Математические методы обработки экспертной информации - Тинякова В.И

Э к спе р ты

О б ъ е к ты

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

Э1

2

1

4

3

5

7

6

Э2

1

2

5

4

3

6

7

pi1 − pi2

1

-1

-1

-1

2

1

-1

( pi1 - pi2 )2

1

1

1

1

4

1

1

ρ = 1−

6

n

− p

)2 =1

6

å( p

i2

- = 821× . , 0

10

i1

336

n3 − n i=1

П ол у чен н а я оцен ка

ра н гового

коэф ф ициен та коррел яции

явл яется

сл у ча йн ой вел ичин ой и,

сл ед ова тел ь н о, н еобход им о проверить

ее зн а чи-

мость . Д л я этого опред ел яется порог, н иж

е которого коэф ф ициен т корре-

ма л ь н ом у ра спред ел ен ию. Т ол ь ко в том сл у ча е,

есл и откл он ен ие ока ж

ется

очен ь бол ь шим , н у л ь -гипотеза откл он яется,

и

коэф ф ициен т

коррел яции

счита ется зн а чимым . Очен ь бол ь шим счита ется откл он ен ие,

превосход я-

щ ее по вел ичин е у ста н овл ен н ый порог.

Д л я

у ста н овл ен ия порога δ

ис-

пол ь зу ется прибл иж ен н а я ф орм у л а

α

δ =

1

æ

ö

Yç1-

2

÷ ,

(3.14)

n -1

è

ø

−1

обра тн а я ф у н кции н орм а л ь н ого за кон а

xY F= x) –(ф у н кция( )

ра спред ел ен ия.

В пра ктических ра счета х ча щ е всего α = 0,05. В а ргу мен т

ф у н кции

вероятн ость α вход ит

д ел ен н ой н а

2, та к ка к откл он ен ия коэф ф ициен та

коррел яции от н у л я возм ож н о в обе сторон ы (д ву сторон н ий критерий).

Опред ел им пороговое зн а чен ие д л я н а шего прим ера

δ

1

æ

050ö,

1

ç1=-

Y

÷

== 800. ,Y0

)

975 ,(0

449 2,

6

è

2

ø

Т а к ка к ρ = 0,821 > 0,800 = δ ,

то н у л ь -гипотеза о н еза висим ости эксперт-

н ых мн ен ий отверга ется, а

коэф ф ициен т коррел яции призн а ется

зн а чи-

мым .

- 32 -

В тех сл у ча ях, когд а ра н ж ировки сод ерж а т связн ые ра н ги, коэф ф ици-

ен т коррел яции корректиру ется. П реж д е чем за писа ть ф орм у л у д л я вычис-

л ен ия коэф ф ициен та коррел яции, поясн им м еха н изм

введ ен ия связн ых

ра н гов.

С вязн ые ра н ги ввод ятся в тех сл у ча ях, когд а в ра н ж

иру ем ой совоку п-

н ости н екоторые объекты пол у чил и од ин а ковые оцен ки. Т огд а ка ж д ом у из

этих объектов приписыва ется сред н яя вел ичин а поряд ковых н ом еров, ко-

торые д ол ж н ы пол у чить од ин а ково оцен ен н ые объекты. Н а пример, пу сть

оцен ива л ись сем ь объектов, д ва из которых призн а н ы од ин а ково зн а чи-

мым и. Е сл и их выстроить в поряд ке зн а чимости, то объекты с од ин а ковой

зн а чимость ю д ел ят м еж д у

собой второе и треть е место. Т а к ка к их н ел ь зя

пред почесть д ру г д ру гу , то ка ж

д ом у изн ихприписыва ется сред н ий ра н г

=

r+ r

r =

+

=

,5 2

2/ ) 3 2((

2/ )

3

2

23

и посл ед ова тел ь н ость

ра н гов,

соответству ющ а я зн а чимости объектов,

вы-

гл яд ит сл ед у ющ им обра зом :

1;

2,5;

2,5; 4;

5;

6;

7.

