7.4. Следствия из преобразований Лоренца

1) Относительность одновременности. Одновременность пространственно разделенных событий относительна. По определению, два события, которые происходят в разных точках х₁ и x₂ системы К, являются одновременными, если они происходят в один и тот же момент времени t₁ = t₂ (t = 0) по часам, расположенным в этих точках. При этом предполагается, что часы синхронизированы согласно определению Эйнштейна. В системе К' эти же события произойдут в точках с координатами и в моменты времени и . Использовав преобразования Лоренца, покажем, что события, одновременные в системе К, в системе К' будут происходить в разные моменты времени. Воспользуемся преобразованиями Лоренца (7.3.6)

и . (7.4.1)

или . (7.4.2)

П оэтому наблюдатели в системе К зафиксируют эти события как неодновременные . Справедливо и обратное утверждение − события, одновременные в ИСО К, не одновременны в ИСО К. Это явление известно как относительность одновременности и возникает из-за ограниченности скорости распространения взаимодействий.

2) Сокращение длины движущихся тел. Длиной движущегося тела в некоторой системе отсчета, по определению, называется расстояние между двумя точками этой системы координат, с которыми совпадают начало и конец тела в один и тот же момент времени по часам, расположенным в этих же точках используемой системы (рис. 7.4.1). Это значит, что l = х₂ − х₁ , если t₂ = t₁ . В собственной системе отсчета К, в которой рассматриваемый объект покоится, собственная длина тела, . Воспользуемся преобразованиями Лоренца (7.3.6).

,  

 . (7.4.3)

Соответственно, длина l линейки, измеренная в ИСО К, всегда меньше l₀ − так называемой собственной длины, измеренной в системе покоя линейки К. Это явление называется релятивистским сокращением длин и помимо данного кинематического рассмотрения может быть выведено также и динамически из изменения сил, действующих между частицами вещества при его движении.

3) Интервал времени между двумя событиями. Собственным временем ₀ называется интервал времени между двумя событиями, которые произошли в одной и той же точке собственной системы: отсчета, связанной с движущимся со скоростью  объектом. Это значит, что в системе К' время определяется при условии, что , т. е. события происходя в одной и той же точке системы К', которая движется равномерно и прямолинейно с скоростью . С учетом сказанного из преобразования Лоренца следует

. (7.4.4)

7.5. Теорема сложения скоростей в сто

Формула преобразования скоростей в СТО устанавливает связь между проекциями скорости точки в двух произвольных инерциальных системах отсчета. Пусть в системах отсчета К и К' движение материальной точки определяется координатным способом

и . (7.5.1)

Тогда проекции скорости

, , и , , . (7.5.2)

Воспользуемся преобразованиями Лоренца (7.3.7) и продифференцируем

, (7.5.3)

и получим

, (7.5.4)

, (7.5.5)

. (7.5.6)

Выражения (7.5.4−7.5.6) являются формулами преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета в другую (релятивистский закон сложения скоростей).

Если аналогичные действия проделать с обратными преобразованиями Лоренца в форме (7.3.6), то получим выражение для скоростей в системе К через скорости в системе К.

, , . (7.5.7)

85