11.3. Коэффициенты переноса для идеального газа

Диффузия

Пусть в газе имеется неравномерное распределение концентрических частиц n = n(x) (рис. 11.3.1). Тогда вследствие хаотичности движения молекул будет происходить выравнивание концентрации по объему. Согласно упрощенным представлениям, количество молекул, переходящих через площадку за время dt из одного слоя в другой равно

. (11.3.1)

Число молекул первой компоненты, пролетающих через площадку dS за время dt в направлении оси Ox равно dN₁ , а число молекул, пролетающих в противоположном направ-лении − dN₂ . Разность этих чисел дает поток молекул через площадку dS

dN = dN₁ − dN₂ . (11.3.2)

Согласно формуле (11.3.1), , а .

Таким образом,

. (11.3.3)

Через поверхность dS будут пролетать молекулы, претерпевшие последнее соударение на расстоянии от площадки, равном средней длине свободного пробега. Поэтому n₁ и n₂ разумно представить как

и . (11.3.4)

, (11.3.5)

. (11.3.6)

Умножим уравнение (11.3.6) на массу одной молекулы m₀

. (11.3.7)

Учитывая, что dm = dNm₀ , а  = nm₀ окончательно получим

. (11.3.8)

Сопоставление с формулой (11.1.1) дает для коэффициента диффузии следующее выражение

. (11.3.9)

Внутреннее трение

Рассмотрим газ, у которого слои движутся с различными скоростями. Каждая молекула участвует в двух движениях: хаотическом тепловом, средняя скорость которого равна  и упорядоченном движении со скоростью u, которая много меньше средней скорости. Пусть различные слои газа имеют разную скорость упорядоченного движения и = и(х) (рис. 11.3.2). В этом случае при переходе молекул из одного слоя в друг ой они будут переносить различные значения импульса т₀ и, соответствующего направленному движению слоев газа. Попав в другой слой, молекула претерпевает соударения с молекулами этого слоя. В результате соударений она либо отдает избыток своего импульса другим молекулам, либо увеличивает свой импульс за счет других молекул. В итоге импульс более быстро движущегося слоя убывает, а более медленно движущегося − возрастает. Таким образом, слои ведут себя так, как если бы к первому слою (скорость которого больше) была приложена тормозящая его движение сила, а ко второму слою (скорость которого меньше) − такая же по величине ускоряющая его движение сила.

Импульс, переносимый молекулами за время dt в направлении оси Ох будет равен dp₁ = m₀ dN₁ u₁ , а в противоположном направлении dp₂ = m₀ dN₂ u₂ .

Результирующий импульс, переносимый молекулами за время dt, будет равен

dp = dp₁ − dp₂ = m₀ (u₁ dN₁ − u₂ dN₂). (11.3.10)

Если учесть, что поток частиц в обе стороны приблизительно одинаковый dN₁  dN₂ = dN, получим

dp = m₀ dN (u₁ − u₂). (11.3.11)

С учетом формулы (11.3.1) импульс, переносимый молекулами за время dt

. (11.3.12)

Так как в среднем, последнее соударение происходит на расстоянии, равном длине свободного пробега молекулы. Поэтому молекулам, летящим в направлении оси Ох, припишем значение скорости u₁ = u(x − ), а молекулам, летящим в противоположном направлении, − значение скорости u₂ = u(x + ).

Учитывая, что , и приняв во внимание, что nm₀ =  − плотность газа, получим

. (11.3.12)

Сравнивая полученную формулу с соотношением (11.1.3) получим выражение для коэффициента динамической вязкости

. (11.3.13)

Теплопроводность

П еремещаясь вследствие теплового движения, молекулы переносят запасенную ими энергию. Рассмотрим газ, в котором каким-то способом поддерживается градиент температуры вдоль направления Ox. Мысленно представим площадку dS, перпендикулярную к этому направлению. Будем исходить из предположения, что каждая молекула несет с собой энергию . Эта энергия соответствует температуре того места, где произошло ее последнее столкновение с другой молекулой. В среднем это соударение происходит на расстоянии от площадки, равном средней длине свободного пробега . Поэтому молекулам, летящим в направлении оси Ox, припишем энергию , а молекулам, летящим в противоположном направлении, − энергию .

Тогда для потока тепла через площадку dS получается выражение

dQ = dN₁ ₁ − dN₂ ₂ . (11.3.14)

Учитывая, что dN₁  dN₂ = dN из выражения (11.3.14) получаем

. (11.3.15)

Учитывая, что , получим

. (11.3.15)

Выражение можно представить, как = ( − удельная теплоемкость при V = const).

. (11.3.16)

Сравнивая с формулой (11.1.4), получим выражение для коэффициента теплопроводности

. (11.3.17)