Ра счет скорректирова н н ого н а

н а л ичие связа н н ых ра н гов коэф ф ици-

ен та коррел яции осу щ ествл яется по сл ед у ющ ей ф орм у л е:

~

ρ + T1 + T2

ρ =

, T 1)(

T (1

(3.15)

−

1

−

2 )

в которой ρ –оцен ка

коэф ф ициен та

ра н говой коррел яции, ра ссчита н н а я в

соответствии с (3.10), а вел ичин ы T1

и

T2

вычисл яются по ф орму л а м

T =

3

k

k( − )1 и

T

=

3

k

k(

− )1,

(3.16)

n3

− n åi

1

1i

1i

2

n3 − n åi

2i

2i

гд е k1i ,

k2i –кол ичество повторяющ ихся ра н гов в i-й под посл ед ова тел ь н о-

сти соответству ющ ихра н ж

ировок, пол у чен н ыхот 1-го и 2-го эксперта .

Д а н н ые д л я вычисл ен ия скорректирова н н ого коэф ф ициен та

ра н говой

коррел яции с пром еж

у точн ым и ра счета м и привед ен ы в та бл. 3.2.

Д а нны е для вычисления ск о р р ек тир о ва нно го

Т а бл и ца

3.2

к о эф фициента р а нго во й к о р р еля ции

Э к спе р ты

О б ъ е к ты

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

Э1

2

1

4

5

5

5

7

Э2

1

2,5

2,5

5

4

7

6

( p

i1

− p

)2

1

2,25

2,25

0

1

4

1

i2

n æ m

ö

2

n

2

+

+ )1n

2(n)( m1 n

ç

ij

÷

=

2 åp i2

=

m

å å

.

(3.25)

ç

÷

i =1

6 =

=

i 1è j 1

ø

n

Это м а ксим а л ь н о

возм ож

н ое зн а чен ие д л я

сл у ча я, когд а

оцен ива л ось

объектов гру ппой из m экспертов, и их точки зрен ия пол н ость ю совпа л и.

Е сл и изм ен ится хотя бы од н а

из ра н ж

ировок,

то су мм а

у м ен ь шится. Д ей-

ствител ь н о, переста н овка

ра н гов в од н ой изра н ж

ировок привед ет к изм е-

н ен ию н екоторых i под

зн а ком су м м ирова н ия. П ричем ,

есл и i1 < i2 , то i1

возра стет н а

вел ичин у

2 (− 1

/ im) , аi i2 –у мен ь ша ется н а

эту ж

е вел ичин у .

Т огд а с пом ощ ь ю простых вычисл ен ий мож

н о пока за ть , ка к измен яется в

цел ом вся су м м а в за висимости от

тех изм ен ен ий, которые произошл и с

д ву м я сл а га емым и

æ

i - i

ö

2

æ

i - i

ö

2

çi +

2

1

÷

+

çi

-

2

1

÷

=

m

m

è 1

ø

è 2

ø

i

2

i

2

æ i2 - i1

öæ

2i

i

i2

- i1

ö

2

=+

ç

+

֍

)-+

-(

÷.

(3.26)

1

è

m

øè

2

1

m

ø

И зпол у чен н ого выра ж

ен ия очевид н ым обра зом сл ед у ет, что он а

у м ен ь ша -

ется н а

вел ичин у д опол н ител ь н ого сл а га ем ого, которое всегд а

имеет отри-

ца тел ь н ое зн а чен ие. С л ед ова тел ь н о, д исперсия имеет ма ксим а л ь н ое зн а че-

н ие тол ь ко в сл у ча е пол н ого совпа д ен ия мн ен ий экспертов.

p ,

Окон ча тел ь н о, под ста вл яя

(3.21) в (3.19) и под робн о ра списыва я

пол у ча ем ф орм у л у

д л я вычисл ен ия зн а чен ия м а ксима л ь н ой д исперсии

+ 2

+ )1

2( )(-1)1m2

2

n2n(

3 n- nm)

nn m

n

Dmax =

-

=

.

(3.27)

6

4

n -

)1

( 12

С л у ча й, когд а

д исперсия ра вн а

н у л ю,

имеет смысл

ра ссма трива ть

д л я

m = n .

И мен н о в

этом

сл у ча е возн ика ет

ситу а ция, когд а

од ин

и тот

ж е

объект оцен ива ется эксперта м и по-ра зн ом у ,

т.е. все n ра н ж

ировок ра зн ые.

