнения процесса неиз­вестны.

4. Нахождение критериев подобия на основе анализа уравнений

4.1. Общие сведения

Данный способ является наиболее простым и поэтому часто при­меняется на практике. Он основывается на известном свойстве фи­зических уравнений, которое состоит в том, что все члены уравне­ния физического процесса имеют одинаковые размерности относи­тельно основных единиц измерения. Это в равной мере относится как к алгебраическим, так и к дифференциальным и интегральным уравнениям, поскольку опера­ции дифференцирования и интегрирования не влияют на однород­ность уравнения. Наличие в уравнении физического процесса не­однородных функций так же не влияет на однородность уравнения в целом, поскольку по отношению к размерным членам уравнения неодно­родные функции представляют собой безразмерные коэффициен­ты.

Очевидно, что уравнение после деления на любой из его чле­нов приводится к безразмерному виду. Опуская в полученных безразмерных членах уравнения символы дифференцирования и интегрирования, а также, имеющиеся неоднородные функции, можно полученные таким образом выражения считать критериями подобия.

При этом число полученных из уравнения критериев на единицу меньше числа членов уравнения, т. е. равно n−1. Форма записи этих критериев различна в зависимости от того, на какой из членов уравнения делятся остальные члены.

Если в уравнении процесса имеются неоднородные функции, то к критериям, найденным путем деления на один из членов уравне­ния, необходимо добавить а критериев − аргументов неодно­родных функций. Критерии, полученные посредством операции деления, будем называть основными, а кри­терии, включающие аргументы неоднородных функций,− дополни­тельными.

Таким образом, для определения основных критериев подобия из уравнения, содержащего п членов, в какой-либо из п возможных форм записи необходимо произвести деление членов уравнения на какой-либо из них, отбросив затем символы дифференцирования и интегрирования, а также неоднородные функции. К полученным в результате этих операций п−1 основным критериям необходимо присовокупить а дополнительных критериев, входя­щих в члены уравнения неоднородных функций. Общее число кри­териев К найденных способом интегральных аналогов, будет

К=( п−1)+ а.

4.2. Примеры нахождения критериев подобия по уравнению процесса

4.2.1. Найти критерии подобия процесса движения жидкости, который описывается уравнением:

gρ − = 0,

где g – ускорение тяготения, м/с²; ρ – плотность жидкости, кг/м³; характерный размер, м; – динамическая вязкость, Па/с; − перепад давления, Па; − скорость потока, м/с.

Поскольку все четыре оператора уравнения имеют одинаковую размерность (Н/м³), то результатом деления одного оператора на другой будет некоторый безразмерный комплекс.

Разумеется, операторы уравнения можно сопоставлять попарно лю­бым образом. Однако, удобнее пользоваться определенными комбинациями, которые приводят к следующим прочно вошедшие в практику комплексам:

Первый из них принято называть критерием Рейнольдса, который обычно записывается в виде

где кинематический коэффициент вязкости, м²/с.

Второй – называется критерием Фруда

4.2.2. Найти критерии подобия процесса нестационарной теплопроводности неограниченной пластины, который описывается дифференциальным уравнением

где температура тела, К; время, с; коэффициент температуропроводности, м²/с; характерный размер, м; плотность теплового потока, Вт/м³; с_р теплоёмкость, Дж/кг∙К; ρ плотность вещества, кг/м³.

Введём обозначения для трёх (n =3) членов уравнения

R₁ = ; R₂ ; R₃ =

и перепишем его в новых обозначениях в виде

Для нахождения критериев подобия используем метод приведения уравнения к безразмерному виду. В соответствии с этим методом необходимо получить n−1 критериев, т. е. два основных критерия в трёх записях.

Приводим равенство к безразмерной форме делением всех трёх его членов на один из них. Получим:

а. ; б. ; в. .

По первому варианту а имеем:

Отбрасывая символ дифференцирования в выражениях для k₁ и k₂, получим их математическую структуру

Безразмерные комплексы по варианту б имеют такой вид

Аналогично для третьего варианта в имеем

Все шесть полученных безразмерных комплекса могут использоваться в качестве критериев подобия. Однако общепринят лишь один из них k₁, который по своей структуре отвечает критерию Фурье