Тема 6. Умножение на множестве целых неотрицательных чисел Контрольные вопросы по теории

1. Сформулируйте аксиоматическое определение умножения целых неотрицательных чисел и докажите справедливость равенства а ^. 1 = а.

2. Сформулируйте определение произведения целых неотрицательных чисел: а) через сумму; б) через декартово произведение множеств.

3. При определении произведения через сумму случаи умножения на 1 и 0 оговариваются особо. Почему нет таких оговорок в определении произведения через декартово произведение.

4. Дайте определение умножения, используемое в начальном курсе математики.

5. Как понимать утверждение: «Произведение целых неотрицательных чисел существует и оно единственно»? Докажите его.

6. Запишите с помощью математических символов законы умножения. Докажите дистрибутивный закон умножения относительно сложения с двух точек зрения (аксиоматической, теоретико-множественной).

Практические задания

1. Используя определение умножения, найдите значения выражений: а) 3 ∙ 3; б) 3 ∙ 4; в) 4 ∙ 3.

2. Приведите примеры заданий для учащихся, при выполнении которых используется условие а · b = аb + а.

3. Даны множества А = {1; 2; 3}, В = {a; b; c}. Найдите А  В и В  А и установите, какое высказывание истинно:

а) А  В = В  А; б) n (А  В) = n (В  А).

4. Раскройте теоретико-множественный смысл равенств: 3 ∙ 2 = 6, 4 ∙ 1 = 4, 0 ∙ 5 = 0, используя определение произведения через: а) сумму; б) декартово произведение.

5. Из учебника математики для начальной школы приведите примеры простых задач, при решении которых раскрывается смысл умножения целых неотрицательных чисел.

6. Запишите произведения в виде суммы:

а) 384 · 5; б) 1 · 10; в) 0 · 8; г) а · 5; д) (а + 7) · 3.

7. Запишите сумму в виде произведения:

а) 5607 + 5607 + 5607 + 5607 + 5607;

б) (34 + 78) + (34 + 78) + (34 + 78) + (34 + 78);

в) а + а + а + а + а + а + а + а + а.

8. Каждой паре из множества А = {(0; 5); (5; 0); (7; 1); (13; 2); (100; 100)} поставьте в соответствие целое неотрицательное число по следующему правилу: паре (а; b) соответствует произведение а · b. Запишите множество В, на которое отображается множество А и постойте граф отображения.

9. Запишите приведенные высказывания, используя символы математической логики. Укажите среди них истинные:

а) какое бы ни было натуральное число m, существует такое целое неотрицательное число n, что т · п = 0;

б) какое бы ни было натуральное число а, существует натуральное число b такое, что а · b = а;

в) существуют два целых неотрицательных числа, произведение которых равно нулю;

г) произведение двух любых целых неотрицательных чисел есть целое неотрицательное число.

10. По учебнику математики для начальных классов познакомьтесь с материалом урока «Перестановка множителей». Каким образом учащимся разъясняют, что 7 ∙ 3 = 3 ∙ 7 и 4 ∙ 5 = 5 ∙ 4?

11. Запишите свойство дистрибутивности умножения слева относительно сложения и докажите его. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Почему возникла необходимость в рассмотрении дистрибутивности умножения слева и справа относительно сложения?

12. Докажите свойство ассоциативности умножения натуральных чисел. Какие преобразования выражений возможны на его основе? Изучается ли это свойство в начальной школе?

13. Докажите свойство коммутативности умножения. Приведите примеры его использования в начальном курсе математики.

14. Какие свойства умножения могут быть использованы при нахождении значения выражения:

а) 5 · (10 + 4); б) 125 · 15 ^. 6; в) (8 · 379) · 125.

15. Известно, что 37 · 3 = 111. Используя это равенство, вычислите: а) 37 · 18; б) 185 · 12. Все выполненные преобразования обоснуйте.

16. Устно определите значение выражения. Ответ обоснуйте.