А д л я ра зн ыхра н ж

ировок первый чл ен в выра ж

ен ии (3.25) ра вен

n æ

m

ö

2

n

æ

(+

2

2

2

m m

m m

)1ö

(+ )1n

ç

p ÷

=

å

ç

÷

å=

å

.

(3.28)

ç

ij ÷

i =1è

2

ø =

=

4

i 1è j 1

ø

D =

1

S,

(3.29)

n -1

n

æ m

ö

2

гд е S = åçå pij - p ÷ ,

i=1

è j=1

ø

W =

S 12

.

(3.30)

2 (

3 − nm)

n

W =

S 12

,

(3.31)

m

2

3

− − m ånT(m n )

j =1

j

гд е Tj –пока за тел ь связн ых ра н гов в

j -й ра н ж ировке, вычисл яем ый сл е-

д у ющ им обра зом :

ке, пол у чен н ой от

j -го эксперта .

К оэф ф ициен т кон корд а ции ра вен

1 в тех сл у ча ях, когд а мн ен ия экс-

пертов по всем объекта м

пол н ость ю совпа д а ют,

и ра вен

н у л ю, когд а все

ра н ж ировки ра зл ичн ы.

В

оста л ь н ых сл у ча ях его зн а чен ия у д овл етворяют

н ера вен ству

0 ≤ W ≤ 1,

причем , чем

бл иж е это зн а чен ие к 1, тем тесн ее

связь м еж д у

ра н ж ировка м и и н а д еж н ей гру ппова я оцен ка .

К оэф ф ициен т

кон корд а ции, вычисл яем ый по вывед ен н ой ф орм у л е,

явл яется, по су ти,

оцен кой истин н ого зн а чен ия и пред ста вл яет собой сл у -

ча йн у ю вел ичин у .

Е стествен н о, возн ика ет н еобход имость

в проверке его

зн а чимости.

Д л я н ебол ь ших зн а чен ий m и

n ра зра бота н а специа л ь н а я та бл ица

ра спред ел ен ия ча стот. Эту

та бл ицу м ож н о н а йти в П рил ож

ен ии.

Е сл и числ о объектов

n > 7 , то зн а чимость оцен ки коэф ф ициен та кон -

корд а ции проверяется с пом ощ ь ю критерия χ 2 . Д ока за н о, что вел ичин а

χ 2 =

m n − )1W

(

(3.32)

имеет χ 2 - ра спред ел ен ие с ν = (n −1) степен ям и свобод ы.

Е сл и в н екоторых ра н ж

ировка х есть связа н н ые ра н ги,

то д л я проверки

χ 2 =

S 12

.

(3.33)

−1

m

n -+ -ånTj mn)1 ( )1

j =1

П роверка

зн а чимости коэф ф ициен та

кон корд а ции га ра н тиру ет пол у -

чен ие ста тистически н а д еж н ыхрезу л ь та тов.

Ра ссмотрим числ овой пример,

ил л юстриру ющ ий процед у ру вычисл е-

н ия коэф ф ициен та кон корд а ции. И сход н ые д а н н ые и пром еж

у точн ые ре-

зу л ь та ты ра счетов привед ен ы в та бл. 3.3.

Т а бл и ца 3.3

И схо дны е да нны е ипр о меж у то чны е р а счеты

О бъ ек ты

Э к спе р ты

С у мма

О тк ло нение

К ва др а т

1

2

3

4

5

6

р а нго в

о тср еднего

о тк ло нений

1

1

2

1

1

1

2

8

-19

361

2

2

1

3

4

4

1

15

-12

144

3

3

4

2

2

2

4

17

-10

100

4

4

3

6

3

3

3

22

-5

25

5

5

5

4

6

5

5

30

3

9

6

6

6

5

5

7

7

36

9

81

7

7

7

8

8

8

6

44

17

289

8

8

8

7

7

6

8

44

17

289

С у

мма

к ва др а то в о тк ло нений S

1298

К ол ичество ра н ж

иру емыхобъектов n = 8, кол ичество экспертов, при-

н явшиху ча стие в экспертн ом опросе m = 6. С ред н ий ра н г ра вен

p =

n(+

)1m

+

× 6 )1

(8