а) 5 ∙ 3764 ∙ 2;

б) 4 ∙ 6975 ∙ 25;

в) 8 ∙ 7969 ∙ 125;

г) 8 ∙ 375 ∙ 250;

д) 5 ∙ 4969 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 250;

е) 9378 ∙ 5 ∙ 125 ∙ 2 ∙ 8;

ж) 9 ∙13 + 9 ∙ 87;

з) 5 ∙ (12 + 44);

17. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответ обоснуйте:

а) 8962 ^. 8 + 8962 ^. 2;

б) 63402 ^. 3 + 63402 ^. 97;

в) 849 + 849 ^. 9.

18. Объясните, почему 5 ∙ 2 = 10, 1 ∙ 7 = 7, 6 ∙ 0 = 0, 0 ∙ 6 = 0, 7 ∙ 1 = 7, используя определение произведения через сумму и декартово произведение множеств.

19. Что положено в основу операции умножения в начальной школе? Найдите в учебниках математики, где и как знакомятся дети с произведением натуральных чисел. Где начинается подготовительная работа к введению операции умножения натуральных чисел? Охарактеризуйте методику работы с определением операции умножения натуральных чисел.

20. Приведите примеры заданий в учебниках математики для начальной школы, отражающие зависимость между компонентами действия умножения. Сформулируйте вопросы, помогающие выяснить, как изменяется произведение с изменением одного из сомножителей; двух сомножителей.

21. Заполни таблицу:

    	1-й множитель	2-й множитель	Произведение
    1.	 2	 24	?
    2.	: 9	: 3	?
    3.	 3	: 12	?
    4.	: 50	 10	?
    5.	 2	?	: 18
    6.	: 8	?	 16

22. Устно определите значение выражения. Ответ обоснуйте.

а) 5 ∙ 3764 ∙ 2;

б) 4 ∙ 6975 ∙ 25;

в) 8 ∙ 7969 ∙ 125;

г) 8 ∙ 375 ∙ 250;

д) 5 ∙ 4969 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 250;

е) 9378 ∙ 5 ∙ 125 ∙ 2 ∙ 8;

ж) 9 ∙13 + 9 ∙ 87;

з) 5 ∙ (12 + 44);

и) 62 ∙ 103.

23. Вместо многоточия поставьте знак «<», «>» или «=» так, чтобы получились истинные высказывания:

а) 3 ∙ 29 + 7 ∙ 29 … 10 ∙ 29;

б) 8 ∙ 31 – 3 ∙ 31 … 6 ∙ 31;

в) 7 ∙ 41 + 9 ∙ 43 … 15 ∙ 43;

г) 3 ∙ 17 + 9 ∙ 17 … 13 ∙ 17.

24. Объясните, почему следующие задачи решаются действием умножения:

а) На каждое детское пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 7 таких пальто?

б) Ученица прочитала в первый день 9 страниц книги, а во второй день в 2 раза больше, чем в первый. Сколько страниц книги ученица прочитала во второй день?

в) Для уроков труда девочка принесла 6 листов красной бумаги, это в 2 раза меньше, чем зеленой. Сколько листов зеленой бумаги принесла девочка?

25. Используя теоретико-множественный смысл действий над числами, обоснуйте выбор действий при решении задач.

а) Первоклассники заняли в кинотеатре 3 ряда, второклассники – 4 ряда, а третьеклассники – 5 рядов. Сколько учеников начальных классов было в кинотеатре, если в каждом ряду они заняли по 9 мест?

б) В саду 8 рядов деревьев, по 9 в каждом. Из них 39 яблонь, 18 груш, остальные сливы. Сколько сливовых деревьев в саду?

26. Какие рассуждения учащихся вы будете считать правильными при выполнении ими заданий.

а) Вера и Надя сажали тюльпаны. Вера посадила 8 рядов тюльпанов, по 9 в каждом, а Надя – 9 рядов по 8 тюльпанов.

Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что Вера посадила столько же тюльпанов, сколько Надя?

б) В гараже в 6 рядов стояло по 9 машин. Из каждого ряда выехало 8 машин. Сколько машин осталось в гараже?

Объясните, что означают выражения, составленные по условию данной задачи: 9 · 6; 8 · 6; 9 – 8; (9 – 8) · 6.

Пользуясь данным условием, объясните, что обозначают выражения: 72 + 72; 72 · 2; 8 · 9 – 8.